Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 17. Intégration. Généralités Exercice 1. Inégalité de Cauchy-Scharwz. Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur un segment I. On se propose de montrer l'inégalité suivante : (∫ I fg )2 ≤ ∫ I f2 ∫ I g2. 1. Soit t ? R. Montrer que ∫ I (tf + g)2 est un polynôme en t de degré 2 à valeurs toujours positives. 2. En déduire l'inégalité cherchée. 3. Etudier le cas d'égalité lorsque f et g sont continues. Exercice 2. Soit f : R? R une fonction 2pi-périodique et de classe C2. On suppose que ∫ 2pi 0 f(t)f ??(t) dt = 0. Montrer que f est une fonction constante. Exercice 3. Soit f : [0, 1]? R une fonction de classe C1 telle que f(1) = 0. Montrer l'inégalité suivante : ? ? ? ? ∫ 1 0 f(u)du ? ? ? ? ≤ 1 2 sup t?[0,1] |f ?(t)|. Exercice 4. Soit f : [a, b]? C de classe C1 telle que f(a) = f(b) = 0.

• intervalle de définition choisi


• somme de riemann


• inégalité


• fraction rationnelle en cos


• preuve de la convergence des sommes de riemann


• wn


• wn?2 ? ∫

Sujets

• Somme de Riemann
• Inégalité

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

Feuille d’exercices 17. Intégration.

Généralités

PCSI A2010-2011

Exercice 1.Inégalité de Cauchy-Scharwz. Soitfetgdeux fonctions continues par morceaux sur un segmentI. On se propose de montrer l’inégalité suivante : Z  2 Z Z 2 2 f g≤.f g I II Z 2 1. Soitt∈R. Montrer que(tf+g)est un polynôme entde degré 2 à valeurs toujours positives. I 2. Endéduire l’inégalité cherchée. 3. Etudierle cas d’égalité lorsquefetgsont continues. R 2π 200 Exercice 2.Soitf:R→Rune fonction2π-périodique et de classeC. On suppose quef(t)f(t)dt= 0. 0 Montrer quefest une fonction constante.

1 Exercice 3.Soitf: [0,1]→Rune fonction de classeCtelle quef(1) = 0. Montrer l’inégalité suivante : Z 1 1 0 f(u)du≤sup|f(t)|.  0 2 t∈[0,1]

1 Exercice 4.Soitf: [a, b]→Cde classeCtelle quef(a) =f(b) = 0. 0 = sup|f(t)|<+∞. 1. JustifierqueM 1 t∈[0,1] Z b 2 (b−a) 2. Montrerque l’on af(t) dt≤M 1 .Indication : faire intervenir une fonction triangleT: [a, b]→R  4 a a+b a+b telle queT(a) =T(b) = 0, de pente1sur[a,]de pente−1sur[, b]. 2 2

Calculs d’intégrales

Exercice 5.Calculer les intégrales suivantes à l’aide des changements de variables indiqués : Z Z Z e1 1 dt dx √ dt t 1. A=avecu= lnt; 2. B= √ avect= 1 +x; 3. C=avece=v 2 t 1 +x 1 +e 1 t+t(lnt) 0 0   π2 Réponses : 1.A=; 2.B= 2(1−ln 2); 3.C= 1 + ln. 4 1+e

Exercice 6.Calculer les intégrales suivantes : Z ZZ Z π 1 4e ulntlnt 4 2 1. D=du2. E= √ dt; 3. F= tans ds; 4. G=dt 4 2 1 +u t 0 1 t 0 1 1 r Z ZZ Z 1 11 t 2 1 11−s te 5. H= √ dx6. I=dt; 7. J=ds; 8. K=dt 2 2 2 1 +x 1−u1 +s(1 +t) 0 00 0 π π −1 Réponses et indications : 1.D=; 2.E= 8(ln2−4); 3.F= 1−; 4.G=−2e+ 1; 5. Posezx= sht; 7. Posez 8 4 r 1−s π tt+1−1 u=,J=−1; 8. Posez 2 = 2 . 2 (1+t) (1+t) 1 +s

ln(x) Exercice 7.Soita >0etFla primitive sur]0,+∞[de la fonctionf(x) =telle queF(a) = 0. 2 1 +x 1 Montrer queF( )= 0. a 1 Indication : utiliser le changement de variablet=. x

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