LICENCE DE MATHEMATIQUES Automne ANALYSE Universite de Nice Sophia Antipolis
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
LICENCE DE MATHEMATIQUES Automne 2010 ANALYSE 1 Universite de Nice Sophia Antipolis CORRIGE DE L'EXAMEN PARTIEL Exercice 1 On doit montrer que ? > 0, ?? > 0, ?x ? I, (|x? x0| < ? =? |f(x) + g(x)? (1 + 2)| < ). On se donne > 0 quelconque. Par definition, il existe ?1 > 0 et ?2 > 0 tels que |x? x0| < ?1 =? |f(x)? 1| < /2 et |x? x0| < ?2 =? |g(x)? 2| < /2. Soit ? = min(?1, ?2), alors ? > 0. Supposons que x ? I verifie |x ? x0| < ?. Alors |f(x) + g(x)? (1 + 2)| ≤ |f(x)? 1|+ |g(x)? 2| < /2 + /2 = . Ceci montre que limx?x0(f + g)(x) = 1 + 2. Exercice 2 1) La fonction f est croissante ssi ?x ? I,?y ? I, (x ≤ y =? f(x) ≤ f(y)).

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  • lim n?

  • licence de mathematiques automne

  • xy ≤

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LICENCE DE MATHEMATIQUES ANALYSE 1 Universite de Nice Sophia Antipolis
Automne 2010
´ CORRIGE DE L’EXAMEN PARTIEL Exercice 1On doit montrer que  >0,δ >0,xI,(|xx0|< δ=⇒ |f(x) +g(x)(`1+`2)|< ). On se donne >itnoeinra´deuP.exist,ileelqunqco0δ1>0 etδ2>0 tels que |xx0|< δ1=⇒ |f(x)`1|< /2 et |xx0|< δ2=⇒ |g(x)`2|< /2. Soitδ= min(δ1, δ2), alorsδ >0. Supposons quexIv´eier|xx0|< δ. Alors |f(x) +g(x)(`1+`2)| ≤ |f(x)`1|+|g(x)`2|< /2 +/2 =. Ceci montre que limxx0(f+g)(x) =`1+`2.
Exercice 2 1)La fonctionfest croissante ssi xI,yI,(xy=f(x)f(y)). 2 2)Montrons que la fonctionfusrnied´eI= [0,+[ parf(x) =x+ 1 estcroissante.Dapre`slad´enitionpr´ec´edente,ondoitmontrerque 2 2 xI,yI,(xy=x+ 1y+ 1). SoientxetyosoppuS.seuqnoclequnsuerxdsqueitifspos´eelxy. En 2 multipliantcettein´egalit´eparx0, on obtientxxy. En la multipliant 2 pary0, on obtientxyyeitni,vlin´edeuxt´esgaliinue´rnEsectnass 2 2 xxyy . 2 2 En ajoutant 1 de part et d’autre, on obtientx+ 1y+ 1.
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