LICENCE MATHEMATIQUES PURES

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE LYON I LICENCE (MATHEMATIQUES PURES) VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES - 2003 -

• tion stereographique de pole nord


• cercle ? de la sphere s2


• pole nord de s2 definis par ??


• sphere de riemann

Sujets

• Sphère de Riemann

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Extrait

´ UNIVERSITE LYON I

´ LICENCE (MATHEMATIQUES PURES)

VARIABLE COMPLEXE

EXERCICES

et

- 2003 -

ANNALES

2

Tabledesmati`eres

1Sph`eredeRiemann,similitudesduplancomplexe

2 Equations de Cauchy-Riemann

3 Birapport

4S´eriesenti`eres

5 Fonctions classiques

6 Formules de Cauchy

7Z´eros,principedumaximum

8Singularite´s,theore`medesr´esidus ´

9 Quelques annales

3

5

9

17

23

29

43

49

57

63

4

TABLE

DES

MATI

` ERES

Chapitre 1

Sphe`redeRiemann,similitudes du plan complexe

Exercice1.1(Projectionst´er´eographique)DansR 3 , on notePlpnaelnid´efi parP:={(u, v, w)∈R 3 :w= 0},S 2 ={(u, v, w)∈R 3 :|u| 2 +|v| 2 +|w| 2 = 1} lasph`ereunit´e,etN= (0,0,1)p“eleloˆrdnoe”dS 2 . En associant le point(x, y,0) avec le nombre complexex+iy, on identifie le planPavecC. On appelle projec- tionste´re´ographiquedepˆolenord,l’applicationϕtniopnua`iuqM:= ( η, τζ ,) deS 2 \ {N}associe le nombre complexezespocorrntoisexffia’pudenadnla`t trouvant`al’intersectiondeladroite(N M)et du planP.

a)Montrer queϕsiueenibre´larentctjeneioS 2 \ {(0,0,1)}et le planPet donner explicitement les expressions deϕetϕ −1 . b)Eeuqeriude´dnϕlea´sriuenC ∞ -id´ffoemorphismedeS 2 \ {(0,0,1)}surP. c)SoitΩ − edterush´l’isem`ephΩ + e´imlh’erensph`privord,loˆpude´eddroNe S 2 isfin´edrpaΩ − :={(ζ , η, τ)∈S 2 :τ <0}etΩ + :={( η, τζ ,)∈S 2 :τ > 0} \ {N}. Montrer queϕ(Ω − ) =D(0,1) :={z∈C:|z|<1}etϕ(Ω + ) =C\ D(0,1) ={z∈C:|z|>1} d)Quelle est l’image parϕd’un cercleΓerh`eedpsalS 2 (ivpr´e´eevtneullmenet desonpˆolenord,siN∈Γ) ?

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` 6CHAPITRE 1. SPHERE DE RIEMANN, SIMILITUDES DU PLAN COMPLEXE e)SoitC⊂C. Montrer queϕ −1 (C)est un cercle siCest un cercle, un cercle priv´edupˆolenordsiCest une droite. Laprojectionste´re´ographiquenouspermetdoncd’identifierCavecS 2 \ {N}, l’identificationpr´eservantlestopologiesnaturellesdecesdeuxensembles(carϕ estunhome´omorphisme). b Exercice1.2(Compactifi´ed’AlexandrovdeC)orsndie´ConsC=C∪ {∞} b enajoutant`aCla`“tnio.”infini’Soitnpuβl’ensemble des parties deCqui b sont soit des parties ouvertes deCos,nss(daaireemtnlpe´csmotiedC) de parties compactes deC.

a)Montrer queβl’ensemble des parties ouvertes d’une topologie surconstitue b C. b b)Mtronatelquerieogolope´disniaruseinfiCinduit surCla topologie usuelle. b c)Montrer que(C, β)espace topologique compact. On l’appelle le com-est un pactifie´d’AlexandrovdeC. d)oisnejtcpaoruqleiqueraph´eogt´erertronMϕmohnmoe´dniutiudephormeis b S 2 surC. ˆ b e)Montrer queϕpe´efiniruneerdmiesttdaendcdsurC. Siz 1 etz 2 sont deux bˆ points deC, donner l’expression explicite ded(z 1 , z 2 ). b f)qreuirefiVe´ecusrnatsidettecrapetuindeigilopotolaCest identi ` la que a b topologie surCsuess.e´deinfid-ic Dans les exercices qui suivent, on identifieR 2 etC:arepc¸afaledlleusuno (x, y) =x+iy. La base canonique (e 1 , e 2 ) deR 2 tifie`a(1’snedi, i). On munitR 2 de son produit scalaire usuel :

hu, u 0 i=xx 0 +yy 0 pouru= (x, y) etu 0 = (x 0 , y 0 ) et|u|naleemrolcueeidie,nne.i.isngde´|u|= e x 2 +y 2 . . Rappelons enfin que siz 1 ,z 2 ´le´xueedstnemsontdC ∗ , on appelle

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angleoriente´entrelesvecteursz 1 ,z 2 leeiqunr´ue’lα∈[0,2π[ tel que : z 2 z 1 =e iα |z 2 | |z 1 | . Exercice 1.3SoitA:R 2 −→R 2 une applicationRqtrneorMe.leeruiae´snil- assertions suivantes sont equivalentes : ´ (i) il existek∈R + tel que pour tousu, v∈R 2 on a :hAu, Avi=k 2 hu, vi; (ii) il existek∈R + tel que pour toutu∈R 2 on a :|Au|=k|u|; (iii) il existek∈R + etθ∈Rtels que A  k k s in o s cθ θ −k k is s n co θ θ  ouA=  k k nis soc θ θ − k k nis cos θ θ  ; = (iv) il existew∈Ctel que, soit∀u∈C,Au=wu, soit∀u∈C,Au=wu. Lorsque de plusk6= 0ocere´uqvilaneets`a:sec,ioitndcoenntsons (v)Apr´eservselelgnaonseiront´en.es Dans ces conditions, on dit queAest une similitude. Exercice 1.4SoitA=  dc ba  un endomorphisme deR 2 . Montrer que les as- sertionssuivantessont´equivalentes: (i)de´tA>0et il existek∈R + tel que pour tousu, v∈Con a :hAu, Avi= k 2 hu, vi; (ii) il existeθ∈Retk∈R + tels que A=  k kocs sni θ θ −k kcos isn θ θ  ;

(iii)a=detb=−c; (iv) il existew∈Ctel que pour toutu∈Con a :Au=wu; (v)Aest la composee d’une rotation de centre 0 et d’angleθitehomoth´eetd’une ´ de rapportk. (vi)AestCil´naerie;-