Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2008-2009 Corrige du devoir surveille du 27 avril 2009 Exercice 1. 1. Q : A ? F 7? E[Y 1A] definit une mesure de probabilite sur (?,F) car : (i) pour tout A ? F , Q(A) ≥ 0 (car par hypothese Y ≥ 0) et Q(?) = 0; (ii) si (An)n?N est une famille denombrable d'ensembles disjoints de F , alors Q ( ∞? n=0 An ) = E [ Y ∞∑ n=0 1An ] = ∞∑ n=0 E [ Y 1An ] = ∞∑ n=0 Q(An) en vertu du theoreme de la convergence monotone; (iii) Q(?) = E[Y 1?] = E[Y ] = 1 par hypothese. Soit A ? F un evenement de probabilite P(A) = 0. Alors 1A(?) = 0 pour P-presque tout ? ? ?. Or Y est integrable, d'ou Y < ∞ P-presque surement. Par consequent, Y (?)1A(?) = 0 pour P-presque tout ? ? ?, d'ou Q(A) = E[Y 1A] = 0.

• variable aleatoire


• vertu du theoreme de la convergence monotone


• somme de variables aleatoires


• esperance conditionnelle


• pq ?


• fxn


• x2k ?


• theoreme d'arret pour les martingales


• independance

Sujets

• Fourier
• Variable aléatoire
• Espérance conditionnelle
• Indépendance

Informations

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• Nombre de lectures: 35
• Langue: English

Extrait

Master1Math´ematiques,MAT414

Universit´eJosephFourier 20082009

Corrig´edudevoirsurveille´du27avril2009

Exercice 1. 1.Q:A∈ F7→E[Y1 A emuseredfieinutenit´esur(probabilΩ´d],F) car : (i) pour toutA∈ F,Q(A)≥eshte`yhopprraca0(Y≥0) etQ(∅) = 0; (ii) si (A n ) n∈N tnioeds’eedemnsesblsjdiafenutseblrambno´eedllmiF, alors  h i ∞ ∞∞ ∞ [ XX X   QA n =EY1 A n =EY1 A n =Q(A n ) n=0n=0n=0n=0 envertuduthe´ore`medelaconvergencemonotone; (iii)Q(Ω) =E[Y1 Ω ] =E[Yse`e.hyarthpop1=] SoitA∈ Fbilit´etdeproba´vnemenenue´P(A) = 0.Alors 1 A (ω) = 0 pourPpresque toutω∈Ω. OrY`u,d’oable´egrittnseY <∞P,ntresqpuremuesˆaPcrne.tqeeuno´sY(ω)1 A (ω) = 0 pour Ppresque toutω∈Ω,d’o`uQ(A) =E[Y1 A Ceci montre que si] = 0.A∈ Ferv´eifiP(A) = 0 alorsQ(A,taltnideremA.tuit´eabilp0r=o)bQnitnoctnemulosba`artpoaprrpaueestP. ∞ 2. OnnoteL(Ω,F,Potaeserielba´laseer´eslledesvari)l’espacPrussemperreqˆuueess´ernbont ∞ (Ω,F,P). SoitX∈L(Ω,F,P),X≥ixtsI.elustiueen0noitte´se´gaseroecanisdetencfo X n :ω→R + telle queX n (ω)→X(ω) pourPpresque toutω∈deontiniefid´arp,rO.ΩQ, K n K n X X   vecX=x1 (1) E Q [X n ] =x k,n QA k,n =E[Y X n ] a An k,n k,n k=0k=0 (iciK n ∈N,x k,n ≥0 etA k,n ∈ Fpour toutk= 0, . . . , K n nstructi).Parco´tgearelnoed’lni pour la mesureQaconedelr`emh´eootenomonneecevgrntiebtno,oteee)1(tudtrevnedut E Q [X] =limE Q [X n ] =limE[Y X n ] =E[Y X]. n→∞n→∞ ∞ ∞ SiX∈L(Ω,F,Paptssopsvitino,ecr´eit)n’eX=X + −X − avecX ± ∈L(Ω,F,P),X ± ≥0. AlorsE Q [X] =E Q [X + ]−E Q [X − ] =E[XY]. ∞ |X(ω) 3. SoitX∈L(Ω,F,Ppose). Ona=kXk L(Ω,F,P) =P−essup ω∈Ω |taioerbaellae´.Lavari ∞ Z=E[XY|G]/E[Y|G] estPmeruˆseuqserp,tneffeee.Eorn´entb E[|X|Y|G]E[aY|G]   Z≤ ≤=aPrepuesqsuˆeremtn. E[Y|G]E[Y|G] PuisqueQ`arteunitnocopparrapestabsolumentP, il s’ensuit queZestQemensˆurtqseuper born´ee.Enparticulier,Zresumelaureloprgbatne´seitQplus,. DeZestGmesurable car ∞ E[XY|G] etE[Y|G] le sont.Enfin, pour toutA∈ G,Z1 A ∈L(Ω,F,P) estGmesurable et donc,d’apre`slaquestion2etlesproprie´t´esge´n´eralesdesesp´erancesconditionnelles,      E Q Z1 A =EZ1 A Y=E EZ1 A Y|G=EZ1 A E[Y|G]      =E E[XY|G] 1 A =E E[XY1 A |G] =EXY1 A =E Q X1 A .

Parunicite´(modulounensembledemesurenulle)del’esp´eranceconditionnelle,ilvient

E[XY|G] E Q [X|G] =Z= E[Y|G]

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