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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE LYON I LICENCE (MATHEMATIQUES PURES) VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES - 2003 -

tion stereographique de pole nord

cercle ? de la sphere s2

pole nord de s2 definis par ??

sphere de riemann

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Sphère de Riemann

´ UNIVERSITE LYON I

´ LICENCE (MATHEMATIQUES PURES)

VARIABLE COMPLEXE

EXERCICES

- 2003 -

ANNALES

Tabledesmati`eres

1Sph`eredeRiemann,similitudesduplancomplexe

2 Equations de Cauchy-Riemann

3 Birapport

4S´eriesenti`eres

5 Fonctions classiques

6 Formules de Cauchy

7Z´eros,principedumaximum

8Singularite´s,theore`medesr´esidus ´

9 Quelques annales

TABLE

DES

MATI

` ERES

Chapitre 1

Sphe`redeRiemann,similitudes du plan complexe

Exercice1.1(Projectionst´er´eographique)DansR3, on notePlpnaelnid´eﬁ parP:={(u, v, w)∈R3:w= 0},S2={(u, v, w)∈R3:|u|2+|v|2+|w|2= 1} lasph`ereunit´e,etN= (0,0,1)p“eleloˆrdnoe”dS2. En associant le point(x, y,0) avec le nombre complexex+iy, on identiﬁe le planPavecC. On appelle projec-tionste´re´ographiquedepˆolenord,l’applicationϕtniopnua`iuqM:= ( η, τζ ,) deS2\ {N}associe le nombre complexezespocorrntoisexﬃa’pudenadnla`t trouvant`al’intersectiondeladroite(N M)et du planP.

a)Montrer queϕsiueenibre´larentctjeneioS2\ {(0,0,1)}et le planPet donner explicitement les expressions deϕetϕ−1. b)Eeuqeriude´dnϕlea´sriuenC∞-id´ﬀoemorphismedeS2\ {(0,0,1)}surP. c)SoitΩ−edterush´l’isem`ephΩ+e´imlh’erensph`privord,loˆpude´eddroNe S2isﬁn´edrpaΩ−:={(ζ , η, τ)∈S2:τ <0}etΩ+:={( η, τζ ,)∈S2:τ > 0} \ {N}. Montrer queϕ(Ω−) =D(0,1) :={z∈C:|z|<1}etϕ(Ω+) =C\ D(0,1) ={z∈C:|z|>1} d)Quelle est l’image parϕd’un cercleΓerh`eedpsalS2(ivpr´e´eevtneullmenet desonpˆolenord,siN∈Γ) ?

` 6CHAPITRE 1. SPHERE DE RIEMANN, SIMILITUDES DU PLAN COMPLEXE e)SoitC⊂C. Montrer queϕ−1(C)est un cercle siCest un cercle, un cercle priv´edupˆolenordsiCest une droite. Laprojectionste´re´ographiquenouspermetdoncd’identiﬁerCavecS2\ {N}, l’identiﬁcationpr´eservantlestopologiesnaturellesdecesdeuxensembles(carϕ estunhome´omorphisme). b Exercice1.2(Compactiﬁ´ed’AlexandrovdeC)orsndie´ConsC=C∪ {∞} b enajoutant`aCla`“tnio.”inﬁni’Soitnpuβl’ensemble des parties deCqui b sont soit des parties ouvertes deCos,nss(daaireemtnlpe´csmotiedC) de parties compactes deC.

a)Montrer queβl’ensemble des parties ouvertes d’une topologie surconstitue b C. b b)Mtronatelquerieogolope´disniaruseinﬁCinduit surCla topologie usuelle. b c)Montrer que(C, β)espace topologique compact. On l’appelle le com-est un pactiﬁe´d’AlexandrovdeC. d)oisnejtcpaoruqleiqueraph´eogt´erertronMϕmohnmoe´dniutiudephormeis b S2surC. ˆb e)Montrer queϕpe´eﬁniruneerdmiesttdaendcdsurC. Siz1etz2sont deux bˆ points deC, donner l’expression explicite ded(z1, z2). b f)qreuireﬁVe´ecusrnatsidettecrapetuindeigilopotolaCest identi ` la que a b topologie surCsuess.e´deinﬁd-ic Dans les exercices qui suivent, on identiﬁeR2etC:arepc¸afaledlleusuno (x, y) =x+iy. La base canonique (e1, e2) deR2tiﬁe`a(1’snedi, i). On munitR2 de son produit scalaire usuel :

hu, u0i=xx0+yy0 pouru= (x, y) etu0= (x0, y0) et|u|naleemrolcueeidie,nne.i.isngde´|u|= e x2+y2. . Rappelons enﬁn que siz1,z2´le´xueedstnemsontdC∗, on appelle

angleoriente´entrelesvecteursz1,z2leeiqunr´ue’lα∈[0,2π[ tel que : z2z1 =eiα |z2| |z1|. Exercice 1.3SoitA:R2−→R2une applicationRqtrneorMe.leeruiae´snil-assertions suivantes sont equivalentes : ´ (i) il existek∈R+tel que pour tousu, v∈R2on a :hAu, Avi=k2hu, vi; (ii) il existek∈R+tel que pour toutu∈R2on a :|Au|=k|u|; (iii) il existek∈R+etθ∈Rtels que Akksinoscθθ−kkissncoθθouA=kknissocθθ−kkniscosθθ; = (iv) il existew∈Ctel que, soit∀u∈C,Au=wu, soit∀u∈C,Au=wu. Lorsque de plusk6= 0ocere´uqvilaneets`a:sec,ioitndcoenntsons (v)Apr´eservselelgnaonseiront´en.es Dans ces conditions, on dit queAest une similitude. Exercice 1.4SoitA=dcbaun endomorphisme deR2. Montrer que les as-sertionssuivantessont´equivalentes: (i)de´tA>0et il existek∈R+tel que pour tousu, v∈Con a :hAu, Avi= k2hu, vi; (ii) il existeθ∈Retk∈R+tels que A=kkocssniθθ−kkcosisnθθ;

(iii)a=detb=−c; (iv) il existew∈Ctel que pour toutu∈Con a :Au=wu; (v)Aest la composee d’une rotation de centre 0 et d’angleθitehomoth´eetd’une ´ de rapportk. (vi)AestCil´naerie;-

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