L3 Math VI Représentation des groupes finis

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
L3 - Math VI- Représentation des groupes finis- 2011-2012 —— Dualité - Espaces hermitiens 1. Dualité Exercice 1. Soit E = R3[X]. On considère les formes linéaires : fi : P 7?? ∫ 1 t=?1 t iP (t) dt. a. Montrer que (f0, f1, f2, f3) est une base de E?. b. Trouver la base de E dont elle est la duale. Exercice 2. Soit E = R3[X] et a, b, c ? R distincts. On considère les formes linéaires sur E : fa : P 7?? P (a), fb : P 7?? P (b), fc : P 7?? P (c), ? : P 7?? ∫ b t=a P (t) dt. Étudier la liberté de (fa, fb, fc, ?). Exercice 3. Soit f : R2 ?? R. On dit que f est polynomiale si elle est de la forme : f(x, y) = ∑ i,j aijx iyj , la somme portant sur un nombre fini de termes. Le degré de f est alors max(i+ j tq aij 6= 0). On note Ek l'ensemble des fonctions R2 ?? R polynomiales de degré inférieur ou égal à k.

• classe de la matrice


• matrices unitaires


• unique couple de matrices hermitiennes


• espace des matrices mn


• a2 a2


• façon unique


• combinaison linéaire de f1

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Extrait

L3 - Math VI- ReprÉsentation des groupes finis- 2011-2012 —— DualitÉ - Espaces hermitiens

1.DualitÉ R 1 i Exercice 1.SoitE=R 3 [X]. On considre les formes linaires :f i :P−7→t P(t)dt. t=−1 ∗ a. Montrer que(f 0 , f 1 , f 2 , f 3 )est une base deE. b. Trouver la base deEdont elle est la duale. Exercice 2.SoitE=R 3 [X]eta, b, c∈Rdistincts. On considre les formes linaires sur E : Z b f a :P7→−P(a), f b :P7−→P(b), f c :P→−7P(c), ϕ:P→−7P(t)dt. t=a Ètudier la libert de(f a , f b , f c , ϕ). P 2i j Exercice 3.Soitf:R−→R. On dit quefest polynomiale si elle est de la forme :f(x, y) =a ij x y, la i,j somme portant sur un nombre fini de termes. Le degr defest alorsmax(i+jtqa ij 6= 0). 2 On noteE k l’ensemble des fonctionsR−→Rpolynomiales de degr infrieur ou gal Àk. a. Montrer queE k est unR-ev de dimension finie et donner sa dimension. b. SoientA= (0,0),B= (1,0),C= (0,1). Montrer que les formes linairesf→−7f(A),f7−→f(B),f→7−f(C) ∗ constituent une base deE. 1 RR f(A)+f(B)+f(C) c. SoitTle triangle pleinABCetf∈E 1 . Montrer quef(x, y)dxdy=. T 6 ∗ Exercice 4.SoitEunK-ev de dimension finie etf,f 1 , . . . , f p ∈E. Montrer quefest combinaison linaire de f 1 , . . . , f p si et seulement siKerf⊃Kerf 1 ∩ ∙ ∙ ∙ ∩Kerf p . n 2.Cmuni de sa structure hermitienne naturelle

n Exercice 5.On considre l’espaceCmuni de sa structure hermitienne(,)naturelle donne par n X (x 1 , . . . , x n )(y 1 , . . . , y n ) =x¯ i y i . i=1 n a. Quelle est la matrice de la forme(,)dans la base canonique deC? n b. SoitB= (e i )une base quelconque deC. Montrer que n X XX h(x i e i , y i e i ¯) :=x i y i (∗) i ii=1 n dfinit une forme hermitiennehdfinie positive surC. n c. Rciproquement, montrer que sihest une forme hermitienne dfinie positive surC, alors il existe une base B= (e i )telle que (*) soit vrifie. d. Montrer que b. et c. peuvent s’exprimer matriciellement de la manire suivante :Hest une matrice hermitienne ∗ dfinie positive si et seulement si il existePdans GL n (C)tel queH=P P. Exercice 6.La DÉcomposition de Cholesky.Montrer À l’aide de la mthode de Gram-Schmidt que l’on peut avoir Ptriangulaire suprieur avec des coefficients positifs sur la diagonale. Montrer qu’alors cette dcomposition est unique. 3 Exercice 7.Soit l’hyperplanFdeCdonn par l’quationx+ 2iy−z= 0.

a. Par la mthode de Gram-Schmidt, trouver une base orthonorme deF.

3 b. Donner l’expression de la projection orthogonale deCsurFpour le produit hermitien usuel, d’une part par ⊥ une mthode directe, d’autre part en calculant l’expression de la projection orthogonale surF. 1