Licence STS Mention MATH L3 ATN

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence STS Mention MATH L3 - ATN Permutations et groupes de permutations 1 Les permutations La permutation ? = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 7 8 9 4 5 2 1 6 ) du groupe symétrique S9 admet la décomposition en cycles à supports disjoints ; ? = (1, 3, 8)(2, 7)(4, 9, 6, 5) Avec sage on peut définir ? à partir de la liste [3, 7, 8, 9, 4, 5, 2, 1, 6] ou à partir de la décompo- siiton en cycles représentée par la liste de tuples [(1, 3, 8), (2, 7), (4, 9, 6, 5)] : sage: sigma = PermutationGroupElement([(1,3,8), (2,7), (4,9,6,5)]) sage: sigma (1,3,8)(2,7)(4,9,6,5) sage: sigma_prime= PermutationGroupElement([3, 7, 8, 9, 4, 5, 2, 1, 6]) sage: sigma_prime (1,3,8)(2,7)(4,9,6,5) sage: sigma_prime == sigma True On peut passer de l'une à l'autre de ces représentations : sage: sigma.

• x8 x5


• x2 x7


• x4 x5


• x3 x2


• x9 x1


• x10 x6


• x0 x1


• x1

Informations

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• Nombre de lectures: 24
• Langue: English

Extrait

1 2 3 4 5 6 7 8 9
=
3 7 8 9 4 5 2 1 6
S9
=(1;3;8)(2;7)(4;9;6;5)
[3;7;8;9;4;5;2;1;6]
[(1;3;8);(2;7);(4;9;6;5)]

S9
S g = (1;2;3;4;5;6;7;8;9)9 0
g =(1;2) 1
etpartirutations?sage:d?nir5,eutoirpTrueonege(2,7),sama.order()ecsym?triquevaAsage:;ermtsTHdisjoinsage:oueut?ermpartirOndetlasage:d?compofo-sigsiiton==enLecyclesparrepr?senest?eTNparidela1,listema_prime.cycles()deOntupleslortssignaturesuppsage:?ma.sign()cycleseutencommeositiongroupd?comp1la=admetSymmetricsym?trique9!egroupgroupinduS9.utationial(9)ermdegree()peLaest:deuxsage:psiggrmaerm=-PermutationGnroupElement([(1,3,8),et(Licence2,7),2,(4,9,6,5)])6]sage:sigsig[(1,3,8),ma(4,9,6,5)](1,3,8)(2,7)(4,9putationsd?terminerla'ordreOnlaeutdeer:expressionsigliste12sage:sigfonction1cesp:v5,p2,?l?men1,du6e])Lessage::sigS9ma_primeparent(sigma)(1,3,8)(2,7)(4,9S9,6,5)groupsage:ordersigasma_primepermutation==sage:sigmamaTrueS9Onsage:porder()eutfactorpasserTruedS9.e9l'unegroup?sym?triquel'autreermdeengendr?clesesprepr?senutationstadetioupotnutationssP:Asage:L3sigMAma.list()o[3,t7,Men8,STS9,4,,6,5).sage:psigtrouvma_prime=unePermutationGrodeupElement([3,en7,de8,g?n?rateurs9,14,a;b2 Sn
a?b ba
sage:compLes=withsigma.wordses_problem(g,sage:False)sage:sage:sadegroupcomp[0]group'x1^-8*x2*x1^3*groupx2^-1*x1^-1*x2^-1*x1^-1*x2^-1*2x1^3*x2^-1*x1^-1*x2^-1*a*x1^-1*x2^-1*x1^p2*x2'esage:qx1son=p(6)g[0];asx2oup(6)=6!/2g[1];sage:xPermutationGrou1,x2(1,2,3)((1,2,3,4,5,6,7(1,3),8,9),es(1,2))utationssage:lex1certains^-8*x2*x1^3*x2^-1*x1^-1*x2^-1*esx1^-1*x2^-1*x1^3*x2^-1*x1^-1*xe2^-1*x1^-1altern?s,*x2^-1*x1^2*x2pr?-d?nis(1,3,8)(2,7)(4,=9,6,5)S6AorderTTENTIONpermutation?=l'orA6drordeadeseneratorsfacteurs.is_simple()dans=unpElement([(1,2,3)])prbosage:duitbde2pgroupermutationsdeSoienermtDansdegesage:group(1,2)]sym?trique,,8,9),de[(1,2,3,4,5,6,7sous-group;telsdansusalesgeesledi?drauxprotduit:gS6sage:SymmetricGrouS9.gens()sage:calculeSymmetriclaofp6!ermautationgroup=A6gAlternatingGrsage:sage:permutationAlternatingoupofA6erTrueasS6Permutationgr:sage:sage:.is_normal(S6)asage:=.quotient_group(A6)PermutationGrouGrouppElement([(1,2)])gsage:[(1,2)]aA6(1,2)Truesage:bSn
S n! Xn
SX
sous-grouproupx11of(1,2)]orderx112,asofax0permutationx8grouptrsage:[(5,6),D6.lgroupist()e[(),x6(2,6)[x10(3,5),x1(1,2)(3,6)(4,5),sh(1,2,3,4,5,6),ensem(1,6)]1,3)(4,6),sage:(1,3,5)(2,4,6),S6bi(1,4)(2,3)(5,6),==(1,4)(2,5)(3,6),sa(1,5)(e2,4),returns(1,5,3)(2,6,4),x2(1,6,5,4,3,2),x4(11,6)(2,5)(3,4)]x6sage:x1]C6x4==CyclicPermutatieutonGroup(6)D6sage:pC6forCyclic(2grosupGroupof(2,3order,5),6[(2,6)(3,4,5),asoiciaermpSymmetricGroupermutation(ngroupofsage:whicC6.ix5s_cyclic()x1True0sage:[C6.ix10s_subgroup(D6)x3Truex7Onx4px8eutx7obtenirx3lx2a0tablesage:deh()multiplicOnationudedecespargroupniesutations.ainsi[PermutationGrouqueinletrgraphe(3,4),desage:CaPermutationGryleys:genesage:4,5),D6(1,2)].cayley_table()[(5,6),[(2,3)x0S6bix1sage:x2Truex3listex4dex5pr?d?nisx6:x7sage:x8DihedralGroup(6xalso9listx10px11]tegers,[casex1x8x0x7x3x9x2x10x5xx4x4x7x3]x6x9x9x6xx88x11x11xx10]x5[x2]x2x2x10x0x0x3x4x5x31x6x9x5[x11x8x5x7x7x11x9x1x1x9]x6[x0]x3Grx11D6.cayley_grapx1sage:x5ow(Gr)x2px7consid?rerx4nx9ex6Dihedralx10engendr?x0unx8]ble[dex4ermx9sage:x10=x6pElement((i,i+1))x0ix8range(x3sage:x11[(1,2),x,3),5(4,5)x1(5,6)]x2S6bix7]=[oup(tr)x5S6bix8Permutationx11withx7ratorsx1(x9(3,4),x2),x10sage:xs.gens()4(4x0(3,4),x3,x6]sage:[s.gens_small()x6(1,4,2)(3,5,6)]x7S6x9S6bisx8Vx10lax11desx0esx1pxutations3dansx2gex4a)x5],[)x7orderx6=x8canx9bx11ax10D6x1distinctx0ositivxingin)hx5itx4]sage:[23x3A n!=2 Xn
AX
D 2nn
C nn
S 44
C C2 2
nn
nn
2n2n
nn
2GF(q )
nn
2GF(q )
ecialorderdesofeldofporderv,matricese)classiquesKleinFourGroupe,PSp(2n,q)subgroupgofdeterminanDihedralGroupPc)eofsonorderjectiv)GF(q).o(Leofgroup,ehadeaKleinepineutous?treevmatricesutcommedeslea)groupgroupeerdesproisom?triesositivd'unitenelosangeaoueldlespgroupbetsdes,isom?triesead'unPGU(n,q)rectangle.)ofRemarqueec:CyclicPermutatilesuivgrouputiejetsdouepKlgroupeinmatricesci-dessuspr?d?nisesttrait?sunesobutationsjet,degeneralttegers,ypoenitepermutationPSL(n,q)groupealorsgroupquestinctsierl'onGF(q)consid?reproreturnslinearitofcasematriceshthewhicd)d?nijectivparunexemplepparnlecocothedeorderAbelianGroup(2,resp[2,2],'ab')nondegenerateonform,obtien1.tproununitaryobAlternatingGroujetvingdenenitetobjetyplesets,Multiplicativeammen?AbeliandesGroupdes:tsage:ermVt=esKleinFourGroup()utation.sage:LesVesThedeKleinson4aussigroupetoftordercomme4,groupasdeaermpermutation:groupPGL(n,q)sage:proV.liest()linear[(),of(3,4)in,matrices(1,2),v(1,2)(3the,4)]eldsage:b)A,=jectivAbelianGroup(2,[sp2,2],'ab')linearsage:ofApMultiplicativematricesAbelianvGrouptheisomorphiceldtoc)C2,xjectivC2symplecticsage:groupA.lidist()list[1,eb,oa,era*b]nitesage:GF(q)V.isPSU(n,q)_isomorphic(A)pro#erreurecarecialAitaryn'esroutofpasalsounmatricesgvingroupeeciendeininnite,ca(nresporathatnondegenerateecteaxedform,sesquilindulorcenof4tRappe):,lajectivhegeneral?groupsuitepcb)dehapcoaihertslistetheeseldonGroupd)ci?esdespermutatthationsectTracebackxed(clicksesquilintorthemoleftthefortre.traExercicesceback)el...utilisezTypeError:toucright<TAB>mustlabeduaopermutationobjet.groupoursage:cG=A.lapermutation_group()d#rem?thotourneassoA?comme.groupeourdeexercicespeanrmutationsvsage:serezG.li?st()liser[(),m?tho(1,2)sur(3,4),ob(1,3)(2,4),de(1,4)(2,3)]ypsage:pV.isutation_isomorphic(G)deTrueyp3groupLesdegroupermes4deS7

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
= =
5 3 4 2 1 7 6 2 5 7 6 1 4 3
1g2S =gg7
S =(1;4;5;2;3;6) =(7;6;5;8;9)9
=

2001
f1; ;9g

1 2 3 4 5 6 7 8 9
=
3 7 8 9 4 5 2 1 6
(i;i+1) 1i8

1 2 3 4 5 6
=
4 5 6 3 2 1


(i;j)
i<j (i)>(j)

D
D
D
D
D
Q S a = (1;2;5;4)(3;8;6;7)8
b=(1;8;5;7)(2;3;4;6)
Q
Q
Q
tsv'ordreint:reestonduitduitproded'unhocalculparledisjoinSageDonnerdans1.que3.stnOnoabltroises(Rappde.deque?teldetositions?l?mengroupunDonnerD?terminerestD?compapposerle:tsenlaproGE).duitsEndetransptrandesptes.ositionsduitconjugu?esExpliquert-ellesl'son(a)tesQuelanonpsignature.)ourd?compsuivenutationstransermExercicepOndeuxdi?dral.;Exerciceg?n?rateurs4.(b)Onosanconsid?re?laexppgroupermdesutationdesosergroupD?comptiliseralesdeedegroupositions.le?Dansles1.22.2.?sous-groupcyclesCalculeretp.ositions1.trodeestExercicep1.?QuelrdestQuell'ordrecydeestsignature??l'exp2.correspQuelledestlala4.signatureunedeositionlaconsid?re?pro3.deEcrirepunesimples.fonction5.enSoitpythonlepeermettandt8de(a)calculerdesledenom.breQueldl'exp'intvExerciceersions(Ond'uneelleposaner-d'unmeutation.PPCMQuelordestsle?l?mennomdubree.d'inuviciem?thorsad-ionscdeSAest(c).est-il(Une?lienin(d)vum?rerersion?l?mended'ordreQuellede?lien.uSoitnlecoupleeprocesExerciceengendr??lesers?.)ermutationsabdisjoinquetransp2.iDansdeleproetsym?triquegroupourquoieetble3.l'ensemconsid?redereutationoermestpts.lacles..LaQuelparit?l'ordredudenom(b)breestd'inosanvdeersionsen(c)lesest-ilduitstel5estQ
D Q
S 11! S11 11
t=(1;2) c=(2; ;11;1)
E S =(1;3;6)(2;9;5)(4;7;8)11
=(1;4;5)(2;3;7)(6;8;9)
E

u = (1;3;7;4)(2;8;5;6)
v = (1;2;7;5)(3;6;4;8)
w = (1;6;7;8)(2;3;5;4)
w =vu
Q S u v11
Q Q
H S E[Q H =QoE11
g =(1;6)(3;4)(7;8)(9;10)1
g =(1;4)(3;7)(6;8)(10;11)2
M S E[Q[fg ;gg11 11 1 2
M 11 p11
p
fg2M =g(11)=11g S H[fgg11 11 1
f (F ) (F )2 7 3 2
(F ) f2 7
(F )3 2
X =f1;2;3;4;5;6;7g
D =ff1;2;4g;f2;3;5g;f3;4;6g;f4;5;7g;f5;6;1g;f6;7;2g;f7;3;1gg
G S7
G=f2S =D2D)(D)2Dg7
G (F ) (F )2 7 3 2
'ordre.engendr?debles.)2D?terminerd'ordreengendr?tsGE).?l?men.lesEnum?rer.?e(b)etComquebien7Envl'ordrequaternionique.p?loss?de-t-il7desous-group(d)V?rier-groupanesgroupdefonctionSylol'ensemw(on?p(Onl'ensemrappermelle2.quelelesestded-groupormeresnondeplanSylodeswdesonet(b)conjugu?s.utiliserPlistesourud?terminerqce?lien.nomdebreOnonvpordreeutquedoncutationsutiliserconsid?rel'actionointsdeOnconjugaisonlesduquegroupeteengendr?surel'ensemSoitblegroupdesqueetsous-group-groupmeneslistede(c)Sylo?lienweetoitesdF?latermintseretle:stabilisateurded'unle?.lque?mpencommandet.)transformer6.enV?rierV?rierqueisomorphedePSL.gQu'enparconclurelaengendr?map?SA3.3.Onconsid?reconsid?rebleles?rierestsonleestsous-grouputiliseraeestde:permrouplesengendr?desparpermetutationsble:5.(c)parespdeutations.?rierces;es).tpar6(a)rouvdeersous-groupunl'ordreisomorphisme4.eteenletredulesd?duiregroup.esePSLtsson?edessous-groupladuFl'ordre8.etdPSLabestestQueldes(a)drt-idulsde2.anoExprimerDonnerleslisteimag?l?menesdud'unesyst?medeg?n?rateurpardeengendr?PSLparisomorpheset?sous-groupExerciceque6.(b)1..parV?rierl'isomorphismeestConstruire(Onenourrafonctionlad'unSetsust?medeg?n?rateurdesdeenPsemSL4.lequegroupesteauxsym?triqueesetLes.V?rier(On(a)pPSL3.abutiliserourraD?terminer5.V?rierque.groupExerciceson7.simples.1.T