L1 MASS Algebre Lineaire Cours janvier
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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 MASS : Algebre Lineaire Cours 31 janvier 2006 Le rang On rappelle une definition du cours precedent : Definition. Une matrice B est dite echelonnee en lignes si – chaque ligne non nulle de B commence avec strictement plus de 0 que la ligne precedente, et – les lignes nulles (ne contenant que des 0) de B viennent en bas apres les lignes non nulles. Toute matrice A peut se reduire a une matrice echelonnee en lignes B par une suite d'operations elementaires sur les lignes. On appelle B la forme echelonnee en lignes de A. Une des concepts fondamentaux dans l'algebre lineaire est le rang d'une matrice. Il admet de plusieurs definitions equivalentes. En voici la premiere. Definition. Le rang d'une matrice A est le nombre de lignes non nulles dans sa forme echelonnee en lignes. On le note rgA. Par exemple la matrice suivante A se reduit en sa forme echelonnee en lignes par les pivotages A = ? ? 1 ?3 6 2 2 ?5 10 3 3 ?8 17 4 ? ? L2?L2?2L1????????? L3?L3?3L1 ? ? 1 ?3 6 2 0 1 ?2 ?1 0 1 ?1 ?2 ? ? L3?L3?L2???????? ? ? 1 ?3 6 2 0 1 ?2 ?1 0 0 1 ?1 ? ? . Donc on a rgA = 3. Pour la matrice suivante C = ? ? 1 3 2 1 4 1 0 1 ?1 ? ? L2?L2?L1???????? ? ? 1 3 2 0 1 ?1 0 1 ?1 ? ? L3?L3?L2????????

  • matrice des coefficients regroupant les coefficients des variables du membre de gauche du systeme

  • systeme lineaire

  • eventuellement variable

  • matrice des coefficients

  • ?2 ?1

  • membre


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Informations

Publié par
Publié le 01 janvier 2006
Nombre de lectures 35
Langue Français

Exrait

L1MASS:Alg`ebreLin´eaire
Le rang
Cours 31 janvier 2006
Onrappelleunede´nitionducourspr´ece´dent: De´nition.Une matriceBest ditengse´neeneilnolehce´si – chaqueligne non nulle deBpe´rilngeualedq0e,etdentec´ecnemevaemocntmeuspltrcsteic – leslignes nulles (ne contenant que des 0) deB`rpaelsegilsnsenvnnieteenasnbonnulles. Toute matriceAnolehce´ilneee´nun`areuiceriatemeptues´rdegnesBe´ardpositnoparuiteunes ´ele´mentairessurleslignes.OnappelleBlaignesnn´eeenl´eceeholofmrdeA. Unedesconceptsfondamentauxdanslalge`breline´aireestlerangd’une matrice. Il admet de plusieursde´nitionse´quivalentes.Envoicilapremi`ere. D´enition.Lerangd’une matriceAtlesomenedbrgilensenunnosellceehmr´easofadsn´eelonn en lignes. On le note rgA. Par exemple la matrice suivanteAngilapse´nnoneeegetasesrlvopies´rdeiume´echeltensafor     13 6 212 13 63 62 L2L22L1L3L3L2     A= 25 10 3−−−−−−−−→0 121−−−−−−−→0 121. L3L33L1 30 18 17 410 12 01 Donc on a rgA= 3. Pour la matrice suivante     1 32 13 21 32 L2L2L1L3L3L2     C4 1= 1−−−−−−−→0 11−−−−−−−→0 11, 0 111 01 00 0 on a rgC= 2. The´ore`me1.Pour toute matriceAon a rgAnombre de lignes deA, rgAnombre de colonnes deA. Ide´edelapreuve.lamasanteduiEnr´ertciAcaleelc-itairnumeneeneen´onelch´ece`erialimissengil   1 30 4 5 0 21 3 8   ,   0 00 7 2 0 00 0 0 lespivots(les premiers coefficients non nuls des lignes non nulles) sont danslignes distincteset dans descolonnes distinctes. Donc on a nombre de pivotsnombre de lignes deA, nombre de pivotsnombre de colonnes deA.
Lenombredepivotsestaussilenombredelignesnonnullesdelaforme´echelonn´eedeA,d`ou
nombre de pivots = rgA.
La matrice des coefficients Onpeutassocierunematricea`chaquemembredunsyst`emeline´aire.Pourlesyst`eme x3y+ 6z+ 2w=1, () 2x5y+ 10z+ 3w= 0, 3x8y+ 17z+ 4w= 1, on a des matrices    13 6 21    A= 25 10 3,b= 0, 38 17 41 avecAlamatrice des coefficientsregroupant les coefficients des variables du membre de gauche dusyste`me,etlevecteurcolonnebcontient le membre de droite. Quand on met les deux ensemble, on a laeguemtne´amrtciae´ej`avuequonad   13 6 21   b  A=Ab= 25 10 30. 318 17 4
Lerangetlessyste`meslin´eaires Onva´etudierlessyste`meslin´eairesenconside´rantlemembredegauchecommexe,mais lemembrededroitecommee´ventuellementvariable.Danscetteoptique,ilestconvenablede conside´rerlerangdunsyste`meline´airecommed´ependantuniquementdesonmembredegauche. Dou`: De´nition.Lerangeicseoccideamrtdesarangstleireeilemae´nysnue`tsdtsenA. Parexemple,lerangdusyste`me(scalculsfaitssur)se3ts,lenoel.teapalrpeg´ce´nede
Pourr´esoudreunsyste`melin´eaireonfaitdesop´erations´ele´mentairesetpivotagessoitsur b les´equations,soitsurlamatriceaugment´eeAysused´ennloheeceriae´nileme`talofmr´e.lAa,n b correspond`alaforme´echelonne´eenlignesdeAte,emelrembucgaduhestsye`eme´hcleno´ne correspond`alaformee´chelonne´eenlignesdelamatricedescoeentsAeduiend´.nOt:
b rgA.00=meorafelndno´eolnnceehme´esy`tsdusigneede=lnombr rgAilederbmon=0=ourmfo=0e0nenoedalhcleno´nst`eme´egnesdusycaveccnon nul.
Cequenousconnaissonssurlasolutiondessyste`mesline´airessetraduitparlesparties(a)et (b)duth´eor`emesuivant: The´ore`me2.idnsro´eunnsstsyoCeedirean´lime`emsnoitauqe´enninconnuesavec matrice   bdes coefficientsA, membre de droiteb,´eeguaetnemamtecirtA=Ab. (a)Pour un membre de droitebuaeniaeritnoosulseulsiettemenrapreilucitt`yses,l´einelem b si on argA= rgA. (b)l,seosulitnodse´pendentdeuQdeanesllisexnttenrgAar`mteerisdne´epndants.pa (c)On argAmetrgAn. Lapartie(c)sed´eduitduThe´ore`me1ci-dessus. Quandonr´eduitlamatriceaugmente´edunsyst`emelin´eaire`asaformee´chelonn´eeenlignes, parfois on termine avec une matrice contenant autant de pivots que de lignes dans la partie gauche de la matrice, comme celle-ci : 1 34 1540 260 00 1
2
Onpeutre´soudreuntelsyst`eme´echelonne´quelquesoitlemembrededroite. Maisparfoisontermineavecunematriceaugment´ee´echelonne´eavecmoinsdepivotsquede lignes dans la partie gauche, comme celle-ci :   1 34 15  0 246 0 00 0
Laderni`erelignecorrespond`aunee´quationdelaforme0=lu`o,enepe´dembrddumede droiteb´ydsptese´uuddoonl´nnnec`eeemhainscertPourart.b, leelavaldnerpme`estsyleet0,ur a des solutions. Pour d’autresb, lens.utioelte,syseontslunnsdpaolesemt`aen Orquandonaunsyst`emeline´airedem´sontiuaeqenninconnuesavec matrice des coeffi-cientsA,elonbmerpidetsvonsdapalaeitrcuagedehamalrgsteee´nnolehce´ecirtA, et le nombre de lignes estm`antabdspredeonusserocssnoid-ictuatuxsiesdeonclD.rordgA=m, et ensuite rgA < m:tnr`eoh´etvauiesemOnadoncl.
The´ore`me3.Cleni`tmeerede´iad´eronsinsysonsumeq´tiuasonenninconnuesavec matrice   bdes coefficientsA, membre de droitebt´eee,mttairecuamgneA=Ab. (a)Quand on argA=mysesemt`inelai´eiordederl,etuesouelqmembitleseoserdanoqsulit b. (b)Quand on argA < mrdedetioemsmesbrerrcintaitnopsuodaseosulin´eaireyst`emeles,l bmais pas pour tout membre de droite.
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