Licence ST Annee Semestre UE Mathematiques Math IV Algebre
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Licence ST - Annee 2008/2009 - Semestre 2 UE Mathematiques, Math IV Algebre Feuille n? 9 Formes sesquilineaires - hermitiennes Exercice 1. 1. Montrer que l'application f : C3 ? C, f(x, y, z) = x¯ + 2y¯ ? z¯ est antilineaire. 2. Meme question avec f : Mn(C) ? C, A 7? tr(A¯). 3. Soient E et F deux C-espaces vectoriels de dimension respective n et m et soient B ? E et C ? F des bases. Soit u : E ? F un endomorphisme antilineaire. Soit x ? E (resp. y ? F ) dont on note X ? Cn (resp. Y ? Cm) le vecteur coordonnees dans la base B (resp. C). Enfin soit U la matrice de u relativement aux bases B et C (definie de maniere analogue a celle d'un endomorphisme lineaire). Si y = u(x), dire quelle relation lie X, Y et U ? Exercice 2. 1. Les applications suivantes sont-elles des formes sesquilineaires hermitiennes ? (a) h1 : C3 ? C3 ? C donnee par : h1(x, y) = x¯1y1 + 3x¯2y2 + 2ix¯3y3 + (2 + 3i)x¯1y2 + (2? 3i)x¯2y1 + (1? 5i)x¯2y3 + (1 + 5i)x¯3y2 (b) h2 : Mn(C)?Mn(C) ? C donnee par h2
- hermitienne de c3 definie dans la base canonique
- complexe de dimension
- c3 ?
- y¯ ?
- coefficients complexes
- hermitienne
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