L2 m249 Universite J Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
L2-m249, 2006-2007 Universite J. Fourier Feuille de TD 3 Exercice 1. Algorithme d'Euclide pour les entiers. Determiner a l'aide de l'algorithme d'Euclide le plus petit commun diviseur (PGCD) de 1430 et 1105 et deux entiers u et v satisfaisant l'identite de Bezout, PGCD(1430, 1105) = 1430u + 1105 v . Combien d'iterations sont-elles necessaires ? Exercice 2. Algorithme d'Euclide pour les polynomes. Montrer que les polynomes R0(X) = X3+X2+1 et R1(X) = X2?1 sont premiers entre eux. Determiner a l'aide de l'algorithme d'Euclide des polynomes U et V tels que UR0 + V R1 = 1. Exercice 3. Exercice 5 du TP 4. 1. Soit P (X) = X2?1 et Q(X) = X?2. Montrer que P et Q sont premiers entre eux et determiner des polynomes U et V tels que UP + V Q = 1. 2. Montrer que P (X) et P ?(X) sont premiers entre eux et determiner des polynomes W et Z tels que WP + ZP ? = 1. 3. Deduire des questions 1. et 2. la decomposition en elements simples de f(x) = 1(x2 ? 1)2(x? 2) 4.

• methode des rectangles


• algorithme d'euclide pour les entiers


• polynome interpolateur


• unique polynome


• precision d'ordre h4


• algorithme de sturm


• xn x0


• formule de somme d'euler-maclaurin

Informations

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Extrait

L2m249, 20062007

Feuille de TD 3

Universit´eJ.Fourier

Exercice 1.Algorithme d’Euclide pour les entiers.´Dnemieretid’aalr`gla’ledeemhtiro d’Euclide le plus petit commun diviseur (PGCD) de 1430 et 1105 et deux entiersuetvsatisfaisant l’identit´edeBezout, P GCD(1430,1105) = 1430u+ 1105v . Combiend’it´erationssontellesn´ecessaires? Exercice2.Algorithmed’Euclidepourlespolynoˆmes.sertnoMlesprqueˆomeolynR 0 (X) = 3 22 X+Xet+ 1R 1 (X) =X−eetr.Duxieemenrsos1rptngorithmededel’alrea`’liae´etmrniedilcuE’d despolynoˆmesUetVtels queU R 0 +V R 1 = 1. Exercice 3.Exercice 5 du TP 4. 2 1. SoitP(X) =X−1 etQ(X) =X−que2. MontrerPetQntsosreimerpxueertneetd´eterminer despolynˆomesUetVtels queU P+V Q= 1. 0 2. MontrerqueP(X) etP(Xmoˆnylopsedrenimeseisrrpmeostn)eteretd´eeuxentrWetZtels 0 queW P+ZP= 1. 3.D´eduiredesquestions1.et2.lade´compositionen´ele´mentssimplesde 1 f(x) = 2 2 (x−1) (x−2) 4.De´termineruneprimitivedef. 5.D´eterminerled´eveloppementense´rieentie`reen0def(x). Exercice4.Calculapproche´desracinesd’unpolynoˆme.Pedehodem´etrealiluqanpptuo Newtonpourde´terminerdesvaleursapproche´esdesracinesdespolynˆomessuivants? 2−8 1.R(X) =X+ 10 3 2.P λ (X) =X−3X+λ,λ∈R 3 3.Q(X) =X. Si oui, donner pour chaque racine un domaine de valeurs initialesu 0 edquesllteee´re´tietiusale Newton (u n ) n∈N convergeverslaraccenicrehee´huop(rP λ ertnffie´edgficssauivauresnt,scdierutsdle les valeurs deλ). Exercice 5.Algorithme de Sturm.’ledogla’la`ediarmteerin´eDmorbeSturmlenrithmede 3 deracinesre´ellesdeP(X) =X−3Xdans les intervalles suivants :I 1 = [−2,−1],I 2 = [−1,1] et I 3 = [1,2]. Exercice6.Syst`emesd’´equationsnonlin´eaires 1. SoitPetQertron.Myseselquopxuedsemoˆnyle`tme ( P(x0) = (1) Q(x) =0 est´equivalenta`P GCD(P, Q)(xlusonetumead1)e(nemeluesteisnoittsieruqdeiunE´d=).0 PetQ,casmeoman.Decsce´ilnelsostnertnesontpasnnerteexurpmeeisrdesemorboisnlotu etledegr´edeP GCD(P, Q) ?

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