Master SC M1 MT05 Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1. SC M1 MT05. Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base 2008-9 Feuille 3: Theoreme de Hahn-Banach. 1 - Soit E un espace vectoriel reel, p une fonction sous-lineaire (sous-additive et positivement homogene) sur E. Montrer que pour tout x0 de E il existe une forme lineaire f sur E telle que f(x0) = p(x0) et f ≤ p. Que peut-on dire s'il existe une seule forme lineaire majoree par p ? 2 - Soient E un espace vectoriel sur R, p une fonction sous-lineaire sur E, H un hyperplan de E, f une forme lineaire sur H telle que f ≤ p. On suppose que x /? H et inf y?H (p(x+ y)? f(y)) = sup y?H (f(y)? p(y ? x)). Montrer qu'il existe une unique forme lineaire g sur E prolongeant f et telle que g ≤ p. Que vaut alors g(x)? 3 - Soient E un espace vectoriel norme, x et y des elements distincts de E. Montrer qu'il existe une forme lineaire continue f sur E telle que f(x) 6= f(y). 4 - Soient E un espace vectoriel norme, x ? E.

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• isomorphisme d'espaces normes

Sujets

• Théorème de Hahn-Banach

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Extrait

Master 1.SC M1 MT05. Analyse fonctionnelle de base

Feuille3:The´ore`medeHahn-Banach.

Universit´ed’Orl´eans 2008-9

1 -SoitE´ruee,lvecapsenleirotcepenofcnituin´eaireonsous-litidteevuos(da-s positivementhomog`ene)surE. Montrerque pour toutx 0 deEil existe une forme line´airefsurEtelle quef(x 0 ) =p(x 0 ) etf≤ppeut-on dire s’il existe une seule. Que formeline´airemajor´eeparp?

2 -SoientEun espace vectoriel surR,pnufeoisnnotcriaeruse-suo´nilE,Hun hyperplan deE,fairesurmrlenie´uenofHtelle quef≤p. Onsuppose quex∈/ Het inf (p(x+y)−f(y)) = sup(f(y)−p(y−x)). y∈H y∈H Montrerqu’ilexisteuneuniqueformeline´airegsurEprolongeantfet telle queg≤p. Que vaut alorsg(x)?

3 -SoientEesuncepactveieorronl,e´mxetyitcndssiemtnlee´t´ssdeedE. Montrer qu’ilexisteuneformeline´airecontinuefsurEtelle quef(x)6=f(y).

4 -SoientEevecrotcnuapsee,lniem´orx∈E. Montrerquekxk ≤1 si et seulement si pourtouteformelin´eairecontinuefsurEtelle quekfk ≤1, on a,|f(x)| ≤1.

5 -SoientEroeinlro´m,eunespacevectVun sous-espace vectoriel deE,fune forme line´airecontinuesurVrqu’ntre.Moaetnfpeorolgnonecnutin´liireafenuemroxelietsi `aEonnogremmeeqnute,fd.eCmeˆpermoelnee´arelse-tli´g?(uensContmeiqune´direr 2 uneformelin´eairesurunedroitedeRmuni de la norme,k(x 1 , x 2 )k= max(|x 1 |,|x 2 |) puisk(x 1 , x 2 )k=|x 1 |+|x 2 |). Montrer que siEest un espace de Hilbert ce prolongement est unique et s’annule ⊥ surV.

6 -SoientEecapsenuieorctvee,m´orlnVun sous-espace vectoriel deE,x∈Etel que d(x, V)>0 (on rappelle qued(x, V) = inf{kx−yk/ y∈V}). Montrerqu’ilexisteuneformelin´eairef, continue surE, s’annulant surVet telle que 1 f(x) = 1,kfk=. d(x, V) End´eduirequeVest dense dansEsintmeleefulselauesteisetinuil´nroemcenoaeri surEs’annulant surVest nulle.

8 -SoitXsi´end.Oueiqtr´erapengcameenpsuC b (X) l’espace des fonctions continues etborne´esdeXdansR. SoientVun sous-espace vectoriel deC b (X) tel que1∈Vet ϕe´nilemrruserianefouVtelle que pour toutf∈V, f≥0⇒ϕ(f)≥0. (Ondit alors queϕest une fonctionnelle positive). a) Montrer queϕest continue surVmuni de la norme de convergence uniforme. 1

2 + b) Pourf∈ C b (X) on pose,p(f) = sup(f(x)) .Montrer quepest une fonction x∈X sous-lin´eairesurC b (X). c)Ende´duirequ’ilexisteuneformelin´eaireφsurC b (X) prolongeantϕfiari,ntee´vt ∀f∈ C b (X), f≥0⇒φ(f)≥0. d) On supposeXcct.AompaesRidemerentmoz,udedia’le`roe´htteiseunu’rqexil R mesure de Radon positiveµsurXtelle que pour toutefdeVon ait,ϕ(f) =f dµ. X (itz:SoseiRedeme`roe´hT(X, d)stpeatcepmcaeuocrtqimee´Λfenuemro´nilireae positive surC(X)alors il existe une unique mesure de Radonµevitisopr´epirquteenes R Λi.e.Λ(f) =f dµ,∀f∈C(X). X

10 -SoitE,ero´mielnctorceuvneespax= (x n nuys)edstneme´el’´edbrlime`estE, (α n ) une suite de nombres complexes,Murne´el>que pour qu’il existe une0. Montrer formelin´eairefcontinue surE, de norme≤Mv,tnafiire´f(x n ) =α n pour tout entier n, il faut et il suffit que pour tout entiernet toute suite finie (λ 1 , . . . , λ n ) de nombres complexes on ait, n n X X |λ k α k | ≤Mkλ k x k k. k=1k=1 11 -SoientEetFsncem´oresdpaes,seTirecontionlin´eaundeeilppitacaenuEdans 0 00 Fque l’application. MontrerT:F→Ereiapfin´edf7→f◦Tselt,airein´einuecont 0 demˆemenormequeTappelle. (OnT´pretauecrnoujug´ede’olT). n 12 -Pour 0< α <1, soitu α la suite,u α = (α) n≥0 que le sous-espace. MontrerV dec 0 (re´apngedrenu α ) 0<α<1 est dense dansc 0 rappelle que le dual de. (Onc 0 est 1 isom´etriquementisomorphe`a`). 13 -SoientX´eemiqtrneuacsp,toceucapmFurefnem´edXsignnd´e.OperaC(X) l’espace des fonctions continues surXu´erlsarlvlae`eS.setioVun sous-espace deC(X) tel que1∈Vet tel que toutef∈Vr`avasopsruelussevitiFest positive surX. 1) a) Montrer que pour toutef∈Von a, sup|f(x)|= sup|f(x)|. x∈X x∈F b) Soitx 0 ∈Xenofmrleelixtsuetrerqu’i.Monreai´einϕpositive sur V={f:f∈V} F |F telle que pour toutef∈Von aitf(x 0 ) =ϕ(f.)nEiuer´ddeistel’ex’unencedemrof |F line´aireψpositive surC(F) telle que pour toutef∈V, f(x) =ψ(f). |F c)Al’aideduthe´or`emedeRiesz,ende´duirequ’ilexisteunemesuredeRadon R positiveµ x 0 surFtelle que pour toutef∈Von ait,f(x 0 ) =f dµ x 0 . F 2) On suppose queXpmocnalp,exellestsqdiemrefude´nueue´tiVle sous-espace deC(Xonshnctiniquarmotstic)noseof´udediduuesqitun.(´ea`seni’lre´trueinOdaemt

3 avoir montrer queV´vrefiileeshypoth`esesdudS.)tube´tioz∈Xtel que|z|<1 etµ z R une mesure de Radon positive surFtelle quef(z) =f dµpour toutef∈V. R n a) Calculerζ dµ(ζ) pourn∈Zeedt´cirileu’inE.dne´udµ. b) Soitr=|z|etθun argument dez0. Pour≤t <2π, on pose: X |n|int P r (t) =r e. n∈Z 2 1−r (i) Montrer queP r (t) =∙. 2 1−2rcost+r (ii) Montrer queµ z dte´nfieiaeps,r Z Z 2π 1 it f dµ=P r (θ−t)f(e)dt. 2π 0 (osnPoisledeegraint´eperesr´taenontippae´le). 14 -SoitEuenruse´mrnoelritoecevacspC.

1) SoitFun sous-espace vectoriel de dimension finie deE.

a) Montrer queFreft.e´mse

b) Montrer que siVeussounstevacsp-eirleceote´edefmrE,V+Fest´e.ferm

2) SoitVun sous-espace vectoriel deEdit qu’un sous-espace vectoriel. OnWdeE estunsuppl´ementairetopologiquedeVsi l’application , (x, y)7→x+ydeV×W→E estunisomorphismed’espacesnorm´es.(i.e:hom´eomorphismeline´aire).

a) Montrer queWdeuelopoqigoatneterisuppl´emestunVsi et seulement si la projection surVlemell`eparaa`tnWest continue.

b) Montrer que siVce´rorpieuqleeifest´ermLa.(tniaerotopoliguqadmetunsuppl´eme est fausse).

3) SoitVun sous-espace vectoriel deE.

a) Montrer que siVsenemidedtqieu.tepologoali,temdnoiseinfienemirtasuunl´pp (Montrer qu’il existe un projecteur continu deEsurVemedroe`hte´edudail’`a-Hahn Banach).

b) On supposeV.Montrerqu’iladmtenuuspp´lmeneateirerfedm´doceneminoiseinfi topologique.

15 -SoitErielecto´esunormurvecapsenR.