L3 Math VI Représentation des groupes finis

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

Je m'inscris

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

Je m'inscris

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

ondey

Langue

Français

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3L3 - Math VI- Représentation des groupes finis- 2011-2012 —— Dualité - Espaces hermitiens 1. Dualité Exercice 1. Soit E = R3[X]. On considère les formes linéaires : fi : P 7?? ∫ 1 t=?1 t iP (t) dt. a. Montrer que (f0, f1, f2, f3) est une base de E?. b. Trouver la base de E dont elle est la duale. Exercice 2. Soit E = R3[X] et a, b, c ? R distincts. On considère les formes linéaires sur E : fa : P 7?? P (a), fb : P 7?? P (b), fc : P 7?? P (c), ? : P 7?? ∫ b t=a P (t) dt. Étudier la liberté de (fa, fb, fc, ?). Exercice 3. Soit f : R2 ?? R. On dit que f est polynomiale si elle est de la forme : f(x, y) = ∑ i,j aijx iyj , la somme portant sur un nombre fini de termes. Le degré de f est alors max(i+ j tq aij 6= 0). On note Ek l'ensemble des fonctions R2 ?? R polynomiales de degré inférieur ou égal à k.classe de la matrice matrices unitaires unique couple de matrices hermitiennes espace des matrices mn a2 a2 façon unique combinaison linéaire de f1

Voir

Publié par

ondey

Langue

Français

L3 - Math VI- ReprÉsentation des groupes finis-2011-2012 —— DualitÉ - Espaces hermitiens

1.DualitÉ R 1 i Exercice 1.SoitE=R3[X]. On considre les formes linaires :fi:P−7→t P(t)dt. t=−1 ∗ a. Montrer que(f0, f1, f2, f3)est une base deE. b. Trouver la base deEdont elle est la duale. Exercice 2.SoitE=R3[X]eta, b, c∈Rdistincts. On considre les formes linaires sur E : Z b fa:P7→−P(a), fb:P7−→P(b), fc:P→−7P(c), ϕ:P→−7P(t)dt. t=a Ètudier la libert de(fa, fb, fc, ϕ). P 2i j Exercice 3.Soitf:R−→R. On dit quefest polynomiale si elle est de la forme :f(x, y) =aijx y, la i,j somme portant sur un nombre ﬁni de termes. Le degr defest alorsmax(i+jtqaij6= 0). 2 On noteEkl’ensemble des fonctionsR−→Rpolynomiales de degr infrieur ou gal Àk. a. Montrer queEkest unR-ev de dimension ﬁnie et donner sa dimension. b. SoientA= (0,0),B= (1,0),C= (0,1). Montrer que les formes linairesf→−7f(A),f7−→f(B),f→7−f(C) ∗ constituent une base deE. 1 RR f(A)+f(B)+f(C) c. SoitTle triangle pleinABCetf∈E1. Montrer quef(x, y)dxdy=. T6 ∗ Exercice 4.SoitEunK-ev de dimension ﬁnie etf,f1, . . . , fp∈E. Montrer quefest combinaison linaire de f1, . . . , fpsi et seulement siKerf⊃Kerf1∩ ∙ ∙ ∙ ∩Kerfp. n 2.Cmuni de sa structure hermitienne naturelle

n Exercice 5.On considre l’espaceCmuni de sa structure hermitienne(,)naturelle donne par n X (x1, . . . , xn)(y1, . . . , yn) =x¯iyi. i=1 n a. Quelle est la matrice de la forme(,)dans la base canonique deC? n b. SoitB= (ei)une base quelconque deC. Montrer que n X XX h(xiei, yiei¯) :=xiyi(∗) i ii=1 n dﬁnit une forme hermitiennehdﬁnie positive surC. n c. Rciproquement, montrer que sihest une forme hermitienne dﬁnie positive surC, alors il existe une base B= (ei)telle que (*) soit vriﬁe. d. Montrer que b. et c. peuvent s’exprimer matriciellement de la manire suivante :Hest une matrice hermitienne ∗ dﬁnie positive si et seulement si il existePdans GLn(C)tel queH=P P. Exercice 6.La DÉcomposition de Cholesky.Montrer À l’aide de la mthode de Gram-Schmidt que l’on peut avoir Ptriangulaire suprieur avec des coeﬃcients positifs sur la diagonale. Montrer qu’alors cette dcomposition est unique. 3 Exercice 7.Soit l’hyperplanFdeCdonn par l’quationx+ 2iy−z= 0.

a. Par la mthode de Gram-Schmidt, trouver une base orthonorme deF.

3 b. Donner l’expression de la projection orthogonale deCsurFpour le produit hermitien usuel, d’une part par ⊥ une mthode directe, d’autre part en calculant l’expression de la projection orthogonale surF. 1

Voir