Lycée Brizeux MECANIQUE Année PCSI B Chapitre ME6

Elodie Gégo

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2008-2009 PCSI B Chapitre ME6 _____________________________________________________________________________________ -1- OSCILLATIONS FORCEES On s'intéresse dans ce chapitre à des systèmes mécaniques excités par une force sinusoïdale. On traitera le cas particulier d'une masse suspendue à un ressort. I- REGIMES TRANSITOIRE ET ETABLI I-1- Système étudié, dispositif expérimental Le système étudié (masse m) évolue dans un milieu (eau ou air) qui exerce sur lui une force de frottement fluide : frottemen t MF = -?.v . On peut exciter sinusoïdalement l'oscillateur en imposant à l'extrémité supérieure du ressort (notée H) un mouvement sinusoïdal de fréquence f et d'amplitude ZH grâce à un moteur dont on peut faire varier la vitesse de rotation. On pose ( ) ( ) ( )H H Hz t = Z cos 2πft = Z cos ?t La masse m étant en équilibre pour t < 0, on met le moteur en route à l'instant t = 0.

• régime transitoire


• solution particulière de l'équation


• système étudié


• hz z


• résonance de vitesse


• pulsation de résonance ?r


• amplitude

Sujets

• Régime transitoire
• Amplitude

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2008-2009 Chapitre ME6PCSI B _____________________________________________________________________________________ OSCILLATIONS FORCEES On s’intéresse dans ce chapitre à des systèmes mécaniques excités par une force sinusoïdale. On traitera le cas particulier d’une masse suspendue à un ressort. I-REGIMES TRANSITOIRE ET ETABLI I-1- Système étudié, dispositif expérimental

 (k,l 0 ) masse m disques permettant de modifier les caractéristiques du frottement vis ueux eau Le système étudié (masse m) évolue dans un milieu (eau ou air) qui exerce sur lui une force de  frottement fluide :F frottemen t = -α.v. M On peut exciter sinusoïdalement l’oscillateur en imposant à l’extrémité supérieure du ressort (notée H) un mouvement sinusoïdal de fréquence f et d’amplitude Z H  grâce à un moteur dont on peut faire varier la vitesse de rotation. On pose= Z z t cos 2πft = Z cosωt H H H La masse m étant en équilibre pour t < 0, on met le moteur en route à l’instant t = 0. Observation pour t > 0 : On observe deux phases successives dans le mouvement : ·Une première phase d’une durée de quelques secondes pendant laquelle la masse m n’oscille pas sinusoïdalement. ·Une seconde phase qui perdure pendant laquelle la masse m oscille à la même fréquence que l’excitation. I-2- Equation différentielle du mouvement pour t > 0 On choisit d’orienter l’espace à l’aide d’un axe vertical descendant dont l’origine coïncide avec la position de H à l’équilibre. -1-

Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2008-2009 Chapitre ME6PCSI B _____________________________________________________________________________________ 0 2 2 2 nc à l’équation différentielle : ɺɺ ɺ # w w1 w # w Pour t > 0,z tz zobéit do 0 z 0 ℓ eq 0 Z H cos ( t ! Q z(t) est donc la somme de trois solutions : z(t) = z 1 (t) +z 2 (t) +z 3 (t) avec : -z 1 (t) : solution générale de l’équation sans second membre. Cette solution s’amortit au cours du temps car tous les coefficients de l’équation homogènes sont de même signe (cf. chapitre ME5 : oscillations libres). Si on considère un amortissement faible, cette solution z 1 (t) est pseudopériodique. 2 w -z 2 (t) : solution particulière de l’équation avec 0 ℓ eq seul au second membre (même forme = . mathématique que le second membre donc une constante ici) : z 2 ℓ eq 2 -z 3 (t) : solution particulière de l’équation avecacoswtseul au second membre (même forme 0 mathématique que le second membre donc une sinusoïde ici) : z 3 (t) = Z M cos(wt+j). w En régime établi, seules les solutions z 2 et z 3 (t) subsistent. On a donc : z(t) = ℓ eq + Z M cos( t+j). Le mouvement sinusoïdal de l’extrémité haute du ressort force donc la masse à osciller sinusoïdalement à la même fréquence que lui, autour de sa position d’équilibre, après un régime transitoire non sinusoïdal. Le mouvement de M est à priori déphasé par rapport à celui de H et d’amplitude différente. z t On étudiera dans ce chapitre le comportement des systèmes en régime établi (une fois le régime transitoire achevé).Ce régime établi sinusoïdal est appelé régime sinusoïdal forcé. II-ETUDE DU REGIME SINUSOÏDAL FORCE II-1- Résonance en élongation On s’intéresse à l’élongation de la masse m, c’est-à-dire à son écartement par rapport à sa position d’équilibre. En notant Z(t) cette élongation, on obtient en régime établi : Z(t) = z(t)- ℓ eq = Z M cos(wt+j) ɺɺ ɺ 0 2 2 Z Z# wZw1 w t . L’élongation Z(t) est alors solution de l’équation différentielle suivante : Z H cos ( ! 0 0 Q

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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2008-2009 PCSI B Chapitre ME6 _____________________________________________________________________________________ La détermination des caractéristiques de cette élongation : Z M (amplitude) etj(déphasage du mouvement de M par rapport à celui de H) se fait en utilisant la notation complexe. Leurs valeurs dépendent de la fréquence (ou de la pulsation) excitatrice. Cette étude sera menée sur une feuille à part. Les principaux résultats figurent dans le tableau ci-dessous : Courbes de réponse en élongation : Z(t) = Z M cos(wt+j) Amplitude Z m Déphasage de l’élongation jde l’élongation par rapport à  l’excitation 1 ·Si Q< , Z m (w) est une fonction ·Q, le mouvement de la masse est 2 en retard par rapport à la force décroissante, il n’ y a pas de excitatrice (due au mouvement du maximum de l’amplitude du haut du ressort). mouvement donc pas de résonance d’élongation. 1 ·Si Q> , l’amplitude du 2 mouvement Z m (w) passe par un maximum pour une pulsationw r inférieure à la pulsation proprew 0 de l’oscillateur. Il y a résonance d’élongation. 1 ·, plus Q est élevé, plusPour Q > 2 la résonance est aigüe etw r  se rappoche dew 0

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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2008-2009 PCSI B Chapitre ME6 _____________________________________________________________________________________ Ce phénomène de résonance peut se traduire par la destruction de structures mécaniques. En effet, lorsqu’un système oscillant est excité au voisinage de sa fréquence propre, l'amplitude de son mouvement augmente, pouvant ainsi provoquer sa rupture. Pour plus d’informations, se reporter aux exemples de la fin du chapitre.

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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2008-2009 PCSI B Chapitre ME6 _____________________________________________________________________________________ II-2- Résonance en vitesse Cette étude sera menée sur une feuille à part. Les principaux résultats figurent dans le tableau ci-dessous : Courbes de réponse en vitesse : v(t) = V M cos(wt+Y) Amplitude V M de la vitesse Déphasageyde la vitesse par rapport à  l’excitation ·Q, l’amplitude de la vitesse·Q, à la pulsation de résonancew r = V M (w) passe par un maximum pourw 0 , la vitesse et la force excitatrice une pulsationw r sont en phase. égale à la pulsation proprew 0  de l’oscillateur (cad pulsation des oscillations libres non amorties). Il y a résonance de vitesse. ·Le facteur de qualité peut-être défini 0 par Q1  avecDw la largeur de w V M max la bande passante (w/ V M > ). 2

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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2008-2009 PCSI B Chapitre ME6 _____________________________________________________________________________________ II-3- Résonance de puissance a-Bilan énergétique dE M Le théorème de l’énergie mécanique indique :1P1P#P    Fnonconservatives Ffrottement Fexcitatrice dt En raisonnant sur des valeurs moyennes, on trouve par définition d’une valeur moyenne : t#T t#T  dE M  1 dE M 1 t 1 1dt1dE ( t ! 1E ( t#T ! %E ( t !  ∫ ∫    M M M  dt  moy T t dt T t T En régime sinusoïdal forcé, le système évolue de façon périodique. On a donc E M (t) = E M (t+T).  dE  M ⇒101P#P     Ffrottement Fexcitatrice dt   moy On obtient donc que l’énergie fournie par la force excitatrice est en moyenne intégralement dissipée par frottement. b-Résonance de puissance La puissance dissipée lors du mouvement de la masse sous l’effet de la force de frottement a pour  2  expression : P F.v1 %av00 . M M Ffrottement 2 La vitesse étant sinusoïdale, cette puissance vaut en moyenne : P moy =%V M 2 Il y a donc pour la puissance moyenne dissipée (ou fournie), comme pour la vitesse, un phénomène de résonance lorsque le système est excité à sa fréquence (ou à sa pulsation) propre. Courbe de réponse en puissance moyenne transmise à l’oscillateur ·En toute rigueur, la fréquence de résonance est la fréquence pour laquelle la puissance moyenne transférée à l’oscillateur est maximum. Elle a lieu pourw r  =w 0  Q. Cette puissance moyenne est entièrement dissipée par les phénomènes d’amortissement. ·Le facteur de qualité peut-être défini par 0 Q1 avecDw la largeur de la bande w P V moy max M max passante (w/ V m > ou P moy > ). 2 2

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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2008-2009 PCSI B Chapitre ME6 _____________________________________________________________________________________ On aboutit à une nouvelle définition d’un phénomène de résonance : Un système oscillant entre en résonance lorsque le transfert de puissance de l’excitateur à l’oscillateur est maximum. II-4- Exemples de résonances mécaniques Les manifestations du phénomène de résonance mécanique sont multiples et variées (voir les vidéos à l’adresse suivante :www.imaginascience.com) : ·Certaines pièces mal amorties d’un moteur peuvent entrer en résonance lorsque le moteur tourne à la fréquence de résonance de ces pièces. Les ondes sonores qui en résultent sont des bruits parasites que l’on cherche à éliminer. ·Un verre excité autour de sa fréquence propre par une onde sonore peut se briser. ·Le pont suspendu de Tacoma, excité autour de sa fréquence propre par des tourbillons d’air s’enroulant autour des câbles à la fréquence de résonance de la structure s’est effondré en 1940. Le -1 vent ne soufflait pourtant qu 60 km.h . ·Le pont d’Angers s’est effondré en 1850 suite au passage à pas cadencé d’un régiment (226 morts). Les solutions pour éviter la destruction des structures oscillantes sont multiples : augmentation de l’amortissement (et donc diminution de l’amplitude des oscillations pour une même fréquence excitatrice), augmentation de la masse du système (augmentation de l’inertie du système et diminution de la fréquence propre), ajout de systèmes vibrant en opposition de phase avec la structure (masses plongées dans des milieux visqueux au sommet des gratte-ciel). Le phénomène de résonance n’est cependant pas uniquement néfaste. Il est par exemple à la base du fonctionnement de la plupart des instruments de musique en permettant une amplification de la vibration excitatrice et donc l’émission d’un son suffisamment fort. Cet aspect de la résonance sera abordé en seconde année lors de l’étude des ondes sonores.

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