Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 1 : Fonctions usuelles d'une variable réelle Logarithmes et exponentielles Exercice 1. Caractérisation des logarithmes. Montrer que toute fonction non nulle de R?+ dans R, dérivable et qui transforme les produits en somme est un logarithme dans une certaine base. Exercice 2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I ? R, strictement positive, dérivable, croissante et telle que : ?x ? I, f(x) ≥ 1 e , Montrer que la fonction x 7? f(x)f(x) définie sur I est croissante. Exercice 3. Pour quels réels x l'expression ( 1 + 1 x )x a-t-elle un sens ? Soit a un réel strictement positif fixé. On considère la fonction : f : ]0; +∞[ ? R x 7? ( 1 + a x )x Tracer le tableau de variation de f . Déterminer les limites aux bornes de l'intervalle de définition. Exercice 4. Résoudre les équations suivantes : 1. nm = mn, où m et n sont des entiers strictement positifs. 2. ( √ x)x = x √ x, où x ? R?+. 3. 22x ? 3x? 1 2 = 3x+ 1 2 ? 22x?1, où x ? R.

• fonctions trigonométriques


• méthode géomé- trique de détermination de l'inverse


• limites aux bornes de l'intervalle de définition

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• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

PCSI A2010-2011

Feuille d’exercices 1 : Fonctions usuelles d’une variable réelle

Logarithmes et exponentielles

Exercice 1.Caractérisation des logarithmes. ∗ Montrer que toute fonction non nulle deRdansR, dérivable et quitransforme les produits en somme + est un logarithme dans une certaine base.

Exercice 2.Soitfune fonction définie sur un intervalleI⊂R, strictement positive, dérivable, croissante et telle que : 1 ∀x∈I, f(x)≥, e f(x) Montrer que la fonctionx7→f(x)définie surIest croissante.

  x 1 Exercice 3.Pour quels réelsxl’expression1 +?a-t-elle un sens x Soitaun réel strictement positif fixé. On considère la fonction :

f:]0; +∞[→R   x a x7→1 + x

Tracer le tableau de variation def. Déterminer les limites aux bornes de l’intervalle de définition.

Exercice 4.Résoudre les équations suivantes : m n 1.n=m, oùmetnsont des entiers strictement positifs. √ √ x x∗ 2.(x) =x ,oùx∈R. + 1 1 2 x x−x+ 2 x−1 3.2−3 =3−2,oùx∈R. 2 2

Exercice 5.Calculer les limites suivantes :   x xlnx e+ lnx x a)limxb)limc)lim + x x x→+∞x→+∞ x→0 e e+x

1−x d)lim (lnx) x→1+

Exercice 6.Montrer que la fonction exponentielle n’est pas égale à une fraction rationnelle.Indica- tion : pensez à une comparaison asymptotique.

Exercice 7.Etudier les variations des fonctions suivantes en précisant le domaine de définition : x α aln+ 1x 1 1−x x1+ x x a)x7→e+eb)x7→ |x|c)x7→(a >1)d)x7→(α >1) x e+ 1x

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