Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T D no

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 3 Corrige 1.— On considere un modele Cox-Ross-Rubinstein de marche (B,S) a trois etapes. On suppose que S0 = 20C– et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,1 et d = 0,9. Le rendement non-risque sur chaque periode est r = 2%. a. Decrire la dynamique de S a l'aide d'un arbre et donner la probabilite de martingale. b. Un trader vend un call europeen de prix d'exercice K = 20 C– et commence ses operations de couverture delta-neutre. Determiner le prix du call a la date t = 0. c. On suppose que l'actif sous-jacent subit deux hausses consecutives puis une baisse : detailler les operations effectuees par le trader sur son portefeuille de couverture. d. Quelle serait la prime d'un put europeen de meme prix d'exercice et de meme echeance ? S'il s'agissait d'un put americain, l'acheteur aurait-il interet a exercer son put de maniere anticipee ? Solution a. et b. La dynamique de S et les prix du call aux differents nœuds de l'arbre sont donnes dans la figure ci-dessous. La probabilite de martingale est q = 1,02? 0,9 1,1? 0,9 = 3 5 et la prime a t = 0 est c0 = 2,0721C– .

• meme prix d'exercice et de meme echeance


• call


• portefeuille


• insu du marche


• arbre


• modele cox-ross-rubinstein de marche

Sujets

• Portefeuille

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Master IMEA 1

Calcul Stochastique et Finance

o Feuille de T.D. n3

Corrige ´ 1.—consOnreunid`eleCeom`dso-sxoR-tensbiRurcmadein(e´hB, SsnpuopestepaseO.que)´siorta`S 0 = 20 – C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivementu= 1,1 etd= 0,uqsir-nontnemednLere9.´e surchaquep´eriodeestr= 2%. a.rircdalemanyeuqide´eDS.elagniitilabobrtmade´ebrerteodnnrealrp`al’aided’una b.edartnUecicedrpe´nexerexi’dduncrvenuropalleK= 20 – C´eoptirancmeesesemoctevtrruenodsceuo delta-neutre.D´eterminerleprixducalla`ladatet= 0. c.ssaiebunaietd´e:oselrelloitare´pdeuxubitseschauscetuno´supsivisensents-jacsousctiflea’esuqpuopOsn effectu´eesparletradersursonportefeuilledecouverture. d.ecicrexe’dxirpemeah´ece´emmˆdeetu’pnmidealrpartiemˆeeendrop´uteuleuQesel’sgasiascn?e’Sliit d’unputam´ericain,l’acheteuraurait-ilint´ereˆt`aexercersonputdemanie`reanticip´ee?

Solution a.etb.La dynamique deSnne´dsnalsfiaugersdel’arbresontdoidxure´ffstneduœnleetrispucxdlaal ci-dessous.Laprobabilite´demartingaleest

etlaprimea`t= 0 est

1,02−0,9 3 q= = 1,1−0,9 5

c 0 = 2,0721 – C.

Lescalculspartentdel’extr´emit´edroitedel’arbre;onutiliselaformuled’espe´ranceconditionnelleactualise´e k   X 1k i k−ki i−i c(T−k, S T−k ) =q(1−q)c(T , S T−k u d) k (1 +r)i i=0

i k−i avecTuadl´(r3e=eδt’dnu´eteapeest1)etk= 1, 2 ou 3. Lesc(T , S T−k u d) sont les valeurs du pay-off auxextr´emit´esdel’arbresachantqu’a`ladateT−kle sous-jacentSavait pour valeurS T−k . Danslecaspr´esent,ona    i k−i ik−i ik−i c(T , S T−k u d) =S T−k u d−K=S T−k × (1,1) × (0,9)−20. + +

2002-2011 michel miniconi

version du 5 mars 2011