LICENCE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
LICENCE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE DEUXIÈME ANNÉE Unité d'enseignement LMI 3.02 ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE 2 Françoise GEANDIER Université Henri Poincaré Nancy I Département de Mathématiques

  • systèmes d'équations différentielles linéaires

  • polynômes d'endomorphismes

  • espaces vectoriels de polynômes

  • normes sur kn

  • base orthogonale


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Exrait

LICENCE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE DEUXIÈME ANNÉE
Unité d’enseignement LMI 3.02
ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE
Françoise GEANDIER
Université Henri Poincaré Nancy I Département de Mathématiques
2
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Table des matières
I Rappels d’algèbre linéaire∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
1. Espaces vectoriels. 2. Applications linéaires - Matrices. 3. Déterminants. 4. Espaces vectoriels de polynômes.
II Réduction des endomorphismes∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
1. Sous-espaces propres. 2. Diagonalisation. 3. Polynômes d’endomorphismes. 4. Trigonalisation.
1
13
III Exponentielles de matrices - Systèmes d’équations différentielles linéaires ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙27
1. Normes surKnetMn(K). 2. Exponentielles de matrices. 3. Systèmes d’équations différentielles linéaires. 4. Equations différentielles linéaires homogènes d’ordrenà coefficients constants.
IV Espaces euclidiens∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
1. Formes bilinéaires symétriques - Formes quadratiques. 2. Espaces euclidiens. 3. Orthogonalité. 4. Bases orthogonales et orthonormées. 5. Projection orthogonale - Symétrie orthogonale. 6. Problèmes de moindres carrés.
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V Espaces hermitiens∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
1. Formes sesquilinéaires hermitiennes - Formes quadratiques. 2. Espaces hermitiens. 3. Orthogonalité. 4. Bases orthogonales et orthonormées.
VI Réduction des matrices normales∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
1. Matrice adjointe. 2. Matrices normales. 3. Cas des matrices réelles.
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I RAPPELS D’ALGÈBRE LINÉAIRE
1. Espaces vectoriels 1.1RnetCn On considèreRle corps des nombres réels etCle corps des nombres complexes. On appellevecteuràncomposantes réelles tout n-upletx= (x1,x2,...,xn)x1,x2,...,xn sont des réels et on noteRnl’ensemble de ces vecteurs. Le plus souvent, on utilisera la notation dite vecteur colonne suivante : x1 x2x= . xnDe la même façon, on définitCnl’ensemble des vecteurs àncomposantes complexes. Dans la suite,Kdésignera l’un des corpsRouCetKnl’ensemble des vecteurs àncomposantes dansK. On notera0le vecteur nul deKn, i.e le vecteur dont toutes les composantes sont nulles. On définit deux opérations surKn x1  l’addition : six=x2ety=yyy.n12, on définitz=x+yparz=xxxn12+.++yyyn12; x.nxλλx12la multiplication par un scalaireλ, i.e un élément deK,λx=. λ.xn On remarque que pour tout vecteurxdeE, on peut écrire x1x210 01 00=x x=x.n1.0+x2.0+∙ ∙ ∙+xn1.. On a ainsi exhibénvecteurs particuliers deE: 1 0 10 00e1=e=. .0, e2=0.,....,n.1et ainsixs’écrit sous la formex=x1e1+x2e2+∙ ∙ ∙+xnen. 1
On peut généraliser ces propriétés deKnen définissant la notion d’espace vectoriel sur K: 1.2 Espaces vectoriels SoitE ;un ensemble non vide muni d’une addition et d’une multiplication par les scalaires on dit queEest unespace vectorielsurK :s’il vérifie les conditions suivantes Six,yetzsont des éléments deEet siλetµsont des scalaires a) l’addition est commutative :x+y=y+x; b) l’addition est associative :(x+y) +z=x+ (y+z); c) il existe un élément0EdeEtel quex+ 0E=xpour toutxE; d) tout élémentxdeEpossède un opposéxdansE:x+ (x) =xx= 0E; e)λ(x+y) =λx+λy; f)(λ+µ)x=λx+µxetλ(µx) = (λµ)x; g)1x=x Les éléments d’un espace vectorielEsont appelésvecteurs. Exemples Knest évidemment un espace vectoriel surK. Le singleton{0}est un espace vectoriel surK. L’ensemble des applications d’un ensembleAà valeurs dansRest un espace vectoriel sur R: Sifetgsont deux applications deAdansRet siλR, on définitf+getλfpar xA,(f+g)(x) =f(x) +g(x)et(λf)(x) =λf(x). SoitEun espace vectoriel surKet soitFun sous-ensemble non vide deE; on dit que Fest unsous-espace vectorieldeEs’il vérifie les propriétés suivantes : sixetyF, alorsx+yF; sixFetλKalorsλxF. Ces deux conditions sont équivalentes à l’unique condition suivante : six,yFet siλ,µK, alorsλx+µyF. Considéronspvecteursu1,u2,...,updeEet notonsV ect(u1,u2,...,up)l’ensemble des com-binaisons linéaires deu1,u2,...,up, i.e V ect(u1,u2,...,up) ={λ1u1+λ2u2+∙ ∙ ∙+λpup/ λ12,...,λpK}. AlorsV ect(u1,u2,...,up)est un sous-espace vectoriel deE. SoitFun sous-espace vectoriel deEet soientpvecteursu1,u2,...,updeE; on dit que u1,u2,...,upengendrentFou forment unsystème générateurdeFsiF=V ect(u1,u2,...,up).
On dit quepvecteursu1,u2,...,updeEsontlinéairement indépendantsou forment un système libresi pour tousλ12,...,λpK :, on a λ1u1+λ2u2+∙ ∙ ∙+λpup= 0 =λ1=λ2=...=λp= 0. 2
On appellebasedeEtoute famille de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent Eque tout espace vectoriel non réduit à. On montre {0} ;possède au moins une base si Epossède une base comprenant un nombre fininde vecteurs, alors toute base deE comprend égalementn cet entiervecteurs :nest appelé dimension deEet notédimE, et on dit queEest de dimension finie. SiEest de dimension finie, alors tout sous-espace vectorielFdeEest lui aussi de dimension finie etdimFdimE. En particulier, l’espace vectorielKnest de dimensionn: la famille(e1,e2,...,en)définie ci-dessus est une base deEappelée base canonique. Par convention, on dit que la dimension de l’espace vectoriel{0}est nulle. On appellerangd’un système(u1,u2,...,up)de vecteurs deEla dimension du sous-espace vectorielV ect(u1,u2,...,up): ce rang estp. Si(u1,u2,...,un)est une base deE, alors tout vecteurxde s’écrit de manière unique sous la forme x=x1u1+x2u2+∙ ∙ ∙+xnun Les élémentsx1,x2,...,xndeKsont appeléscoordonnéesdexdans la base(u1,u2,...,un).
En outre, siEest de dimensionn, toute famille libre(u1,u2,...,up)depvecteurs deEavec p < npeut être complétée en une base deE, i.e il existenpvecteurs(up+1,up+2,...,un) deEtels que(u1,u2,...,un)est une base deE. SoitEde dimensionnet soientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE; siFGet si dimF= dimG, alors on aF=G. 1.3 Somme de sous-espaces vectoriels SoitEun espace vectoriel surKde dimension finie et soientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE; on appellesommedeFetGet on noteF+Gl’ensemble défini par F+G={x+y / xF, yG}. on vérifie facilement queF+Gest un sous-espace vectoriel deE; si(u1,u2,...,up)est un système générateur deFet(v1,v2,...,vk)un système générateur deG, alors la réunion des deux systèmes(u1,u2,...,up,v1,v2,...,vk)est un système générateur deF+G. On dit queFetGsont ensomme directesiFG={0}; on note alors F+G=FG. SiFetGsont en somme directe, alors si(u1,u2,...,up)est une base deFet(v1,v2,...,vk) est une base deG,(u1,u2,...,up,v1,v2,...,vk)est une base deFG; on en déduit que dim(FG) = dimF+ dimG. On a deux autres définitions équivalentes pour la somme directe de deux sous-espaces vectoriels : FetGsont en somme directe si et seulement si pour toutzF+G, il existe un uniquecouple de vecteurs(x,y)xFetyGtel quez=x+y. Autrement dit la conditionFG={0}est équivalente à l’unicité d’écriture. FetGsont en somme directe si et seulement sidim(F+G) = dimF+ dimG.
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