MAT231 Algèbre linéaire

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
MAT231 – Algèbre linéaire MAT231 – Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2009-2010 Pierre Bérard 1/93 MAT231 – Algèbre linéaire Notions fondamentales Applications linéaires, compléments Matrices associées à une application linéaire Changements de base Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Formes multi-linéaires Déterminant Déterminant d'un endomorphisme Calcul des déterminants Réduction des endomorphismes, II 2/93 MAT231 – Algèbre linéaire Références Pour la première partie du cours (Notions fondamentales), on pourra consulter les notes de Bernard Ycart (Université Joseph Fourier, Grenoble I. Mathématiques, Informatique et Mathématiques appliquées. Licence Sciences et Technologies), disponibles sur http ://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ 3/93 MAT231 – Algèbre linéaire Pour la deuxième partie du cours (à partir de la section Applications linéaires, compléments), on pourra consulter les ouvrages [LFA] ou [M]. [LFA] Lelong-Ferrand, Jacqueline et Arnaudiès, Jean-Marie. Cours de mathématiques, Tome 1. Algèbre. Dunod universités 1977. [M] Monasse, Denis. Mathématiques. Vuibert 1998. Dans tout le cours, K désigne R ou C (ou, plus généralement, un corps commutatif de caractéristique 0). 4/93

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MAT231 – Algèbre linéaire
MAT231 – Algèbre linéaire
Références
MAT231 – Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2009-2010 Pierre Bérard
Pour la première partie du cours (Notions fondamentales), on pourra consulter les notes de Bernard Ycart (Université Joseph Fourier, Grenoble I. Mathématiques, Informatique et Mathématiques appliquées. Licence Sciences et Technologies), disponibles sur http ://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/
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MAT231 – Algèbre linéaire
Notions fondamentales Applications linéaires, compléments Matrices associées à une application linéaire Changements de base Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Formes multi-linéaires Déterminant Déterminant d’un endomorphisme Calcul des déterminants Réduction des endomorphismes, II
MAT231 – Algèbre linéaire
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Pour la deuxième partie du cours (à partir de la section Applications linéaires, compléments), on pourra consulter les ouvrages [LFA] ou [M]. [LFA] Lelong-Ferrand, Jacqueline et Arnaudiès, Jean-Marie. Cours de mathématiques, Tome 1. Algèbre. Dunod universités 1977. [M] Monasse, Denis. Mathématiques. Vuibert 1998. Dans tout le cours,KdésigneRouC(ou, plus généralement, un corps commutatif de caractéristique 0).
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MAT231 – Algèbre linéaire Notions fondamentales
Notions fondamentales
Cette section constitue un résumé de la première partie du cours, voir les notes de Bernard Ycart, principalement IEspaces vectoriels, IDimension finie, et accessoirement, ICalcul matriciel, ISystèmes linéaires.
MAT231 – Algèbre linéaire Notions fondamentales
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Exemples IL’ensembleRn ddition des, muni des opérations usuelles, l’ a vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel surR. IL’ensembleCn, muni des opérations usuelles, l’addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel surCet également un espace vectoriel sur R. IL’ensembleMmn(R)des matrices àmlignes etncolonnes, muni des opérations usuelles, addition des matrices et multiplication d’une matrice par un scalaire, est un espace vectoriel surR. ID’autres exemples sont donnés en cours . . .
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MAT231 – Algèbre linéaire Notions fondamentales
Espace vectoriel
Définition SoitKun corps commutatif. Unespace vectorielsur le corpsKest la donnée d’un groupe commutatif(E+), dont l’élément neutre est noté 0E, et d’une action deKsurE,:K×EE, (λx)7→λx(ou plus simplementλx) telle que Ipour tousα βKetxE,(α+β)x=αx+βx, Ipour tousαKetxyE,α(x+y) =αx+αy, Ipour tousα βKetxE,(αβ)x=α(βx), Ipour toutxE, 1Kx=x.
MAT231 – Algèbre linéaire Notions fondamentales
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Combinaison linéaire Définition On appellecombinaison linéairede vecteurs deEtoute somme (finie) de la formeα1u1+∙ ∙ ∙+αkukoù lesαjsont des éléments deKet où lesujsont des éléments deE. Proposition et Définition SoitAune partie non vide d’un espace vectorielE. L’ensemble Vect(A)des combinaisons linéaires de vecteurs appartenant àA est unsous-espace vectorieldeE, appelél’espace vectoriel engendré par A. C’est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace vectoriel deEqui contientA.
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