L3 Algèbre V Université Lyon I
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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
L3 — Algèbre-V — 2011-2012 Université Lyon I V Exercice 1 Soit p un nombre premier. a) Trouver le nombre de p?cycles de Sp. b) Montrer que les p?Sylow de Sp sont cycliques. c) Soient P1, P2 deux sous-groupes de Sylow distincts de Sp. Montrer que leur intersection est triviale. En déduire le nombre de p?Sylow de Sp. d) En déduire le théorème de Wilson : (p? 1)! = ?1 mod p . Exercice 2 Soit Q le sous-groupe de SL2(C) engendré par les matrices : ? ? ? 0 ?1 1 0 ? ? ? et ? ? ? j 0 0 j2 ? ? ? . a) Montrer que Q est d'ordre 12. b) Montrer que A4, D6, Q sont deux à deux non isomorphes (indication : considérer par exemple les 2?Sylow). Exercice 3 Soit G un groupe d'ordre 12. Soient n3 le nombre de 3?Sylow et n2 le nombre de 2?Sylow de G. a) Quelles sont les valeurs possibles pour n2 et n3 ? b) Si G est abélien, montrer que n2 = n3 = 1 et que G ' Z/2Z? Z/2Z? Z/3Z ou Z/4Z? Z/3Z .

  • matrice d'ordre fini dans sl2

  • stabilisateurs des sommets, des arêtes et des diagonales

  • isomorphisme entre le groupe des isométries du plan

  • groupe diédral d'ordre

  • hexagone régulier de sommets e2ikpi

  • isométrie de rn

  • ordre fini


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Langue Français

Extrait

Université Claude Bernard Lyon 1  2007/2008 Licence Sciences et Technologie  UE Mathématiques III, Algèbre
Feuille d’exercices 5 ————————
 Quelques applications de la réduction des endomorphismes 
Exercice 1.Résoudre le système différentiel   1 d   X(t) =AX(t) +t , dt 1 pour les matricesAsuivantes, étudiées dans les planches précédentes,    2 1 11 1 3    1 2 1,2 2 2. 1 1 22 1 4 Exercice 2. 1. Montrer qu’une équation différentielle d’ordrenréelle (resp. complexe), donnée par n n1 d dd z(t) +cn1z(t) +. . .+c1z(t) +c0z(t) =f(t), n n1 dt dtdt où lescisont réels (resp. complexes) etfune fonction continue à valeurs réelles (resp. complexes), peut s’écrire sous la forme d’un système linéaire à coefficients constants de la forme d X(t) =AX(t) +V(t). dt 3 2. Déterminer les fonctionsxdeC(R,C)solutions de l’équation 3 2 d d d x(t) +x(t)x(t)x(t) = cost, tR. 3 2 dt dt dt Exercice 3.On considère dansMn(R),n>2, la matrice   a b .. .b . . b a.. A= . . . . . .b. b .. .b a Déterminer la solution du système d X(t) =AX(t), dt prenant ent= 0la valeurx0, contenue dans l’hyperplan d’équationx1+. . .+xn= 0. Exercice 4.On considère la matrice réelle   37 4   A= 25 3. 5 16 2 1. Montrer que le polynôme caractéristique deAestPA=X(X+ 9). 2. Déterminer la dimension du sousespace propre associé à la valeur propre9. 3. La matriceAestelle diagonalisable?
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