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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence I.P.É. 2005–06 Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPÉ Math306 Année 2005-2006 Corrigé de l'Examen 1re session, janvier 2006 Ex 1. Échauffement graphique (4 points) La variable aléatoire X a pour fonction de répartition F dont le graphe est représenté par la figure 1. y 1 0,7 0,6 0,4 0,2 0 2 4 6 t Fig. 1 – Fonction de répartition F 1) Calcul de quelques probabilités par simple lecture du graphe de F . P (X = 0) = F (0) ? F (0?) = 0,4 ? 0,2 = 0,2. P (X ≥ 0) = 1 ? P (X < 0) = 1 ? F (0?) = 1 ? 0,2 = 0,8. P (4 ≤ X ≤ 6) = P (X ≤ 6) ? P (X < 4) = F (6) ? F (4?) = 1 ? 0,6 = 0,4. P (0 < X < 4) = P (X < 4) ? P (X ≤ 0) = F (4?) ? F (0) = 0,6 ? 0,4 = 0,2.

espérance

espérance de l'indicatrice

variable aléatoire

formule

?? ? card

card ixn

x1x2 ?

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IPÉ Math306

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

I.P.É. 2005–06

Année 2005-2006

re Corrigé de l’Examen 1 session, janvier 2006

Ex 1.Échauﬀement graphique (4 points) La variable aléatoireXa pour fonction de répartitionFdont le graphe est représenté par la ﬁgure 1.

0,7 0,6

0,4

0,2

Fig.1 – Fonction de répartitionF

Calcul de quelques probabilités par simple lecture du graphe deF.

P(X= 0) =F(0)−F(0−) = 0,4−0,2 = 0,2. P(X≥0) = 1−P(X <0) = 1−F(0−) = 1−0,2 = 0,8. P(4≤X≤6) =P(X≤6)−P(X <4) =F(6)−F(4−) = 1−0,6 = 0,4. P(0< X <4) =P(X <4)−P(X≤0) =F(4−)−F(0) = 0,6−0,4 = 0,2. P(X≥6) = 1−P(X <6) = 1−F(6−) = 1−F(6) = 1−1 = 0. R +∞ + + 2) Calcul deE(X). On sait queE(X(1) = −F(t)) dtet commeF(t)vaut 0 1pourt≥6, cette intégrale généralisée se réduit à une intégrale de Riemann ordinaire : Z 6 + E(X(1) = −F(t)) dt. 0

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