M2R Universite de Grenoble Theorie Ergodique

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
M2R Universite de Grenoble Theorie Ergodique 2009/2010 Feuille d'exercices no 2 : ergodicite, melanges et applications sur le tore Rappels de cours Exercice 1 : Unique ergodicite Soit T une application continue sur un espace metrique X. On dit que T est uniquement ergodique si elle n'admet qu'une seule mesure µ de proba borelienne et invariante. 1) Montrer que si T est uniquement ergodique, alors la mesure invariante µ est necessairement ergodique. 2) Montrer que si T est telle que pour toute fonction continue ?, la moyenne en temps 1/n∑n?1k=0 ? ? T n converge uniformement vers une constante, alors T est uniquement er- godique. Exercice 2 : Melanges Une application T sur un espace X laissant une mesure de proba µ invariante est dite melangeante si pour tous ensembles A et B mesurables, µ(A ? T?nB) ????????? n??+∞ µ(A)µ(B) . 1) Montrer qu'une application melangeante est ergodique. 2) Montrer qu'une application est melangeante si et seulement si pour tous f et g dans L2(X), ?f, g ? L2(X) , ∫ f(T n(x))g(x)dµ ????????? n??+∞ ∫ fdµ ∫ gdµ . Quelques exercices theoriques Exercice 3 : A propos de T 2 Soit T une application sur un espace metrique X.

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Sujets

• Exercice
• Théorie ergodique

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Extrait

M2R TheorieErgodique

UniversitedeGrenoble 2009/2010

o Feuilled’exercicesn2:ergodicite,melangeset applications sur le tore

Rappels de cours Exercice1:Uniqueergodicite SoitTeiruqmteapeccilpoitaupaenuresesunonncnutiXdit que. OnTest uniquement ergodique si elle n’admet qu’une seule mesureaborrobeileeenntinvariante.epd 1) Montrer que siTest uniquement ergodique, alors la mesure invarianteiaerecssemtntnees ergodique. 2) Montrer que siTest telle que pour toute fonction continueϕ, la moyenne en temps P n1 n 1/n ϕTrgveoncte,alsotrasneconrsuntneveemofmrueinTest uniquement er- k=0 godique. Exercice2:Melanges Une applicationTsur un espaceXlaissant une mesure de probainvariante est dite melangeantesipourtousensemblesAetBmesurables, n (A∩T B)→(A)(B). n→+∞ 1)Montrerqu’uneapplicationmelangeanteestergodique. 2)Montrerqu’uneapplicationestmelangeantesietseulementsipourtousfetgdans 2 L(X), Z ZZ 2n ∀f, g∈L(X), f(T(x))g(x)d→f dgd . n→+∞

Quelquesexercicestheoriques

2 Exercice 3 : A propos deT SoitTunesnsuratioplicenpauuqireecaptemXsuppose que. OnTepremuseresvrueen deprobaborelienne. 2 1) Montrer que siTest ergodique pour, alorsTest ergodique pour.

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