Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier
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Niveau: Supérieur, Master
Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2009-2010 Feuille d'exercices 3 : processus a temps discret Exercice 1. Loi geometrique et fonction generatrice. Une variable aleatoire T a valeurs dans N suit la loi geometrique de parametre s ? [0, 1[ si P[T ≥ n] = sn pour tout n ? N, ou encore si P[T = n] = (1? s)sn pour tout n ? N. 1. Montrer que pour toute variable aleatoire X a valeurs dans N, la fonction generatrice gX de X verifie gX(s) = P[T ≥ X], ou T est une variable aleatoire independante de X suivant la loi geometrique de parametre s. 2. En deduire que si X et Y sont deux variables aleatoires independantes a valeurs dans N et T est une variable aleatoire independante de (X,Y ) suivant la loi geometrique de parametre s, alors P[T ≥ X + Y | T ≥ X] = P[T ≥ Y ] . Exercice 2. Marche aleatoire simple sur Z. Soit (Sn)n?N une marche aleatoire simple sur Z partant de l'origine z = 0. On note p = P[Sn+1 ? Sn = 1] la probabilite que le marcheur saute vers la droite et q = 1? p = P[Sn+1 ? Sn = ?1] la probabilite qu'il saute vers la gauche au temps n.

  • marche aleatoire

  • variable aleatoire

  • independantes

  • s?

  • esperance

  • meme loi

  • marche aleatoire sur rd de loi µ

  • majoration de l'esperance du temps d'extinction

  • meme question pour le temps de retour en z


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Exrait

FEUILLE 3 :CALCUL MATRICIEL
1.On donne les 4 matrices      1 12 3 1 01 0   2 45 6    A2 3 4= 1B=C=D= 22 33.    3 78 9 1 21 2 4 01 0 Quelssontlesproduits2`a2decesmatricesquiontunsens?Eectuercesproduits.
2.Quelles sont les matrices (2,2)Atelles queAM=M Adans les cas suivants :      1 00 11 10 1 M1=, M2=, M3=, M4=. 0 00 00 11 0 Dans chacun des cas, peut-on toujours trouverλetµtels queA=λM+µI? Est-ce toujours vrai pour toute matriceM?
3.mauxictrtduideeselredorpEutcesenomettssuivantseedmstoseofmre´sengisseltna dop´erations(RaymondQueneau1964)    le a lechat ratlion    unaunmang´ede´vor´ed´egust´e. le avaitun poissonfromage touriste
4.SoientAetBdeux matrices deM(n, K) qui commutent (i.e.AB=BAla). Montrer n  X n n nk k formuledubinoˆmedeNewton:(A+B) =A B. k k=0
5.re`eidnscoOnciseusviel3samrtantes:     0 10 00 01 00 0 0 1 01 00 00 01 0 01 0     J=K=L=,     0 0011 0 00 01 0 0 0 01 001 0 01 00 0 1)V´erierlesrelations: 2 22 J=K=L=KLI ,=LK=J 2)End´eduirelesrelationsLJ=J L=KetJ K=KJ=L. 3)Onconside`relesous-espacevectorielHdeM(4,R)nearr´epgendI,J,KetLune. Trouver base deHet donner sa dimension. 4) Montrer queHest stable par multiplication, puis montrer que toute matrice non nulle deH admet un inverse dansH.
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