Master MASS

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 2 MASS ??????? Mathematiques des derives financiers DS Epreuve du lundi 18 janvier 2010 (duree : 2h) Corrige Dans tout ce qui suit, (Wt) designe un brownien standard. 1.— Soit le processus defini par Yt = W 3t ? 3tWt. a. Determiner l'EDS verifiee par Yt. b. Le processus Yt est-il une martingale (pour la filtration (Ft) associee a (Wt)) ? Solution a. On a Yt = f(t,Wt) avec f(t, x) = x3 ? 3tx. Les derivees partielles sont ∂f ∂t = ?3x , ∂f ∂x = 3x2 ? 3t , ∂2f ∂x2 = 6x. Evidemment dWt = adt+ bdWt avec a = 0 et b = 1 dans les notations habituelles. La formule d'Ito donne : dYt = (?3Wt + 0 + 1 2 6Wt)dt+ (3W 2 t ? 3t)dWt = 3(W 2 t ? t)dWt. b. Pas de drift pour Yt, c'est donc une martingale. 2.— Soit (Xt) un processus verifiant dXt = k(? ?Xt)dt+ ?dWt , X0 = x0 ? R donne, ou les constantes k et ? sont positives et ? est un reel quelconque fixe (processus d'Ornstein-Uhlenbeck).

• raison de la propriete d'independance


• yt


• formule d'ito


• wt ?


• notations habituelles


• ?kt ∫


• isometrie d'ito


• processus verifiant

Sujets

• Lemme d'Itô

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

Master 2 MASS -

Math´ematiquesdesde´riv´esfinanciers

´ Epreuve du lundi 18 janvier 2010 (dure´e:2h)

Corrige ´

DS

Dans tout ce qui suit, (W t ornweisnisnguebntea´ndd)ard. 3 1.—´dsuinfieorpessecSoitlrpaY t =W−3tW t . t a.’lDEnireetmrDe´reeparifi´Sv´eY t . b.Le processusY t est-il une martingale (pour la filtration (F t a(sa)icos`ee´W t )) ? Solution 3 a.On aY t =f(t, W t ) avecf(t, x) =x−3txire´dseLrapsee´vlesstiel.ont 2 ∂ f∂ f∂ f 2 =−3x ,= 3x−3t ,= 6x. 2 ∂t ∂x∂x ´ EvidemmentdW t =adt+bdW t aveca= 0 etbe:nndoˆoItd’leumrofaL.selleutitionshabslesnota=d1na 1 2 2 dY t = (−3W t + 0 +6W t )dt+ (3W−3t)dW t = 3(W−t)dW t . t t 2 b.Pas de drift pourY t , c’est donc une martingale.

2.—Soit (X t )unprocessusv´erfiinat

dX t =k(θ−X t )dt+σdW t , X 0 =x 0 ∈R´nnoed,

o`ulesconstantesketσsont positives etθxfieuqnocleuqlee´d’ussscero(p´etunresOrnstein-Uhlenbeck). ks a.elliemrofdeluediaaled´eiffntretˆ’Iadoluler`al’Calcd(e X s ). b.ge´tninE[rustnar0, ttsoiqaeucee´pn´r,d´e]edelduirntdeueeqX t rce´serilsuorofamepes’ut Z t −kt X t =φ(t) +σe ψ(s)dW s 0

ou`φetψsont desfonctionss)teisinrmte´e(d. Donner les expressions deφ(t) etψ(s) en fonction des variablestetseestdersapar`mtek,θetx 0 . c.lrra´lepserumletatg´eQnu´eeqreualavdta’rffiemat´ereoiabrialleX t suit une loi normale? Calculerl’esp´erancedeX t . d.ucellrvaraaicndeeEomisl’ntsalitinulac,oˆtI’deirte´X t .

Solution ks ks a.PosonsZ s =e X s . On aZ 0 =x 0 etZ s =f(s, X s ) avecf(s, x) =e x. Avec les notations habituelles de laformuled’Itoˆ,onaa s =k(θ−X s ) etb s =σ. On a donc

ks ksks ksks dZ s = (ke X s +k(θ−X s )e+ 0)ds+σe dW s =kθe ds+σe dW s

qui est un brownien affine.

2002-2010 michel miniconi

version du 19 janvier 2010