MATHÉMATIQUES FILIERE MP
13 pages

MATHÉMATIQUES FILIERE MP

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
SESSION 2011 Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES 1. FILIERE MP Partie I - Étude préliminaire I.A - Convergence des séries de Riemann I.A.1) Soit k ? [a+ 1,+∞[?Z. Alors [k, k+ 1] ? [a,+∞[ et [k? 1, k] ? [a,+∞[. Par suite, f est continue et décroissante sur [k ? 1, k] et [k, k + 1]. Mais alors ∫k+1 k f(x) dx 6 ∫k+1 k f(k) dx = (k + 1? k)f(k) = f(k), (cette inégalité étant valable pour k ? [a,+∞[) et aussi ∫k k?1 f(x) dx > ∫k k?1 f(k) dx = (k? (k ? 1))f(k) = f(k). ?k ? [a+ 1,+∞[?N, ∫k+1 k f(x) dx 6 f(k) 6 ∫k k?1 f(x) dx. I.A.2) • Supposons ? > 1. Soit n > 2. La fonction x 7? 1x? est continue et décroissante sur [1,+∞[.

  • égalité requise

  • egalité

  • coefficients constants dans l'égalité

  • classe c∞

  • n4 ?

  • théorème de sommation de relations de comparaison


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 36
nNpournte,céde+1α1k16αkX1=1,n6dvenntnduatq,e11tneitbono,+sre.I1.α>apD3)A.itSooitsérpnlsèreuqaS6α(6)+1α11.
SESSION 2011
Partie I - Étude préliminaire I.A - Convergence des séries de Riemann I.A.1) Soit k [ a + 1 + [ Z . Alors [ k k + 1 ] [ a + [ et [ k 1 k ] [ a + [ . Par suite, f est continue et décroissante sur [ k 1 k ] et [ k k + 1 ] . Mais alors Z kk + 1 f ( x ) dx 6 Z kk + 1 f ( k ) dx = ( k + 1 k ) f ( k ) = f ( k ) , (cette inégalité étant valable pour k [ a + [ ) et aussi k Z kk 1 f ( x ) dx > Z k 1 f ( k ) dx = ( k − ( k 1 )) f ( k ) = f ( k ) . k k [ a + 1 + [ N , Z kk + 1 f ( x ) dx 6 f ( k ) 6 Z 1 f ( x ) dx . k I.A.2) Supposons α > 1 . Soit n > 2 . La fonction x 7 x1 α est continue et décroissante sur [ 1 + [ . D’après la question précédente, n kn X = 1 k1 α 6 1 + k X = n2 Z kk 1 x1 α dx = 1 + Z x1 α dx = 1 + ( α 11 ) x α 1 1n = 1 + α1 1 ( α 11 ) n α 1 1 6 1 + 1 α 1  n Ainsi, pour tout entier n > 2 , X k1 α 6 1 + α1 1 ce qui reste vrai pour n = 1 . Mais alors, la suite des sommes partielles k = 1 de la série de terme général positif k1 α , k N , est majorée et donc la série de terme général k1 α , k N converge. Supposons α 6 1 . La fonction x 1 ti t décroissante sur [ 1 + [ . Donc, pour n N , 7 est con nue e x 1 n kn X = 1 k1 α > n X k > X 1 Z kk + 1 x1dx = ln ( n + 1 ) . k = 1 k = Puisque n l i + m ln ( n + 1 ) = + , on a n l i + m n X k1 α = + et donc la série de terme général k1 α , k N diverge. k = 1 ral 1 La série de terme géné n α , n N converge si et seulement si α > 1 .
MATHÉMATIQUES 1. FILIERE MP
Concours commun Centrale
1 + 1 α > 1 , 1 6 S ( α ) 6 α 1 .
I.B - Première étude asymptotique du reste + k + 1 1 + k = n Z kk = n k1 α 6 k + X = n Z kk 1 x1 α dx ou encore Z n + x1 α dx 6 R n ( α ) 6 Z n +1 x1 α dx ou I.B.1) Pour n > 2 , on a X x α dx 6 X enfin, pour n > 2 ,
0 6 R n ( α ) − ( α 11 ) n α 1 6 Z n +1 x1 α dx Z n + x1 α dx = Z nn 1 x1 α dx 6 ( n − ( n 1 )) × ( n 11 ) α =( n 11 ) α On en déduit que n > 2 , 0 6 n α R n ( α ) − ( α 11 ) n α 1 6 nn 1 α = 1 + n1 1 α 6 2 α . Ainsi, n α R n ( α ) − ( α 11 ) n α 1 = O ( 1 ) ou encore n + R n ( α ) = 1n α 1 + O n1 α . n + ( α 1 )
I.B.2) Soit k N . La fonction f est de classe C 2 sur ] 0 + [ . La formule de Taylor-Laplace à l’ordre 2 s’écrit f ( k + 1 ) − f ( k ) = ( k + 1 k ) f ( k ) + ( k + 1 2k ) 2 f ′′ ( k )+ Z kk + 1 ( k + 12 t ) 2 f ( 3 ) ( t ) dt 1 α 1 ) + 1 ( = − + 1 + α ( α + 1 Z k k + x α 1 + 2 t ) 2 dx k α 2 k α 2 k 1 ) avec 0 6 α ( α2 + 1 ) Z kk + 1 ( k + x α 1 + 2 t ) 2 dx 6 α ( α2 + 1 ) Z kk + 1 k1 α2 + 2 dx = α2 ( kα α + + 2 . I.B.3) Soit n N . D’après la question précédente, R n ( α ) = k += X n k1 α = k + X = n f ( k + 1 ) − f ( k ) + 2αk α + 1 A k .
N Pour N > n , X ( f ( k + 1 ) N + f ( k )) = f ( N ) − f ( n ) (somme télescopique). Puisque lim f ( N ) = 0 (car α 1 > 0 ), la série k = n de terme général f ( k + 1 ) − f ( k ) , k > n , converge et X ( f ( k + 1 ) − f ( + k )) = − f ( n ) = α 11 ) n α 1 . k = n ( 1 k += X n 2αk α = + 1 α2R n ( α + 1 ) n = + α2 (( α + 1 ) − 11 ) n ( α + 1 )− 1 + O (( α + 1 ) − 1 ) n α + 1 = 2n1 α + O n α 1 + 1 . k + X = n A k = k + X = n k = n ( α + 1 ) n α + 1 + O n α 1 + 2 et en p A k 6 α ( α2 + 1 ) + X R n ( α + 2 ) avec R n ( α + 2 ) n = + 1 articulier R n ( α + 2 ) n = + O n α 1 + 1 . Par suite, k += X n A kn = + O n α 1 + 1 . En résumé, R n ( α ) n = + ( α 11 ) n α 1 + 2n1 α + O n α 1 + 1  + O n α 1 + 1 n = + ( α 11 ) n α 1 + 2n1 α + O n α 1 + 1 . R n ( α ) n = + ( α 11 ) n α 1 + 2n1 α + O n α 1 + 1 .
k)+2p1Xjj!f(jX1=kaj=k+p1k0f=af(k)jXkka1=Xp+2=kenticonvsontmmesluelnentllmenoenle=1ip(sk)f(j!osserèinredxueds=j1j1p!1iX0=iaf(i+j)!=X06i6p1olA.gsrI(Ce)CXjtp1j=1(j!gpX)=iX6060j+k=6j6pp11aij!iap6j61)j+i(f!jXk12p==1S)1.(tioilluA.IIeBsdnoerNoA-rembuollIi.IseedeBnrretnombredeTaylo)i(fia0=iX1p=geosnp.OC)I(CtfNeneptS.ioleelteréesuiNunan)neItiarPulrmFoI-ncfola)àe1édital1=pàtex7x:fnoit0×1=ntabtie.OnoS.io01=noace1dtlippelqu>2tpna.O)1edfalàagéétil:x7xp.Donctionfp,1lX1=nacscesaiaanO.tnrtnomisnstxieélladeceen(enaustiI..In)NMontA.2)lunronsticiledéiusaa(etnn)SoN.(ait)nnNnuustiselotuoin.OnappliquelégjX2=)11+(+kka1jj!=1akkXj=,ona1=lX1p+f=gcnotd,e=0j!j1)ka(dnpénead;lspnoitl)oùlesbblpf(p+ocNeivn(etin)nac,onsulasdnt.Defdénuitera0=iepatia()soSlNsa)nnj+1an=2rslo.Aj!Nnte1jXn=na,égalitérequisees(,0a)f=f0+telpoisp>urt22e6p6karvtuqeipdnaup1=récusparcequrren,Na|ep.uP|p16p=,a>1p=2Xi+1p!ii1+panortnoM.lunicitédelasuieta()nn.N0a1=teurécncrene,,aNa=nqecnomiuertn1iia+niX2=n=1+parrors,isal!.Matnemeriassecénann,aNnt1e0=aneNtsnus,(ia)nlution,oesuiteso+n=n=iX1Nna,.Ai!siinn2ai+1!iipa2erocneuoa2,p>,i=pX1=pii.!apusémnEérapdoncXi=21=piXp!a1=iipte,!p!!ai!iip=p!boitne0tp=iX1=i1slégalité(),onansdnttanscotseniceocseltnaitnnidexj.Epj!j!a=jp1=xXpp1p+a!1xp+p+0x1pasiaMa=g!k)k.)(=pXk=1g(rtequef)l0=edoslbp(f+p261.+2Xi=2|a|ap+1|6p16A.olsrp,Ka||k1i=2e!=!61iXi+2+p62=iX2+p!i|iequavraiéestalitnigé,1lae=0siuqJ0kequnssopoupS.0>ptioS.0=pdn
sseC2psur[kk+1]L.faroumeledaTlyctonngionp.Etiarilucg,redtsealceur]0eCsetil+[dtmeneselefamêdekitSo.onaf.LNsefnoitcssalcedt+)p21lXd)=tfk((2p+l)(k=1bl2pf+k(k)t1+)k(1+kZp+(2(t1)(22p!gp)p2iXk(=))1g(g+kg(i))ii!+1k=0(kdrolàecalpaL-rorslotariécs2pre+1+pt()itd!)
On a montré par récurrence que p N , | a p | 6 1 . 1 a 0 1 1 1 a 1 = − a2 0 = − 2 et a 2 = − a2 1 − = − = 6 4 6 12 . 1 1 a 1 = − et a 2 = 12 . 2 II.A.3) a) Pour p N , posons u p = 1 . Puisque p N , | a p | 6 u p , on a R a > R u = 1 et en particulier, pour tout nombre complexe z tel que | z | < 1 , la série X a p z p converge. p N b) On effectue le produit de Cauchy des deux séries entières considérées et pour | z | < 1 , on obtient n ( e z 1 ) ϕ ( z ) =  + X 1 zn ! !j += X 0 a p z p n = a n + 1 = z + n + X = 2  i = n X 1 a n i ! i ! z n = z + z + n + X = 1  n X + 1 i ! i ! z n + 1 i = 1 = z Par suite, pour tout nombre complexe z non nul tel que | z | < 1 , ϕ ( z ) = ez1 . D’autre part, ϕ ( 0 ) = a 0 = 1 . + c) Notons D le disque unité ouvert. Pour tout z de D  { 0 } , posons ψ ( z ) = ϕ ( z ) − a 1 z = a 0 + X a p z p . Pour z D  { 0 } , p = 2 on a ψ ( z ) = ϕ ( z ) − a 1 z = e z z 1 + z2 = 2z2 +( ez z ( e z 1 ) 1 )= z2 (( ee zz + 11 )) . z D  { 0 } , on a ψ (− z )z e1 z + 11 )= z2 (( ee zz +11 ))= ψ ( z ) ce qui rest Pour = e vrai pour z = 0 . Donc, la fonction ψ est 2 e1 z paire et on sait que k > 1 , a 2k + 1 = 0 . k > 1 , a 2k + 1 = 0 . a 0 = 1 , a 1 = − 12 , a 3 = 0 puis 1 1 10 + 15 6 1 a 4 = − a2 3 a6 2 a2 1 4 1a2 0 0 = − 712 + 48 1 = = − 20 720 720 . 1 a 4 = − 720 .
.2pp(p)!Xa1(2ifk(+)kZ1+k(1+t2)p1Xbl2pf(2p+l)soptuepn2=)k(Rrei)1+p+(2Odt)!(t!p2()pa0fiX1=i+1k()+Zkt)2pk+1IINtpoi)S.1.BIIorlyaTedelumroF-B.