MA11 Universite d Orleans S Falguieres
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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
2009-2010 MA11 Universite d'Orleans S.Falguieres Logique, ensembles, preuves mathematiques 1 Logique Exercice 1. Soient les quatre assertions suivantes : – a. ?x ? R, ?y ? R, x+ y > 0. – b. ?x ? R, ?y ? R, x+ y > 0. – c. ?x ? R, ?y ? R, x+ y > 0. – d. ?x ? R, ?y ? R, y2 > x. 1. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur negation. Exercice 2. Soit f une application de R dans R. Nier, de la maniere la plus precise possible, les enonces qui suivent : 1. Pour tout x ? R f(x) ≤ 1. 2. L'application f est croissante. 3. L'application f est croissante et positive. 4. Il existe x ? R+ tel que f(x) ≤ 0. 5. Il existe x ? R tel que quel que soit y ? R, si x < y alors f(x) > f(y). On ne demande pas de demontrer quoi que ce soit, juste d'ecrire le contraire d'un enonce. Exercice 3. Completer les pointilles par le connecteur logique qui s'impose : ?, ?, ? .

  • connecteur logique

  • ?n ?

  • angle droit

  • recurrence

  • entiers pi

  • raisonnement

  • ?b ?


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Langue Français

Exrait

2009-2010 MA11 Universit´edOrle´ansS.Falgui`eres Logique,ensembles,preuvesmath´ematiques
1 Logique Exercice 1.Soient les quatre assertions suivantes : – a.xR,yR, x+y >0. – b.xR,yR, x+y >0. – c.xR,yR, x+y >0. 2 – d.xR,yR> x., y 1. Lesassertionsa,b,c,d?sont-elles vraies ou fausses 2.Donnerleurne´gation. Exercice 2.Soitfune application deRdansRlpalere`ice´rpsur,ie.Nnimaladessibsepole, les´enonce´squisuivent: 1. PourtoutxRf(x)1. 2. L’applicationfest croissante. 3. L’applicationfest croissante et positive. + 4. IlexistexRtel quef(x)0. 5. IlexistexRtel que quel que soityR, six < yalorsf(x)> f(y). Onnedemandepasdede´montrerquoiquecesoit,justede´crirelecontrairedune´nonce´. Exercice 3.igolruetcennocel:sepoimsuieqquetlrlpe´Cmosparll´eintiespo,,. 2 1.xRx= 4x. . . . . .= 2; 2.zCz=z .z. . . . .R; 2ix 3.xRx=. . . . .eπ .= 1. 2 Exercice 4.DansRine´dnoesneseltsmble, 2 2 F1={(x, y)R, y0}etF2={(x, y)R, xy1, x0}. ´ Evaluer les propositions suivantes : −−→ 1.ε]0,+[,M1F1,M2F2,||M1M2||< ε −−→ 2.M1F1,M2F2,ε]0,+[,||M1M2||< ε −−→ 3.ε]0,+[,M1F1,M2F2,||M1M2||< ε −−→ 4.M1F1,M2F2,ε]0,+[,||M1M2||< ε Quandellessontfausses,donnerleurne´gation. ´ Exercice 5.irelEcrasssnoedagitnae´esntvauissontieru`oP, Q, R, Ssont des propositions. 1.PQ, 2.Pet (nonQ), 3.Pet (QetR), 4.Pou (QetR),
1
5. (PetQ)(RS). 6.Nier les assertions suivantes.
Ensembles 12.Montrer par contraposition les assertions suivantes,E´etantunensmelb:e
Raisonnementparlabsurdeetcontrapose´e
21.Soit (fn)nNune suite d’applications de l’ensembleNnslui-mˆeme.Onda
2.End´eduire:
n X 1 2 32 k= (2n+ 3n+ 3n). 6 k=0
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