M2R Universite de Grenoble Theorie Ergodique

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
M2R Universite de Grenoble Theorie Ergodique 2009/2010 Feuille d'exercices no 2 : ergodicite, melanges et applications sur le tore Rappels de cours Exercice 1 : Unique ergodicite Soit T une application continue sur un espace metrique X. On dit que T est uniquement ergodique si elle n'admet qu'une seule mesure µ de proba borelienne et invariante. 1) Montrer que si T est uniquement ergodique, alors la mesure invariante µ est necessairement ergodique. 2) Montrer que si T est telle que pour toute fonction continue ?, la moyenne en temps 1/n∑n?1k=0 ? ? T n converge uniformement vers une constante, alors T est uniquement er- godique. Exercice 2 : Melanges Une application T sur un espace X laissant une mesure de proba µ invariante est dite melangeante si pour tous ensembles A et B mesurables, µ(A ? T?nB) ????????? n??+∞ µ(A)µ(B) . 1) Montrer qu'une application melangeante est ergodique. 2) Montrer qu'une application est melangeante si et seulement si pour tous f et g dans L2(X), ?f, g ? L2(X) , ∫ f(T n(x))g(x)dµ ????????? n??+∞ ∫ fdµ ∫ gdµ . Quelques exercices theoriques Exercice 3 : A propos de T 2 Soit T une application sur un espace metrique X.

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M2R TheorieErgodique
UniversitedeGrenoble 2009/2010
o Feuilledexercicesn2:ergodicite,melangeset applications sur le tore
Rappels de cours Exercice1:Uniqueergodicite SoitTeiruqmteapeccilpoitaupaenuresesunonncnutiXdit que. OnTest uniquement ergodique si elle n’admet qu’une seule mesureaborrobeileeenntinvariante.epd 1) Montrer que siTest uniquement ergodique, alors la mesure invarianteiaerecssemtntnees ergodique. 2) Montrer que siTest telle que pour toute fonction continueϕ, la moyenne en temps P n1 n 1/n ϕTrgveoncte,alsotrasneconrsuntneveemofmrueinTest uniquement er-k=0 godique. Exercice2:Melanges Une applicationTsur un espaceXlaissant une mesure de probainvariante est dite melangeantesipourtousensemblesAetBmesurables, n (AT B)→(A)(B). n→+1)Montrerquuneapplicationmelangeanteestergodique. 2)Montrerquuneapplicationestmelangeantesietseulementsipourtousfetgdans 2 L(X), Z ZZ 2n f, gL(X), f(T(x))g(x)d→f dgd . n→+
Quelquesexercicestheoriques
2 Exercice 3 : A propos deT SoitTunesnsuratioplicenpauuqireecaptemXsuppose que. OnTepremuseresvrueen deprobaborelienne. 2 1) Montrer que siTest ergodique pour, alorsTest ergodique pour.
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