LICENCE DE MATHEMATIQUES Automne ANALYSE Universite de Nice Sophia Antipolis

Sophia Antipolis

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
LICENCE DE MATHEMATIQUES Automne 2010 ANALYSE 1 Universite de Nice Sophia Antipolis CORRIGE DE L'EXAMEN PARTIEL Exercice 1 On doit montrer que ? > 0, ?? > 0, ?x ? I, (|x? x0| < ? =? |f(x) + g(x)? (1 + 2)| < ). On se donne > 0 quelconque. Par definition, il existe ?1 > 0 et ?2 > 0 tels que |x? x0| < ?1 =? |f(x)? 1| < /2 et |x? x0| < ?2 =? |g(x)? 2| < /2. Soit ? = min(?1, ?2), alors ? > 0. Supposons que x ? I verifie |x ? x0| < ?. Alors |f(x) + g(x)? (1 + 2)| ≤ |f(x)? 1|+ |g(x)? 2| < /2 + /2 = . Ceci montre que limx?x0(f + g)(x) = 1 + 2. Exercice 2 1) La fonction f est croissante ssi ?x ? I,?y ? I, (x ≤ y =? f(x) ≤ f(y)).

• definition precedente


• ?m ?


• resultat de la question precedente


• lim n?


• licence de mathematiques automne


• xy ≤


• question precedente

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Extrait

LICENCE DE MATHEMATIQUES ANALYSE 1 Universite de Nice Sophia Antipolis

Automne 2010

´ CORRIGE DE L’EXAMEN PARTIEL Exercice 1On doit montrer que ∀ >0,∃δ >0,∀x∈I,(|x−x 0 |< δ=⇒ |f(x) +g(x)−(` 1 +` 2 )|< ). On se donne >itnofieinra´deuP.exist,ileelqunqco0δ 1 >0 etδ 2 >0 tels que |x−x 0 |< δ 1 =⇒ |f(x)−` 1 |< /2 et |x−x 0 |< δ 2 =⇒ |g(x)−` 2 |< /2. Soitδ= min(δ 1 , δ 2 ), alorsδ >0. Supposons quex∈Iv´eifier|x−x 0 |< δ. Alors |f(x) +g(x)−(` 1 +` 2 )| ≤ |f(x)−` 1 |+|g(x)−` 2 |< /2 +/2 =. Ceci montre que lim x→x 0 (f+g)(x) =` 1 +` 2 .

Exercice 2 1)La fonctionfest croissante ssi ∀x∈I,∀y∈I,(x≤y=⇒f(x)≤f(y)). 2 2)Montrons que la fonctionfusrfinied´eI= [0,+∞[ parf(x) =x+ 1 estcroissante.D’apre`slad´efinitionpr´ec´edente,ondoitmontrerque 2 2 ∀x∈I,∀y∈I,(x≤y=⇒x+ 1≤y+ 1). SoientxetyosoppuS.seuqnoclequnsuerxdsqueitifspos´eelx≤y. En 2 multipliantcettein´egalit´eparx≥0, on obtientx≤xy. En la multipliant 2 pary≥0, on obtientxy≤yeitni,vlin´edeuxt´esgaliinue´rnEsectnass 2 2 x≤xy≤y . 2 2 En ajoutant 1 de part et d’autre, on obtientx+ 1≤y+ 1.