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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
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Informations

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Extrait

Ann´ee universitaire 2006-2007
´ ´UNIVERSITE D’ORLEANS
Olivier GARET
Int´egration, Fourier et Probabilit´es2Table des mati`eres
Table des mati`eres i
1 Un peu de th´eorie de la mesure 1
1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Axiomes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Sous-tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Op´erations sur les tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Intersection de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Tribu engendr´ee par une famille de tribus. . . . . . . . 3
Tribu´ee par une d’ensembles . . . . . . 3
1.1.5 Tribu bor´elienne, fonctions mesurables . . . . . . . . . 3
Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Alg`ebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Espace mesur´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Extension d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Exercices de th´eorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Convergence et mesurabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Tribu bor´elienne deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Convergence et mesurabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Espace probabilis´e 15
2.1 Espace´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Partitions et probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Conditionnements en chaˆıne . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2t par tous les cas possibles . . . . . . . 20
2.3.3 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
i`ii TABLE DES MATIERES
´2.4.1 Ev´enements ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Tribus ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Ind´ependance et tribus engendr´ees . . . . . . . . . . . 22
2.5 Premiers exercices de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Integrales 29
3.1 D´efinition de l’int´egrale et propri´et´es de base . . . . . . . . . . 29
3.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Rappel des propri´et´es de bases . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Cons´equences importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Int´egration sur un ensemble, mesures `a densit´e . . . . . . . . . 31
3.2.1 Int´egration sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Fonctions simples (ou fonctions ´etag´ees) . . . . . . . . 32
3.2.3 Mesure `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4 Int´egration par rapport a` une mesure image . . . . . . 33
3.3 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Construction de la mesure produit . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Th´eor`emes de Fubini et Tonelli . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.3 Associativit´e de la mesure produit . . . . . . . . . . . . 39
3.3.4 Convolution de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Premiers exercices d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Lois des variables et des vecteurs al´eatoires 43
4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Propri´et´es de la fonction de r´epartition d’une variable
al´eatoire r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2 Tribu engendr´ee par une ou plusieurs variables al´eatoires 46
4.2 Ind´ependance des variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Application : loi 0−1 de Kolmogorov . . . . . . . . . . 49
4.2.2 Variables al´eatoires int´ependantes et convolutions . . . 50
4.3 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.1 Fonction d’une variable al´eatoire discr`ete . . . . . . . . 54
4.4 Variables et vecteurs al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . 54
4.4.1 Premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.2 Densit´es et lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.3 Ind´ependance et densit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Variables et lois discr`etes classiques . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.1 Indicatrice d’un ´ev´evenement . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.2 Masse de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.3 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58`TABLE DES MATIERES iii
4.5.4 Loi uniforme sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.5 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.6 Loi g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.7 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.8 Loi hyperg´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Lois `a densit´e usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
d4.6.1 Loi uniforme sur un compact deR . . . . . . . . . . . 62
4.6.2 Loi sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . 63
24.6.3 Loi gaussienne de param`etres m et σ . . . . . . . . . . 63
4.6.4 Loi exponentielle de param`etres a . . . . . . . . . . . . 64
4.6.5 Lois de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6.6 Lois Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7 Exercices sur les lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Esp´erances et calculs 69
5.1 Quelques rappels sur la construction de l’esp´erance . . . . . . 69
5.2 propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Application : Formule de Poincar´e et in´egalit´es de Bonferroni . 70
5.4 In´egalit´e de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Int´egrale et queue de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.6 Th´eor`emes de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6.1 Calcul de l’esp´erance d’une variable al´eatoire discr`ete . 75
5.6.2 de l’esp´ d’une v al´ a` densit´e 76
5.7 Moments d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.7.1 Covariance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.7.2 Matrice de cov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7.3 Esp´erance et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.8 Calculs de lois images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.8.1 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.8.2 Application aux lois gaussiennes . . . . . . . . . . . . . 84
5.8.3 : convolution de deux lois `a densit´e . . . . 85 : Γ(a,λ)∗Γ(b,λ)=Γ(a+b,λ) . . . . . . . 86
5.8.4 Compl´ements m´ethodologiques . . . . . . . . . . . . . 87
5.9 Calcul des premiers moments des lois discr`etes usuelles . . . . 91
5.9.1 Indicatrice d’un ´ev´enement . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.9.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.9.3 Loi g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.9.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.9.5 Loi hyperg´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.10 Calcul des premiers moments des lois `a densit´e usuelles . . . . 95
5.10.1 Loi uniforme sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . 95`iv TABLE DES MATIERES
5.10.2 Loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.10.3 Lois Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.10.4 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.10.5 Lois de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.11 Exercice sur les esp´erances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
p6 Espaces L 101
p p6.1 De L a`L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 In´egalit´e de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.2 In´egalit´e triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
p6.2 Compl´etude deL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 Th´eor`emes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
p6.4 Exercices sur les espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7 Convolution et transformation de Fourier 111
7.1 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
17.1.1 convolution dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.2 autres produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.3 Approximations de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.4 R´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2 transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.1 propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2