Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Réflexions d'un espace euclidien Dans ce qui suit, E est un espace euclidien de dimension n. Par définition, une symétrie orthogonale est une symétrie par rapport à un sous-espace et parallèlement à son orthogonal. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Pour tout vecteur ??u ? E, notons ??u1 et ??u2 les projetés orthogonaux respectifs de ??u sur F et F?. E = F ? F? ??u = ??u1 + ??u2 Soit s la symétrie orthogonale par rapport à F . Alors par définition : E = F ? F? s(??u ) = ??u1 ? ??u2 En particulier ??u + s(~u) = 2 ~u1. Donc si p est le projecteur orthogonal sur F nous avons s = 2p? IdE . Un endomorphisme s de E est une symétrie orthogonale si et seulement si s ? O(E) et s ? s = IdE . Dans ce cas E = ker (s? IdE) ? ?? ? F ? ker (s+ IdE) ? ?? ? F? et s est la symétrie par rapport à Ker (s? IdE) parallèlement à l'orthogonal Ker (s+ IdE). Définition. On appelle réflexion toute symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan (i.e. un espace de dimension n? 1.

• vecteur unitaire orthogonal


• g?


• ?1 ?1


• ??u ?


• démonstration du lemme


• ker


• espace r4


• symétrie orthogonale


• ???x ?

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

PCSI A2010-2011

Réflexions d’un espace euclidien Dans ce qui suit,Eest un espace euclidien de dimensionn. Par définition, une symétrie orthogonale est une symétrie par rapport à un sous-espace et parallèlement à son orthogonal. −→−→−→ SoitFun sous-espace vectoriel deE. Pour tout vecteuru∈E, notonsu 1 etu 2 les projetés orthogonaux respectifs −→ ⊥ deusurFetF. ⊥ E=F⊕F −→−→−→ u=u 1 +u 2 Soitsla symétrie orthogonale par rapport àF. Alors par définition : ⊥ E=F⊕F −→−→−→ s(u) =u 1 −u 2 −→ En particulieru+s(u~) = 2u~ 1 . Donc sipest le projecteur orthogonal surFnous avonss= 2p−Id E .

Un endomorphismesdeEest unesymétrie orthogonalesi et seulement sis∈ O(E)ets◦s= Id E . Dans ce cas E= ker(s−Id E )⊕ker (s+ Id E ) | {z }| {z } ⊥ F F etsest la symétrie par rapport àKer (s−Id E )parallèlement à l’orthogonalKer (s+ Id E ).

Définition.On appelleréflexiontoute symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan (i.e.un espace de dimensionn−1.) Une réflexion de l’espace :

0 SoitFun hyperplan et~nun vecteur unitaire orthogonal àF. Pour toute base orthonorméeBdeFla famille 0 B= (,~nB)en une base orthonormée deE. La matrice dans la baseBde la réflexionspar rapport àFest :   −1 0∙ ∙ ∙0 0 1. Mat B (s) =   . .   . . . 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1

1