Master SC M1 MT05 Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4Master 1. SC M1 MT05. Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base 2008-9 Correction du probleme 1 Exercice 1. Soit E un espace vectoriel sur R et H un sous-espace vectoriel de E. (1) (facile) utilise le fait que H est un s.e.v. (2) Si pi(x) = pi(y) alors x + H = y + H donc x ? y + H i.e. il existe h ? H tq x = y + h d'ou x ? y ? H. Reciproque: si x ? y = h1 ? H alors x + H = y+h1 +H = y+H car l'application h ? h+h1 de H dans H est une bijection (*). (3) D'apres ce qu'il precede, on peut choisir un autre representant x? de p = pi(x) ssi x? ? x ? H. Il faut donc commencer par verifier que la somme est bien definie independamment du representant. Notons p = pi(x) et q = pi(y). Soient x?, y? tq p = pi(x?) et q = pi(y?) alors x = x? + h1 et y = y? + h2 avec hi ? H. On a (x +H)? (y +H) = (x + y) +H = x? + y? + h1 + h2 +H = x? + y? +H = (x? +H)? (meme propriete espace de banach x? hn x? hm xn ? universite d'orleans analyse fonctionnelle de base construction meme de l'application
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Master 1.SC M1 MT05. Analyse fonctionnelle de base
Correctionduproble`me1
Universit´ed’Orl´eans 2008-9
Exercice 1.SoitEun espace vectoriel surRetHun sous-espace vectoriel deE. (1) (facile)utilise le fait queHest un s.e.v. (2) Siπ(x) =π(y) alorsx+H=y+Hdoncx∈y+Hi.e. ilexisteh∈Htq x=y+hud’o`x−y∈Heuqois:´e.Rprcix−y=h1∈Halorsx+H= y+h1+H=y+Hcar l’applicationh→h+h1deHdansHest une bijection (*). 0 (3)D’apre`scequ’ilpr´ece`de,onpeutchoisirunautrerepre´sentantxdep=π(x) 0 ssix−x∈Htbesmeomaselquerfiire´vraprecnemmutdoncco.Ilfaein de´finieind´ependammentdurepre´sentant.Notonsp=π(x) etq=π(y). Soient 0 00 00 0 x , ytqp=π(x) etq=π(y) alorsx=x+h1ety=y+h2avechi∈H. On a 0 0 (x+H)⊕(y+H) = (x+y) +H=x+y+h1+h2+H=
0 00 0 x+y+H= (x+H)⊕(y+H) car l’applicationh→h+h1+h2deHdansHest une bijection.La somme estdoncbiende´finie.Lave´rificationde(E/H,⊕) est un groupe commu-tatifest´ele´mentaireetre´sultedelamˆemeproprie´t´ede(E,produit+). Le exte´rieurλ(x+H) =λx+Hen´dpenepdsaudhcestbiend´efinicarudxio 0 0 repre´sentant.Eneffet,sixetxorssealclaseˆemlsmadtnasnox=x+h1et 0 λx+H=λ(x+h1) +H=λx+λh1+H=λx+Hpar l’argument (*) ci-dessus. Lesautrespropri´et´esd’e.vproviennentaussidufaitque(E,+, .) est un espace vectorieletsontfacilesa`v´erifier.Ainsi(E/H,⊕,) est un espace vectoriel. On noterael´’el´ementneutredeE/Hpour la loi⊕a. Onπ(0) = 0+H=H=e. (4) L’applicationπ:E−→E/Hesn´teiaeitlincejrusersaL.evitivctjeurovpr´eit delaconstructionmeˆmedel’application.Eneffet,une´l´ementdeE/Hest un sous-ensemble (affine) deEde la formep=x+Hpour unx∈Eainsi un ante´ce´dant(naturel)depestxet on a bienπ(x) =x+Hpar cette construction. Nota´eisilutusinemunaretonnOano’leuq:ucelps-enesoulesembpuo´mlenrmo x+H⊂E. Laraison est quep=x+Hest vu comme unntme´eel´dansE/H dans toute la suite.Pour rendre concret l’ensembleE/H, prennons un exemple: 2 siE=RetH=R× {0}alors (x1, y1)−(x2, y2)∈Hssiy1=y2et la classe (x1, y1) +Hsteteoidrlaohiroztnlade´’qeuationy=y1. L’ensembledes classes E/Hest donc l’ensemble des droites horizontalespour cet exemple. Lalin´earite´:soitx, y∈Eetλ, µ∈Ra. Onπ(λx+µy) =λx+µy+H= (λx+H) + (µy+H) =λ(x+H) +µ(y+H) =λπ(x) +µπ(y) carH+H=H etαH=Hen temps qu’ensembles. 1
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A partir de maintenant, on suppose de plus que(E,||.||)et queest un e.v.n. H.efvnu.setseedm´erE.
(5)On poseN(p) =N(π(x)) = infh∈H||x−h||pourp=π(x)∈E/H.
(a)N(pmmaddtne´dninepe´endiefines)ietb´rserupetnneatx∈Edep∈E/H. 0 0 En effet, soitxtaenesr´ntnuperertuap=π(x) alorsx=x+h1, h1∈H 0 alors infh∈H||x−h||= infh∈H||x−(h−h1)||= infh∈H||x−h||par l’argument (*).
Soitx= 0 alorsN(e) =N(π(0)) = infh∈H||0−h||=||0−0||= 0. R´eciproque:siN(p) = 0 alors infh∈H||x−h||Il existe une suite= 0. hn∈Htel que limn||x−hn||Ainsi= 0.x∈HcarHetsonce´D.efmr p=π(x) =H=eu`o.D’N(p) = 0⇔p=e.
Soitp=π(x), q=π(y)∈E/H. AlorsN(p+q) =N(π(x+y)) = infh∈H||x+y−h|| ≤infh1,h2∈H||x+y−(h1+h2)||carh1+h2∈Huo`’D. N(p+q)≤infh1∈H||x−h1||+ infh2∈H||y−h2||=N(p) +N(qnirap)e´tilage´ triangulaire surE´ependanetl’indxiecedcsohh1, h2.
∗ Soientp=π(x)∈E/Hetλ∈R.N(λp) =N(λπ(x)) =N(π(λx)) = infh∈H||λx−h||= infλh∈H||λx−λh||=|λ|infh∈H||x−h||=|λ|N(p) car λH=HOn a doncen temps qu’ensembles.N(λp) =|λ|N(p) pourλ∈R (le casλ= 0 est clair) et ainsiNest une norme surE/H.
(b)πest continue et||π|| ≤a1. OnN(π(x)) = infh∈H||x−h|| ≤ ||x||avec h:e´ustltaD’o`uler=0.πest continue et||π||= sup{N(π(x)),||x|| ≤ 1} ≤1.
(c) Montronsque siH6=Ealors||π||Soit= 1.x∈E\HalorsN(π(x))>0 sinonN(π(x)) = 0 doncπ(x) =e=H(carNest une norme) ainsix∈H. π(x)x Contradiction. Onposep= alorsN(p) = 1.On posey= N(π(x))N(π(x)) ainsip=π(ya 1 =). OnN(p) = infh∈H||y−h||. Doncil existe une suitehn∈Htelle que 1 = limn||y−hn||. Onposeyn=y−hn, alors limn||yn||On a, pour tout= 1.n, N(π(yn)) ≤ ||π||. ||yn|| OrN(π(yn)) =N(π(y−hn)) =N(π(y)) =N(p.1=)`o’D,u 1 ≤ ||π||. ||yn|| Enpassant`alalimitesurn, 1≤ ||π||puis||π||= 1. On noteB(a, R)la boule de centrea∈Eet de rayonR >0dansEpour la norme||.||etΛ(π(a), R)la boule de centreπ(a)∈E/Het de rayonR >0
dansE/Hpour la normeN.
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(d) Montrons queπ(B(a, R))⊂Λ(π(a), R). Soitx∈B(a, R), montrons que π(x)∈Λ(π(a), R). Eneffet, on a N(π(x)−π(a)) =N(π(x−a))≤ ||x−a||< R. Re´ciproquement,soitp=π(y)∈Λ(π(a), R) i.e. N(π(y)−π(a)) =N(π(y−a))< R i.e. infh∈H||y−a−h||< R. Doncil existeh0∈Htel que||y−a−h0||< R. On posex=y−h0, on ap=π(y) =π(x) et||x−a||< R. Ainsipest l’image parπdex∈B(a, RΛ() i.e.π(a), R)⊂π(B(a, R)).
(e)De´duisons-enquel’imaged’unouvertdeEparπest un ouvert deE/H(On dit que l’application est ouverteΩ un ouvert de (). SoitE,||.||. Montrons queπapec’lseiruq´mtestun(Ω)ertdeouvee(E/H, N). Soitp∈π(Ω) alorsilexisteparsurjectivit´ex∈Ω tel queπ(x) =pet puisque Ω est ouvert unR >0 tel queB(x, R)⊂la question 5)d), puisqueΩ. Par π(B(x, R)⊂π(Ω) alors Λ(p, R) = Λ(π(x), R)⊂π(Ω). Doncπ(Ω) est ouvert.
(6) On suppose que (E,||.||) est un espace de Banach (Hesurjooutt´soppusse ferme´). Montronsque (E/H, NnaBa.Ochtinuselircele`tiertsnue)ecedseap suivant: (E/H, N)teouers´noiealrmnemenoct-estunesapecedaBanhcssti vergente est convergente. P P Soitpnemalrmnoveontcenadetnegr(snuen´sreeiE/H, N) i.e.N(pn)< P n ∞que. Montronspnconverge dans (E/H, N). n Il existe une suitexn∈Etelle queπ(xn) =pnexiste une suite. Ilhn∈Htelle que −n N(pn)≤ ||xn−hn|| ≤N(pn) + 2. −n On poseyn=xn−hnalorsN(pn)≤ ||yn|| ≤N(pn)+2 etpn=π(xn) =π(yn). On a X X −n ||yn|| ≤N(pn) + 2<∞ n n P qui converge.Ainsiynetse´irnusedtnemela-aBelsnanvcouieqrmnogeer n P nach (E,||.||On note) donc elle converge.y=yn. Puisqueπest continue n P PP k kk lin´eaireπ(y) =π(limkyn) = limkπ(yn) = limkpn. Ainsi n=1n=1n=1 P pnconverge dans (E/H, N). n
(7)R´eciproquement,supposonsqueHest un espace de Banach pour la norme induite||.||deEsurHet que (E/H, N) est un espace de Banach, montrons qu’alors (E,||.||Soit () est un espace de Banach.xn) une suite de Cauchy dansE alors (π(xn))nest une suite de Cauchy dans (E/H, N) carN(π(xn)−π(xm))≤ ||xn−xm||(. PuisqueE/H, N) est un espace de Banach,π(xn) converge vers
