Licence de Sciences Economiques Annee Universite de Nice Sophia Antipolis Mathematiques L1
3 pages
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Licence de Sciences Economiques Annee Universite de Nice Sophia Antipolis Mathematiques L1

-

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
3 pages

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Licence de Sciences Economiques Annee 2008-2009 Universite de Nice Sophia-Antipolis Mathematiques L1 Feuille 4 extremum libre, extremum avec contrainte, fonctions homogenes Exercice 1 – (Deuxieme session 2005) On considere la fonction { f : R2 ? R (x1, x2) 7? x 2 1 + x1x2 + x 2 2 + x1 + 2x2 + 4. 1. Justifier en une phrase que f admet des derivees partielles d'ordre deux. 2. Soit (x1, x2) ? R2, determiner ∂f ∂x1 (x1, x2) et ∂f ∂x2 (x1, x2). 3. Soit (x1, x2) ? R2, determiner ∂2f ∂x21 (x1, x2), ∂2f ∂x22 (x1, x2), ∂2f ∂x2∂x1 (x1, x2) et ∂2f ∂x1∂x2 (x1, x2). 4. Montrer que ∂f ∂x1 (0, ?1) = 0 et que ∂f ∂x2 (0, ?1) = 0. Calculer f(0, ?1). 5. Soit (x1, x2) ? R2, calculer ∂2f ∂x21 (x1, x2)? ∂2f ∂x22 (x1, x2)? ( ∂2f ∂x1∂x2 (x1, x2) )2 . 6. Montrer que f admet en (0,?1) un extremum local.

  • extremum local

  • ∂h ∂x2

  • deuxieme session

  • identite d'euler

  • r2 ?

  • derivees partielles d'ordre

  • r2 ??


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 51

Exrait

Licence de Universite´
´ SciencesEconomiques de Nice Sophia-Antipolis
Anne´e2008-2009 Mathe´matiquesL1
Feuille 4 extremumlibre,extremumaveccontrainte,fonctionshomog`enes Exercice 1ueD(e`ix00n25)semeioss Onconside`relafonction ( 2 f:RR 2 2 )7→x+x x+x+x+ 2x+ 4. (x1, x2 11 22 12 1. Justifieren une phrase quefatemddsedire´odreredxu.v´eespartiellesd ∂f ∂f 2 2. Soit(x1, x2)Rrenimre(etd´,x1, x2() etx1, x2). ∂x1∂x2 2 22 2 ∂ f∂ f∂ f∂ f 2 3. Soit(x1, x2)R(nimrred,ete´x1, x2), (x1, x2), (x1, x2() etx1, x2). 2 2 ∂x1∂x2∂x2∂x1∂x1∂x2 ∂f ∂f 4. Montrerque (0,1) = 0 et que(0,Calculer1) = 0.f(0,1). ∂x1∂x2  ! 2 2 22 ∂ f∂ f∂ f 2 5. Soit(x1, x2)R(, calculerx1, x2)×(x1, x2)(x1, x2) . 2 2 ∂x1∂x2∂x1∂x2 6. Montrer quefadmet en (0,1) un extremum local.Est-ce un maximum local ou un minimum local ? 7. Trouverles points critiques defapseeitrre´de´viedresllord-ta`d-ri(csetso`uleselespoin un s’annulent). Exercice 2xueD(seseme`i2006sion) Onconsid`erelafonction: 2 22 f:R−→R,(x , x)7 1 2−→f(x1, x2) =x1+ 2x2x1x2x2+ 1. 2 1) Justifier en une phrase quef´erilesdulerCalcue.xrddedrollseiertpaes´eiverd´sedtemdaee´vs partielles d’ordre 1 et d’ordre 2 def. 2) Trouver les points critiques deft-`a-dir(cesst`oluseleseopnipaesierterd´´eivuerdnsellrod s’annulent). 3) Montrer quefentxemutdaecr´.Palocmlmuredtigaslisresinuamixumomu`dnumini-mum.
Exercice 3( 2 h:RR Soithofalitcnd´onniearep 2 (x1, x2)7→(2x1+x2)4x12x2+ 7.
1.Quelestledomainedede´nitiondehla fonction? Pourquoihse´dlldetee-amd´eeseriv 2 partielles surR. 2. Chercherles points critiques deh. Exercice 4ixueD(sseseme`e`eralofcnitno:ion2006)Onconsid 2 f:R−→R,(x1, x2)7f(x1, x2) = ln(x1+ 1) + 2ln(x2+ 1). 1)D´eterminerledomainedede´nitiondefntse´eprreleetuqmene.trergpaih On restreindra dans la suite la fonctionfmadoedin`onasitn´eedn.io 2)Calculeralorslesde´riv´eespartiellesdordreundefonncd´sieleronafoitc:nO. 2 g:R−→R,(x1, x2)7g(x1, x2) = 2x1+ 5x210. 3)De´termineruncoupleder´eel(x1, x2) satisfaisantx1>0,x2>0 et tel que : g(x1, x2) = 0 ∂f ∂g∂f ∂g (x1, x2) (x1, x2)(x1, x2) (x1, x2) = 0. ∂x1∂x2∂x2∂x1 3 On note Ω ={(x1, x2, λ)Rtel quex1>0 etx2>0}eth: Ω−→Re´dpeincnofnoitlaar: (x1, x2, λ)7h(x1, x2, λ) = ln(x1+ 1) + 2ln(x2+ 1) +λ(2x1+ 5x210). 4)De´terminerlespointscritiquedehs(,cea`tseridpseltniox1, x2, λ) de Ω tels que ∂h ∂h∂h (x1, x2, λ() =x1, x2, λ() =x1, x2, λ) = 0. ∂x1∂x2∂λ 2 5) On suppose que la restriction defau sous-ensemble deRieparl´d´enqeauitnog(x1, x2) = 0 2 admet sur{(x1, x2)Rtel quex1>0 etx2>0}qnerleuemumextrunimentere.l´Dolac pointcetextremumlocalestatteintetsavaleur.(Onutiliseraunre´sultatducours).
3 Exercice 5Soitf:RR,(x1, x2, x3)7→f(x1, x2, x3) =x1+x2+x3. 3 22 2 Soitg:RR,(x1, x2, x3)7→g(x1, x2, x3) =x+x+x. 1 2 3 3 22 2 On poseS={(x1, x2, x3)Rtels quex+x+x= 1}. 1 2 3 3 1) Montrer queSobe´e´nrnutsmrefedeR. 2)Pr´ecisercequestlarestrictionf|Sdefa`S? 3)Montrerencitantunthe`ore`meducoursquilexisteunpointa= (a1, a2, a3) deStel que la restrictionf|Sdefa`Sadmet un maximum et un pointb= (b1, b2, b3) deStel que la restriction f|Sdef`aSadmet un minimum. 4) Quels sont les points critiques deg? 4 Soith:RR,(x1, x2, x3, λ)7→h(x1, x2, x3, λ) =f(x1, x2, x3) +λ(g(x1, x2, x3)1). 5)De´terminerlespointscritiquesdeh. 6)De´duiredunth´eor`emeducoursquelonpr´eciseralespointso`ularetrictionf|Sdef`aS admetunmaximumetceuxo`ucetterestrictionadmetunminimum.Quecelasignietilpour les valeurs prises parf?
2
Exercice 6D(00)6nOocsndie`eraeluoxfic`neimtensoes:sion2 2x1x2 h:R−→R,(x1, x2)7h(x1, x2) =. x1+x2 1)D´eterminerledomaineded´enitionDhde la fonctionhiqphrarg.ntmeueperelteetnese´r On restreindra dans la suite la fonctionh.noe´ditinaiomdene`andso 2)Montrer`apartirdelad´enitiondunefonctionhomog`enequehoihtncon`ogfoemnuetnsee etpr´ecisersondegre´dhomoge´n´eit´e. 2 3) Montrer queDhest un ouvert deR. 4) Pourquoi la fonctionhntsoudoonesllrtsune´oitiniamdedemdteadesee-lliv´ed´errtieespa ?Calculerlesd´eriv´eespartiellesdordreundeh. ´ 5)Ecrirelidentit´edEulerquesatisfaitlafonctionhalcuruncectcldir,s´vP.iureapreiette identite´. 7) calculer surDhllessecondesde´drevie´seaptreieslfdetehwSctzar..re´Vreidilitne Exercice 7)0280isnosesei`erPrem( 2 f:R−→R 3 3 Onconside`relafonctionfrapeine´dxx 1 2 (x1, x2)7f(x1, x2) =. x1x2 1.D´eterminerledomainedede´nitionDfdefihuqrgpa.tmene´eprreetleerntse 2.Donnerlad´enitiondenoˆcsopefiti. Est-ce-quel’ensembleDfetsnuˆcnoepositif? 3. Montrerque la fonctionfemohoeng`tuneene`gomohtsenitad´eantlilisitnoofcnuenoidn (nepasoublierdepre´cisersondegr´edhomog´ene´ite´). 4.Citerlethe´or`eme(identite´)dEuler.Pourquoipeut-onlappliquer`alafonctionf? 5.Calculerlesd´eriv´eespartiellesdordre1delafonctionf. 6.V´erierlidentite´dEuler. 7. CalculersurDfre´de´viapseeitreslsecollesdendesfire´VreneitldihwScdete..tzar Exercice 81l:rennoD)´dedinemodeeniancfoontiontilade 2 2 x x 3 12 f:RR,(x1, x2, x3)7→ −. x2x3 Puis,montrerquesurcedomaineded´enition,cettefonctionesthomog`ene.Pr´ecisersondegre´ dhomog´ene´it´e.V´erierlidentite´dEuler. 2)Meˆmequestionaveclafonction: 1/4 3/4 2 g:RR,(x1, x2)7→17x1x2.
3