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Master SC M1 MT05 Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1. SC M1 MT05. Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base 2008-9 Feuille 3: Theoreme de Hahn-Banach. 1 - Soit E un espace vectoriel reel, p une fonction sous-lineaire (sous-additive et positivement homogene) sur E. Montrer que pour tout x0 de E il existe une forme lineaire f sur E telle que f(x0) = p(x0) et f ≤ p. Que peut-on dire s'il existe une seule forme lineaire majoree par p ? 2 - Soient E un espace vectoriel sur R, p une fonction sous-lineaire sur E, H un hyperplan de E, f une forme lineaire sur H telle que f ≤ p. On suppose que x /? H et inf y?H (p(x+ y)? f(y)) = sup y?H (f(y)? p(y ? x)). Montrer qu'il existe une unique forme lineaire g sur E prolongeant f et telle que g ≤ p. Que vaut alors g(x)? 3 - Soient E un espace vectoriel norme, x et y des elements distincts de E. Montrer qu'il existe une forme lineaire continue f sur E telle que f(x) 6= f(y). 4 - Soient E un espace vectoriel norme, x ? E.

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Master 1.SC M1 MT05. Analyse fonctionnelle de base
Feuille3:The´ore`medeHahn-Banach.
Universit´edOrl´eans 2008-9
1 -SoitE´ruee,lvecapsenleirotcepenofcnituin´eaireonsous-litidteevuos(da-s positivementhomog`ene)surE. Montrerque pour toutx0deEil existe une forme line´airefsurEtelle quef(x0) =p(x0) etfppeut-on dire s’il existe une seule. Que formeline´airemajor´eeparp?
2 -SoientEun espace vectoriel surR,pnufeoisnnotcriaeruse-suo´nilE,Hun hyperplan deE,fairesurmrlenie´uenofHtelle quefp. Onsuppose quex/ Het inf (p(x+y)f(y)) = sup(f(y)p(yx)). yH yH Montrerquilexisteuneuniqueformeline´airegsurEprolongeantfet telle quegp. Que vaut alorsg(x)?
3 -SoientEesuncepactveieorronl,e´mxetyitcndssiemtnlee´t´ssdeedE. Montrer quilexisteuneformeline´airecontinuefsurEtelle quef(x)6=f(y).
4 -SoientEevecrotcnuapsee,lniem´orxE. Montrerquekxk ≤1 si et seulement si pourtouteformelin´eairecontinuefsurEtelle quekfk ≤1, on a,|f(x)| ≤1.
5 -SoientEroeinlro´m,eunespacevectVun sous-espace vectoriel deE,fune forme line´airecontinuesurVrquntre.Moaetnfpeorolgnonecnutin´liireafenuemroxelietsi `aEonnogremmeeqnute,fd.eCmeˆpermoelnee´arelse-tli´g?(uensContmeiqune´direr 2 uneformelin´eairesurunedroitedeRmuni de la norme,k(x1, x2)k= max(|x1|,|x2|) puisk(x1, x2)k=|x1|+|x2|). Montrer que siEest un espace de Hilbert ce prolongement est unique et s’annule surV.
6 -SoientEecapsenuieorctvee,m´orlnVun sous-espace vectoriel deE,xEtel que d(x, V)>0 (on rappelle qued(x, V) = inf{kxyk/ yV}). Montrerquilexisteuneformelin´eairef, continue surE, s’annulant surVet telle que 1 f(x) = 1,kfk=. d(x, V) End´eduirequeVest dense dansEsintmeleefulselauesteisetinuil´nroemcenoaeri surEs’annulant surVest nulle.
8 -SoitXsi´end.Oueiqtr´erapengcameenpsuCb(X) l’espace des fonctions continues etborne´esdeXdansR. SoientVun sous-espace vectoriel deCb(X) tel que1Vet ϕe´nilemrruserianefouVtelle que pour toutfV, f0ϕ(f)0. (Ondit alors queϕest une fonctionnelle positive). a) Montrer queϕest continue surVmuni de la norme de convergence uniforme. 1
2 + b) Pourf∈ Cb(X) on pose,p(f) = sup(f(x)) .Montrer quepest une fonction xX sous-lin´eairesurCb(X). c)Ende´duirequilexisteuneformelin´eaireφsurCb(X) prolongeantϕari,ntee´vt f∈ Cb(X), f0φ(f)0. d) On supposeXcct.AompaesRidemerentmoz,udediale`roe´htteiseunurqexil R mesure de Radon positiveµsurXtelle que pour toutefdeVon ait,ϕ(f) =f dµ. X (itz:SoseiRedeme`roe´hT(X, d)stpeatcepmcaeuocrtqimee´Λfenuemro´nilireae positive surC(X)alors il existe une unique mesure de Radonµevitisopr´epirquteenes R Λi.e.Λ(f) =f dµ,fC(X). X
10 -SoitE,ero´mielnctorceuvneespax= (xnnuys)edstneme´el´edbrlime`estE, (αn) une suite de nombres complexes,Murne´el>que pour qu’il existe une0. Montrer formelin´eairefcontinue surE, de normeMv,tnaire´f(xn) =αnpour tout entier n, il faut et il suffit que pour tout entiernet toute suite finie (λ1, . . . , λn) de nombres complexes on ait, n n X X |λkαk| ≤Mkλkxkk. k=1k=1 11 -SoientEetFsncem´oresdpaes,seTirecontionlin´eaundeeilppitacaenuEdans 0 00 Fque l’application. MontrerT:FEreiapn´edf7→fTselt,airein´einuecont 0 demˆemenormequeTappelle. (OnT´pretauecrnoujug´edeolT). n 12 -Pour 0< α <1, soituαla suite,uα= (α)n0que le sous-espace. MontrerV dec0(re´apngedrenuα)0<α<1est dense dansc0rappelle que le dual de. (Onc0est 1 isom´etriquementisomorphe`a`). 13 -SoientX´eemiqtrneuacsp,toceucapmFurefnem´edXsignnd´e.OperaC(X) l’espace des fonctions continues surXu´erlsarlvlae`eS.setioVun sous-espace deC(X) tel que1Vet tel que toutefVr`avasopsruelussevitiFest positive surX. 1) a) Montrer que pour toutefVon a, sup|f(x)|= sup|f(x)|. xX xF b) Soitx0Xenofmrleelixtsuetrerqui.Monreai´einϕpositive sur V={f:fV} F|F telle que pour toutefVon aitf(x0) =ϕ(f.)nEiuer´ddeistelexunencedemrof |F line´aireψpositive surC(F) telle que pour toutefV, f(x) =ψ(f). |F c)Alaideduthe´or`emedeRiesz,ende´duirequilexisteunemesuredeRadon R positiveµx0surFtelle que pour toutefVon ait,f(x0) =f dµx0. F 2) On suppose queXpmocnalp,exellestsqdiemrefude´nueue´tiVle sous-espace deC(Xonshnctiniquarmotstic)noseof´udediduuesqitun.(´ea`senilre´trueinOdaemt
3 avoir montrer queV´vreileeshypoth`esesdudS.)tube´tiozXtel que|z|<1 etµz R une mesure de Radon positive surFtelle quef(z) =f dµpour toutefV. R n a) Calculerζ dµ(ζ) pournZeedt´cirileuinE.dne´udµ. b) Soitr=|z|etθun argument dez0. Pourt <2π, on pose: X |n|int Pr(t) =r e. nZ 2 1r (i) Montrer quePr(t) =. 2 12rcost+r (ii) Montrer queµzdte´neiaeps,r Z Z 2π 1 it f dµ=Pr(θt)f(e)dt. 2π0 (osnPoisledeegraint´eperesr´taenontippae´le). 14 -SoitEuenruse´mrnoelritoecevacspC.
1) SoitFun sous-espace vectoriel de dimension finie deE.
a) Montrer queFreft.e´mse
b) Montrer que siVeussounstevacsp-eirleceote´edefmrE,V+Fest´e.ferm
2) SoitVun sous-espace vectoriel deEdit qu’un sous-espace vectoriel. OnWdeE estunsuppl´ementairetopologiquedeVsi l’application , (x, y)7→x+ydeV×WE estunisomorphismedespacesnorm´es.(i.e:hom´eomorphismeline´aire).
a) Montrer queWdeuelopoqigoatneterisuppl´emestunVsi et seulement si la projection surVlemell`eparaa`tnWest continue.
b) Montrer que siVce´rorpieuqleeifest´ermLa.(tniaerotopoliguqadmetunsuppl´eme est fausse).
3) SoitVun sous-espace vectoriel deE.
a) Montrer que siVsenemidedtqieu.tepologoali,temdnoiseinenemirtasuunl´pp (Montrer qu’il existe un projecteur continu deEsurVemedroe`hte´edudail`a-Hahn Banach).
b) On supposeV.Montrerquiladmtenuuspp´lmeneateirerfedm´doceneminoiseintopologique.
15 -SoitErielecto´esunormurvecapsenR.