L1 MASS Algebre Lineaire Cours janvier

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 MASS : Algebre Lineaire Cours 31 janvier 2006 Le rang On rappelle une definition du cours precedent : Definition. Une matrice B est dite echelonnee en lignes si – chaque ligne non nulle de B commence avec strictement plus de 0 que la ligne precedente, et – les lignes nulles (ne contenant que des 0) de B viennent en bas apres les lignes non nulles. Toute matrice A peut se reduire a une matrice echelonnee en lignes B par une suite d'operations elementaires sur les lignes. On appelle B la forme echelonnee en lignes de A. Une des concepts fondamentaux dans l'algebre lineaire est le rang d'une matrice. Il admet de plusieurs definitions equivalentes. En voici la premiere. Definition. Le rang d'une matrice A est le nombre de lignes non nulles dans sa forme echelonnee en lignes. On le note rgA. Par exemple la matrice suivante A se reduit en sa forme echelonnee en lignes par les pivotages A = ? ? 1 ?3 6 2 2 ?5 10 3 3 ?8 17 4 ? ? L2?L2?2L1????????? L3?L3?3L1 ? ? 1 ?3 6 2 0 1 ?2 ?1 0 1 ?1 ?2 ? ? L3?L3?L2???????? ? ? 1 ?3 6 2 0 1 ?2 ?1 0 0 1 ?1 ? ? . Donc on a rgA = 3. Pour la matrice suivante C = ? ? 1 3 2 1 4 1 0 1 ?1 ? ? L2?L2?L1???????? ? ? 1 3 2 0 1 ?1 0 1 ?1 ? ? L3?L3?L2????????

• matrice des coefficients regroupant les coefficients des variables du membre de gauche du systeme


• systeme lineaire


• eventuellement variable


• matrice des coefficients


• ?2 ?1


• membre

Sujets

• Precedent
• Système linéaire
• Membre

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
• Publié le: 01 janvier 2006
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• Langue: Français

Extrait

L1MASS:Alg`ebreLin´eaire

Le rang

Cours 31 janvier 2006

Onrappelleunede´finitionducourspr´ece´dent: De´finition.Une matriceBest ditengse´neeneilnolehce´si – chaqueligne non nulle deBpe´rilngeualedq0e,etdentec´ecnemevaemocntmeuspltrcsteic – leslignes nulles (ne contenant que des 0) deB`rpaelsegilsnsenvnnieteenasnbonnulles. Toute matriceAnolehce´ilneee´nun`areuiceriatemeptues´rdegnesBe´ar’dpositnoparuiteunes ´ele´mentairessurleslignes.OnappelleBlaignesnn´eeenl´eceeholofmrdeA. Unedesconceptsfondamentauxdansl’alge`breline´aireestlerangd’une matrice. Il admet de plusieursde´finitionse´quivalentes.Envoicilapremi`ere. D´efinition.Lerangd’une matriceAtlesomenedbrgilensenunnosellceehmr´easofadsn´eelonn en lignes. On le note rgA. Par exemple la matrice suivanteAngilapse´nnoneeegetasesrlvopies´rdeiume´echeltensafor     1−3 6 21−2 13 6−3 62 L 2 ←L 2 −2L 1 L 3 ←L 3 −L 2     A = 2−5 10 3 −−−−−−−−→ 0 1−2−1 −−−−−−−→ 0 1−2−1 . L 3 ←L 3 −3L 1 3−0 18 17 4−1−0 12 0−1 Donc on a rgA= 3. Pour la matrice suivante     1 32 13 21 32 L 2 ←L 2 −L 1 L 3 ←L 3 −L 2     C 4 1= 1 −−−−−−−→ 0 1−1 −−−−−−−→ 0 1−1 , 0 1−11 0−1 00 0 on a rgC= 2. The´ore`me1.Pour toute matriceAon a rgA≤nombre de lignes deA, rgA≤nombre de colonnes deA. Ide´edelapreuve.lamasanteduiEnr´ertciAcaleelc-itairnumeneeneen´onelch´ece`erialimissengil   1 30 4 5 0 21 3 8   ,   0 00 7 2 0 00 0 0 lespivots(les premiers coefficients non nuls des lignes non nulles) sont danslignes distincteset dans descolonnes distinctes. Donc on a nombre de pivots≤nombre de lignes deA, nombre de pivots≤nombre de colonnes deA.

Lenombredepivotsestaussilenombredelignesnonnullesdelaforme´echelonn´eedeA,’d`ou

nombre de pivots = rgA.

La matrice des coefficients Onpeutassocierunematricea`chaquemembred’unsyst`emeline´aire.Pourlesyst`eme   x−3y+ 6z+ 2w=−1,  (‡ ) 2x−5y+ 10z+ 3w= 0,   3x−8y+ 17z+ 4w= 1, on a des matrices    1−3 6 2−1    A = 2−5 10 3 ,b = 0 , 3−8 17 41 avecAlamatrice des coefficientsregroupant les coefficients des variables du membre de gauche dusyste`me,etlevecteurcolonnebcontient le membre de droite. Quand on met les deux ensemble, on a laeguemtne´amrtciae´ej`avuequ’onad   1−3 6 2−1   b    A= Ab= 2−5 10 30 .  3−18 17 4

Lerangetlessyste`meslin´eaires Onva´etudierlessyste`meslin´eairesenconside´rantlemembredegauchecommefixe,mais lemembrededroitecommee´ventuellementvariable.Danscetteoptique,ilestconvenablede conside´rerlerangd’unsyste`meline´airecommed´ependantuniquementdesonmembredegauche. D’ou`: De´finition.Lerangffieicseoccideamrtdesarangstleireeilemae´nysnue`tsd’tsenA. Parexemple,lerangdusyste`me(‡scalculsfaitssur)se3ts,lenoel.teapalrpeg´ce´nede

Pourr´esoudreunsyste`melin´eaireonfaitdesop´erations´ele´mentairesetpivotagessoitsur b les´equations,soitsurlamatriceaugment´eeAysused´ennloheeceriae´nileme`talofmr´e.lAfia,n b correspond`alaforme´echelonne´eenlignesdeAte,emelrembucgaduhestsye`eme´hcleno´ne correspond`alaformee´chelonne´eenlignesdelamatricedescoeffientsAeduiend´.nOt:

b rgA.00=meorafelndno´eolnnceehme´esy`tsdusigneede=lnombr rgAilederbmon=0=ourmfo=0e0nenoedalhcleno´nst`eme´egnesdusycaveccnon nul.

Cequenousconnaissonssurlasolutiondessyste`mesline´airessetraduitparlesparties(a)et (b)duth´eor`emesuivant: The´ore`me2.idnsro´eunnsstsyoCeedirean´lime`emsnoitauqe´enninconnuesavec matrice   b  des coefficientsA, membre de droiteb,´eeguaetnemamtecirtA= Ab . (a)Pour un membre de droitebuaeniaeritnoosulseulsiettemenrapreilucitt`yses,l´einelem b si on argA= rgA. (b)l,seosulitnodse´pendentdeuQdeanesllisexntten−rgAar`mteerisdne´epndants.pa (c)On argA≤metrgA≤n. Lapartie(c)sed´eduitduThe´ore`me1ci-dessus. Quandonr´eduitlamatriceaugmente´ed’unsyst`emelin´eaire`asaformee´chelonn´eeenlignes, parfois on termine avec une matrice contenant autant de pivots que de lignes dans la partie gauche de la matrice, comme celle-ci :   1 34 15 ∗    40 2−6 ∗  ∗ 0 00 1

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Onpeutre´soudreuntelsyst`eme´echelonne´quelquesoitlemembrededroite. Maisparfoisontermineavecunematriceaugment´ee´echelonne´eavecmoinsdepivotsquede lignes dans la partie gauche, comme celle-ci :   1 34 15∗   ∗ 0 24−6  ∗ 0 00 0

Laderni`erelignecorrespond`aunee´quationdelaforme0=∗lu`o,e∗nepe´dembrddumede droiteb´ydsptese´uuddoonl´nnnec`eeemhainscertPourart.b, le∗elavaldnerpme`estsyleet0,ur a des solutions. Pour d’autresb, le∗ns.utioelte,syseontslunnsdpaolesemt`’aen Orquandonaunsyst`emeline´airedem´sontiuaeqenninconnuesavec matrice des coeffi- cientsA,elonbmerpidetsvonsdapalaeitrcuagedehamalrgsteee´nnolehce´ecirtA, et le nombre de lignes estm`antabd’spredeonusserocssnoid-ictuatuxsiesdeonclD.rordgA=m, et ensuite rgA < m:tnr`eoh´etvauiesemOnadoncl.

The´ore`me3.Cleni`tmeerede´iad´eronsinsysonsumeq´tiuasonenninconnuesavec matrice   b  des coefficientsA, membre de droitebt´eee,mttairecuamgneA= Ab . (a)Quand on argA=mysesemt`inelai´eiordederl,etuesouelqmembitleseoserdanoqsulit b. (b)Quand on argA < mrdedetioemsmesbrerrcintaitnopsuodaseosulin´eaireyst`emeles,l bmais pas pour tout membre de droite.

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