Master ESA Séries Temporelles Univariées

Gilbert Colletaz

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 1 ESA - Séries Temporelles Univariées - Correction de l'épreuve du 29 mai 2008 Gilbert Colletaz Exercices 1. On a naturellement : xt = ut ? ?1ut?2 ? ?2ut?12 + ?1?2ut?14. (a) Comme ut est un processus à réalisations non corrélées, il su?t de repérer les s ≤ 15 tels que xt?s contiennent au moins un des u définissant xt. Les corrélations sont alors non nulles avec xt?2, xt?10, xt?12, xt?14. Pour l'expression des corrélations elles-mêmes, on commence par calculer les autocovariances : ?x(0) = E[x 2 t ] = (1 + ?21 + ? 2 2 + +? 2 1 + ? 2 2)? 2 u ?x(2) = E[xtxt?2] = (??1 ? ?1? 2 2)? 2 u ?x(10) = (?1?2)? 2 u ?x(12) = (??2 ? ? 2 1?2)? 2 u ?x(14) = (?1?2)? 2 u et donc : ?x(0) = E[x 2 t ] = (1 + ?21 + ? 2 2 + +? 2 1 + ? 2 2)? 2 u ?x(2) = (??1 ? ?1?22) (1 + ?21 + ? 2 2 + +? 2 1 + ? 2 2) ?x(10) = (?1?2) (1 + ?21 + ? 2 2 + +?

• nullité au moyen de tests individuels


• rupture sur les corrélations ?


• hypothèse de nullité de l'autocorrélation d'ordre


• résidu de la régression de dickey-fuller


• hypo- thèse nulle de racine unitaire


• estimateur du maximum de vraisem- blance de ?

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Publié le: 01 mai 2008
• Nombre de lectures: 22

Extrait

x = u −θ u −θ u +θ θ ut t 1 t−2 2 t−12 1 2 t−14
ut
s ≤ 15 xt−s
u x xt t−2
x x xt−10 t−12 t−14
2γ (0) = E[x ]x t
2 2 2 2 2= (1+θ +θ ++θ +θ )σ1 2 1 2 u
γ (2) = E[x x ]x t t−2
2 2= (−θ −θ θ )σ1 1 2 u
2γ (10) = (θ θ )σx 1 2 u
2 2γ (12) = (−θ −θ θ )σx 2 21 u
2γ (14) = (θ θ )σx 1 2 u
2γ (0) = E[x ]x t
2 2 2 2 2= (1+θ +θ ++θ +θ )σ1 2 1 2 u
2(−θ −θ θ )1 1 2ρ (2) =x 2 2 2 2(1+θ +θ ++θ +θ )1 2 1 2
(θ θ )1 2
ρ (10) =x 2 2 2 2(1+θ +θ ++θ +θ )
1 2 1 2
2(−θ −θ θ )2 21ρ (12) =x 2 2 2 2(1+θ +θ ++θ +θ )1 2 1 2
ρ (14) = ρ (12)x x
des-CollS?riescorr?lationsdet1tiennenorellescoUnivaari?es,-uCorrectionPrepparilariances2008ertmaiec?rercorr?lationscorr?l?es,t29undu,lesquenonl'expressioneonl'?preuvlesdesutESAetelsnonisationsnlullesr?av1Gilb?soncessusLespro.und?nissanest,Commemoins(a)a.t:cont.naturellemenouradesOnelles-m?mes,1.commenceExercicescalculer:autooncMasterdvet:tazalorsTemp2 12(1−0.8L +0.8L −
14 −10.64L ) x = ut t
2 6 8x = (1+0.8L+0.64L +0.512L +0.4096L +···)ut t
x = (1−θ L)u = u −θ u y = x +e cor(e ,e ) = 0t 1 t t 1 t−1 t t t t s
s = 0 ∀(t,s), cor(e ,x ) = 0t s
yt
cor(y ,y ) = cor(u −θ u +e ,u −θ u +e ) = 0t t−1 t 1 t−1 t t−1 1 t−2 t−1
cor(y ,y ) = 0, s > 1t t−s
yt
2x = 10+u +0.9u σ = 4t t t−4 u
x = E [x ] = E [10+u +0.9u ] = 10+0.9×1t t +1 t t +1 t t +1 t −30 0 0 0 0 0 0
= 10.9
x = E [x ] = E [10+u +0.9u ] = 10+0.9×(−5)t t +2 t t +2 t t +2 t −20 0 0 0 0 0 0
= 5.5
2V (x ) = V(u ) = σt t +1 t +10 0 0 u
2V (x ) = V(u ) = σt t +2 t +20 0 0 u
±2× σu
Prob[6.9≤ x ≤ 14.9] = 0.95,t +10
Prob[1.5≤ x ≤ 9.5] = 0.95t +20
x lim E [x ] = E[x ] = E[x ] = 10t h→∞ t t+h t+h t
V(x ) = (1 + 0.81)4 = 3.24 IC =t 95%√
10±2 3.24 = 10±3.6
EnavvestecEnl'autrePobtenailleurs,estestconanceMA(1).de?r?autoursommede.alleecuesi,:soitl'une:tre,tervuninailleurs,Uns?riesdesstationnaireestrepr?senm?thoPdes6vueseten,cours,a6Finalemenpar2.exempletentpobtienIlcessusosanoutprolapartrou?.g?netarMA(14)stationnaires.division,deonpuisqueunestestLaquestiononcen.cessusardet,siadvtationecaroautor?gressivpetoncOnLe.(b)t,(a)donc(b):toujours.stationnaire.ais?menestutilisanstationnairetetou(c)3.l'esp2?ranceτ τ = 0.00056/0.00076 > 0μ μ
τ = −0.99972/0.0205 = −48.8μ
ρ
√
±2/ 250 = ±0.126
ρ ,...,ρ2 8
g(θ)
ˆ ˆg(θ) θ
θ
0δg()
θ g(θ) = g(θ ) + (θ−θ )0 0 0δθ
00δg() δg() δg()ˆ ˆV[g(θ)] = V[ θ] = Vˆθδθ δθ δθ
cˆ 2μˆ = = = 10x ˆ 1−0.81−φ
δμˆ 1
= = 1/0.2 = 5,
ˆδcˆ 1−φ
δμˆ cˆ
= = 2/0.04 = 50
ˆ ˆ 2δφ (1−φ)
0
5 0.3 −0.08 5
V(μˆ) = = 217.5
50 −0.08 0.1 50
√
IC (μˆ) = 10±2× 217.5 = 10±29.595%
2 2(1−L) (1−L )
unLesesttpar-lorsquede4.?men:estSel'estimateurfauxdullit?ucorr?lationsmaximd?tecteumEnde5%vraisem-accepteblancevdev?videm-d'ordre.ypLaCelam?thoeder?guli?redeltad'ordreconsid?res?rieunOdv?vtableeloppAinsi,emeno-tviendeondreTilestet.est?l'autol'ordrede1MA.autourpde.deuxsur?quationset:lessonunet5.eviendinblanceuencemdonce?raiscritiquevrisque,deMcKinnon,umonmaximodu.L'estimateurh(a)n6.unitaireMA(1).(2),uncritiques.oncvraidFretiendraitappliquerontabletotalonetm?medonc1:corr?lationAude.n?videmmenoth?setL'hrelativunesenseraufaittestet,de(1)Dicleskrupturetsunecientiellescocorr?lationsdessurindividuelsd?croissancetestsplut?tdeOnen1.yIlmotaut?gr?eullit?seraitnlalacons?qaccepteH0.onrejettee-2.86.h?galeancappropri?evaleurrelaEnde.?ey-Fdeullerladelt.(b)nIci,aypOnel'.ypAth?sevulleecracinett?tanilH0ecdeArejetR?pnonpardoualle1.tervaux,l'infautrisque,aleursdede5%e.nDepasplus,regarder?sansrejet?ea3ylor√
T T
desilelsfaut(conaux,queconlelar?sidunodetestsla4r?geresn'estsionstan-deergenceFDicpaskmaisey-Fsullertsoitdeunvbruitrgencebestimateurslancpasetvitessenondardpasvlaens?rieetdentraen2.v),ailleselle-m?me.u3.uVsonrai,applicables.lavitesse