LycÉe Brizeux PCSI B
o Devoir surveillÉ n 6
Samedi 20 Mars 2010
Thermodynamique & MÉcanique –La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice est autorisÉ –Les deux problÈmes sont indÉpendants –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ ne sera pas prise en compte. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraïneront la perte de tous les points de la question.
ProblÈme I Sonder l’atmosphÈre, Centrale-Supelec 2008, filiÈre TSI L’atmosphre entoure toute la Terre et permet À toutes les espces vivantes terriennes de respirer pour vivre. Les phnomnes physiques intervenant dans l’atmosphre sont nombreux et caractrisent en fait diffrentes couches en fonction de l’altitude : de la troposphre au niveau du sol jusqu’À l’ionosphre couche d’atmosphre la plus haute avant l’espace. On se propose dans ce sujet d’tudier la faÇon dont les mtorologistes sondent les basses couches de l’atmosphre (troposphre et basse stratosphre) pour tenter de comprendre et de modliser les phnomnes mtorologiques en vue notamment de rpondre À la difficile question : « quel temps fera-t-il demain ? ». DonnÉes numÉriques :
Rayon de la Terre Acclration de la pesanteur au niveau du sol Constante des gaz parfaits Masse molaire de l’air Masse molaire de l’Helium
3 RT= 6,4.10km −2 g= 9,81m.s −1−1 R= 8,31J.K .mol −3−1 Mair= 29.10kg.mol −3−1 MHe= 4,0.10kg.mol
α On rappelle qu’À l’ordre 1 en:(1 +1 +) = αete= 1 +
A Modliser l’atmosphÈre Toute prvision mtorologique est base sur un modle fiable de l’atmosphre rendant compte en particulier de la pression, de la temprature et de l’hygromtrie (humidit de l’air) en diffrents points de l’espace. Des mesures exprimentales de ces grandeurs en fonction de l’altitude sont ainsi effectues rgulirement À l’aide de ballons-sonde pour permettre d’affiner les modles informatiques existants et de prvoir les ventuelles formations nuageuses. Dans cette partie, le champ de pesanteur est uniforme et gal À sa valeur au niveau du sol. L’air sera toujours considr localement comme un gaz parfait. A.1 ModÈle simple de l’atmosphÈre isotherme
On considre dans un premier temps le cas d’une atmosphre isotherme au repos, dans laquelle la temprature est uniforme et vautT0= 273K. La pression au niveau du sol vautP0= 1,0bar= 5 1,0.10P a. On appelleP(z)la pression qui rgne À l’altitudez.
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A.1.1Faire un bilan des forces s’exerÇant sur une tranche de fluide de baseS, comprise entre les altitudeszetz+dz(figure 1). En dduire l’quation diffrentielle vrifie parP(z). A.1.2Dterminer l’expression de la pressionP(z)qui rgne À l’altitudez. Le trac deP(z)est report sur la figure 3 ci-aprs (courbe en pointills). A.1.3Dduire de ce qui prcde l’ordre de grandeur de l’paisseur de l’atmosphre isotherme dans le cadre de ce modle. Faire l’application numrique. Montrer que l’on peut retrouver ces rsultats graphiquement. A.2 Profils de tempÉrature et de pression dans l’atmosphÈre rÉelle
Les donnes transmises par un ballon-sonde au cours d’une traverse de la troposphre et de la basse atmosphre permettent de tracer les profils rels de temprature et de pression rgnant À la verticale d’une station mto. Les rsultats son rassembls sur la figure 2 ci-aprs :
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A.2.1Quelle diffrence essentielle y-a-t-il entre la stratosphre et la troposphre ? A.2.2Que pensez-vous du modle vu enA.1de l’atmosphre isotherme pour dcrire la strato-sphre ? On comparera les profils rels de temprature et de pression avec les rsultats du modle (voir figure 3 courbe en pointills). On cherche À affiner le modle prcdent en considrant cette fois un profil de temprature de la forme :T(z) =T0−azavecT0etades paramtres constants. A.2.3Commenter le choix de ce profil de temprature et valuer numriquementT0eta. A.2.4Montrer que le champ de pression dans la troposphre se met sous la forme :P(z) = α P(1−bz)oÙbetαsont des paramtres constants À dterminer. Comparer alors ce champ de pression avec celui obtenu enA.1pour l’atmosphre isotherme lorsque l’on se place À faible altitude (bz1). Un logiciel informatique de traitement de donnes permet d’ajuster les valeurs deP0,betαpour 5 que le modle dcrive correctement les points exprimentaux. On obtient ainsi :P0= 1,03.10P a, −5−1 b= 1,95.10metα= 5,91. La courbe correspondante est trace en trait plein sur la figure 3. A.2.5Dduire de ces rsultats une autre dtermination deT0etaet comparer aux valeurs trouves prcdemment. Conclure quant À la validit de ce modle pour dcrire la troposphre. A.2.6En utilisant le mme critre que celui vu en A.1.3 pour l’atmosphre isotherme, valuer l’paisseur de l’atmosphre dans ce nouveau modle. Conclure.
B Etude d’un ballon sonde Le ballon-sonde est le moyen le plus simple et le plus conomique d’envoyer une charge dans les diffrentes couches de l’atmosphre. Les ballons mtorologiques, embarquant du matriel scientifique de mesure, explorent par exemple toute la troposphre et la basse stratosphre. On se propose ici d’tudier quelques variantes d’un ballon-sonde stratosphrique : ballon ouvert À l’hlium et ballon ferm À l’hlium. Dans toute cette partie, l’atmosphre est suppose isotherme, de tempratureT0= 273K, et le champ de pression est celui fourni par la figure 3 de la partieA. 5 La pression au niveau du sol vautP0= 1,0.10P a. Tous les gaz sont considrs comme parfaits et on ngligera la force de frottement dans l’air.
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B.1 Le ballon stratosphÉrique ouvert (B.S.O) On considre le ballon sonde, reprsent sur la figure 4 ci-contre, compos : 3 – d’une enveloppe suppose sphrique, de volumeV= 100m(cor-respondant À un diamtre de l’ordre de6m), ouverte sur l’extrieur par des manches d’vacuation situes À la base du ballon ; – d’un parachute permettant de ralentir la descente du ballon À la fin de la mission ; – d’un rflecteur radar rendant plus facile le suivi À distance du ballon ; – d’une nacelle contenant les appareils de mesure, le systme de tl-communication et de positionnement G.P.S. Dans ce type de ballon, l’enveloppe est indformable et garde un volume Vconstant. Le ballon tant ouvert À sa base, la pression À l’intrieur du ballon est identique À tout moment À celle qui rgne À l’extrieur. Au moment du lancement, le ballon est gonfl À l’hlium.
On suppose que la temprature À l’intrieur du ballon reste constante, gale À la temprature ext-rieureT0. La massemde l’ensemble (enveloppe + parachute + rflecteur + nacelle) reste constante au cours du vol. Le volume du ballon est assimil À celui de son enveloppe. B.1.1Le ballon-sonde tant prvu pour monter À quelques dizaines de kilomtres d’altitude, faut-il tenir compte de la variation du champ de pesanteur, assimil ici au champ de gravitation Δg terrestre, avec l’altitude ? Èvaluer la variation relative maximale du champ de pesanteur g entre le sol et l’altitudez= 20km. Conclure. B.1.2Dterminer la massemgazde gaz contenue dans l’enveloppe au dcollage. B.1.3Effectuer un bilan des forces prcis s’exerÇant sur le ballon au moment du dcollage. En dduire une condition surmpour que le ballon dcolle effectivement. On considre dans la suitem= 10kg. B.1.4Expliquer ce qui se passe dans le ballon au cours de son ascension. B.1.5Le plafond est atteint lorsque le ballon est À son altitude maximale. A quelle condition le ballon plafonne-t-il ? Estimer alors l’altitude maximale atteinte par le ballon-sonde. Ds que le plafond est atteint, un systme de largage libre le ballon de son enveloppe. Le ballon entame alors sa descente, ralentie par le parachute. Une fois retrouvs sur la sol, les appareils de mesure pourront servir une nouvelle fois pour une prochaine mission. B.2 Cas d’un ballon fermÉ
Le ballon-sonde possde cette fois une enveloppe lastique ferme. Cette enveloppe est remplie d’une massemHe= 0,80kgd’hlium au moment du lancement. Les accessoires sont identiques À ceux du ballon vu enB.1. On suppose comme prcdemment que la temprature À l’intrieur du ballon est identique À chaque instant À celle de l’air extrieurT0. Les observations indiquent que le ballon a un diamtre de2mau dcollage pour atteindre son diamtre maximal de4,6m, juste avant que l’enveloppe n’clate À son altitude maximale. B.2.1Expliquer qualitativement les phnomnes qui provoquent l’clatement du ballon. L’lasticit de l’enveloppe s’explique par les proprits de tension superficielle du matriau, qui im-posent la relation suivante entre la pression intrieurPintdu ballon et la pression extrieure de l’air 4σ Pext(formule de Laplace) :Pint−Pext=oÙσest appel coefficient de tension superficielle etr r le rayon de l’enveloppe sphrique. B.2.2Prciser l’unit deσet calculer numriquement sa valeur. B.2.3Dterminer l’altitude maximale atteinte par le ballon-sonde.
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