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Français

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence 2-ieme annee, parcours PC 11 semaines de cours, 10 semaines de TD CH 1. Fonctions de plusieurs variables (1,5 semaines) • Une description tres sommaire sur le contenu et le but de notre cours: etendre le savoir-faire en matiere d'analyse d'une variable au cas de plusieurs variables, par exemple 2 (plan) ou 3 (espace); de la notion de proximite (continuıte, derivabilite) au calcul des masses (integrale). • Notion d'une fonction de plusieurs variables: numerique, vectorielle; voisinage d'un point dans l'espace ou le plan; normes euclidiennes; operations sur les fonctions: some, produit (?), composantes, composees. • Le graphe d'une fonction de plusieurs variables: exemple de x2 ? y2. • La limite d'une fonction en un point et la limite suivant un arc. Exemples: (xy)/ √ x2 + y2, (xy)/(x2 + y2) a l'origine du plan. • La definition de la continuite, en un point et dans un domaine. Exemples: f(x, y) = y sin(x/y) si y = 0, f(x, 0) = 0. • Des resultats sur la continuite: toute fonction rationnelle est continue sur sont domaine de definition; la continuite d'une fonction a valeurs vectorielles et celle de ses fonctions composantes; thm de la composee de deux fonctions continues.

calcul des masses

derivees

continuite

derivee directionnelle

exemples de calcul

integrales curvilignes de premiere espece et de seconde espece

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Licence2-i`emeanne´e,parcoursPC 11 semaines de cours, 10 semaines de TD

CH 1. Fonctions de plusieurs variables (1,5 semaines) • Unedescriptiontre`ssommairesurlecontenuetlebutdenotrecours:e´tendrelesavoir-faire en matiere d’analyse d’une variable au cas de plusieurs variables, par exemple 2 (plan) ou 3 (espace);delanotiondeproximit´e(continuı¨t´e,d´erivabilit´e)aucalculdesmasses(inte´grale). • Notiond’unefonctiondeplusieursvariables:num´erique,vectorielle;voisinaged’unpoint dansl’espaceouleplan;normeseuclidiennes;ope´rationssurlesfonctions:some,produit (?),composantes,compose´es. • Le graphe d’une fonction de plusieurs variables: exemple de x 2 − y 2 . • La limite d’une fonction en un point et la limite suivant un arc. Exemples: ( xy ) / p x 2 + y 2 , ( xy ) / ( x 2 + y 2 )`al’origineduplan. • Lade´ﬁnitiondelacontinuite´,enunpointetdansundomaine.Exemples: f ( x, y ) = y sin( x/y ) si y = 0, f ( x, 0) = 0. • Desr´esultatssurlacontinuit´e:toutefonctionrationnelleestcontinuesursontdomaine ded´eﬁnition;lacontinuite´d’unefonctiona`valeursvectoriellesetcelledesesfonctions composantes;thmdelacompos´eededeuxfonctionscontinues. CH 2. Calcul diﬀerentiel (4,5 semaines) • Rappeldelanotiondefonctionderive´edanslecasd’unevariable:lanotation f ( t 0 + δ ) ≈ f ( t 0 ) + f 0 ( t 0 ) δ , la pente du graphe. • De´riv´eespartiellesdepremierordre,danslecasdedeuxvariables,aveclesexemples: x + 3 xy 2 au point (0 , 1), y sin( x/y ) au point (0 , 0)o`ulafonctionestsuppose´enulle. • De´riv´eedirectionnelle:j’aidonnelarelation D v~ f ( x 0 , y 0 ) = α ∂∂xf ( x 0 , y 0 ) + β ∂∂fy ( x 0 , y 0 ) pour v~ = ( α, β ) (je suppose que tout vecteur directeur est unitaire), mais prudence: cette relation exigeuneconditiontr`esforte... • MatricedeJacobietcompos´eededeuxfonctions. (1) F ( t ) = f ( x ( t ) , y ( t )) au cas particulier: x et y sont aﬃnes en t . (2) F ( u, v ) = f ( x ( u, v ) , y ( u, v )) au cas particulier: coord. polaires ( r, θ ) − > ( x, y ). • Lechangementdecoord.:de´ﬁnitionetexemples(polaire,sph´erique,cylindrique,etleur r´eciproque,leurmatricejacobienne) • Ladiﬀ´erentiabilite´paranalogieaveclade´riv´eeencasd’uneseulevariable:leplantangent remplace alors la droite tangente, dessin avec x 2 + y 2 + 1. • Desproprietesconcernantlasomme,leproduitdefonctionsdiﬀ´erentiables,ladiﬀ´erentielle d’une application li ´ i e ou aﬃne, et nea r c, • Ladiﬀ´erentiabilit´eetlacontinuite´,lade´rivabilite´”partielle”;larelation df = f x dx + f y dy (encasdedeuxvariable,a`valeursnumeriques);lacondition C 1 . 1

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