Mathematiques pour la licence de mecanique 6eme semestre Sylvie Benzoni

Sylvie Benzoni

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Mathematiques pour la licence de mecanique (6eme semestre) Sylvie Benzoni 7 fevrier 2005 1 Rappels sur les nombres complexes 1.1 Introduction Un nombre complexe est avant tout un couple de nombres reels z = (x, y) ? R2. En particulier, la somme de deux nombres complexes z = (x, y) et z? = (x?, y?) est z + z? = (x + x?, y + y?), tandis que pour tout ? ? R et tout z = (x, y) ? C, ? z = (?x, ?y) . On notera simplement ?z = (?1) z . L'ensemble des nombres complexes, note C, est de plus dote d'une multiplication (interne) . Definition 1.1 Quels que soient z = (x, y) et z? = (x?, y?) dans C, le produit z z? est le nombre complexe z?? = (x??, y??) tel que x?? = x x? ? y y? , y?? = x y? + x? y . Le produit z z est aussi note z2 . On verifie sans peine que 1 = (1, 0) est element neutre pour la multiplication dans C, et que C muni de cette multiplication et de l'addition (+) est un corps. On identifie tout nombre complexe de la forme z = (x, 0) = x1 avec le nombre reel x , la multiplication par z = (x, 0) dans C coıncidant avec la multiplication par x : ?x ? R , ?z? =

• produit z


• x1 x2


• ??? om


• point d'affixe z


• imz


• corollaire immediat de la definition du module et de la proposition

Sujets

• Benzoni

Informations

• Publié par: ondey
• Publié le: 01 février 2005
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

1

1.1

Math ´ ematiquespourlalicencedem ´ ecanique(6e  mesemestre)

Rappels sur les nombres complexes

Introduction

Sylvie Benzoni

7f ´ evrier2005

Unnombre complexeest avant tout un couple de nombres re´elsz= (x, y)∈R 2 . En particulier, la somme de deux nombres complexes z= (x, y)etz 0 = (x 0 , y 0 )estz+z 0 = (x+x 0 , y+y 0 ), tandis que pour toutλ∈Ret toutz= (x, y)∈C,λ z= (λx, λy) notera. On simplement−z= (−1)z.bmesne’L,sonelex´tesnomledecompbresC, est de plus dote´ d’unemultiplication(interne) .

D ´ enition1.1Quels que soientz= (x, y)etz 0 = (x 0 , y 0 )dansC, le produitz z 0 est le nombre complexez 00 = (x 00 , y 00 )tel que

0 x 00 =x x−y y 0 ,

y 00 =x y 0 +x 0 y .

Le produitz zest aussi note´z 2 .Onv´eriesanspeniqeeu1= (1,0)l´´eenemeutneptrlruolumalpittacinasoidnetsC, et queCmuni de cette multiplication et de l’addition(+)est uncorps identie tout nombre complexe de la forme. Onz= (x,0) =x1omeneelr ´ beraclvex, la multiplication parz= (x,0)dansCalumvaceilactlpico¨dantnciontirpax:

∀x∈R,∀z 0 = (x 0 , y 0 )∈C,(x,0)z 0 = (x x 0 , x y 0 ) =x(x 0 , y 0 ).

D’autre part, on notei= (0,1)ablearquerem ´ et ´ poiralrpirevee ´ explomecbromen.C:

i 2

=−1 .

1

Autrement dit,iadmet pour inverse

1 i

=−i.

Interpr ´ etationge ´ om ´ etrique.rereutpeOnntse´eprCcomme le plan(xOy)htroronoee´muomunid’unebase1est le premier vecteur de base (c’est- a-dire  dirigeant l’axe(Ox)) eti le second vecteur de base (c’est- a-dire dirigeant l’axe est (Oy)) . A  chaquenombrecomplexez= (x, y)on peut associer le pointMde coordonne´es(x, y). On dit alors quezest l’afxedu pointM. On remarque en particulier que la multiplication pari correspond ala rotationd’angleπ/2et de centreO effet, si. Enz= (x, y)on a iz= (−y, x). Donc siMest le point d’afxezetM 0 le point d’afxeiz, on a kO −− M → 0 k=k − O − M −→−→ k 0 −−−→ O − M → , − O − M → 0 ) =x 2 +y 2 >0. , OM∙OM= 0,d´et(

1.2

´ Ecriture carte´sienne

Avec les notations introduites pre´ce´demment, on a pour tout nombre complexe z= (x, y):

quel’on ´ ecritplussimplement:

z=x1+yi,

z x+i y . =

C’est ce qu’on appelle l’e´criture carte´siennedez  nombre re´el . Lex, qui est aussi l’abscisse du point d’afxezep ´ lee,tspapraletier´eeldez et le nombre re´el yuq,onrd’oilssaustiea’fnidtudop ´ neexez ´ eppelesta,partie imaginairedezonet.nOrela ´ gnet:enem

x=Rezet

y

=Imz .

On appelle nombreimaginaire pur.ellarepertiel ´ enulennmorbcemolpxedeu

1.2.a Conjugaison

D ´ enition1.2Quel que soit le nombre complexez

=x+i yavecxetyre´els, on appelleocjnguu ´ edezle nombre complexe

z=x−i y .

2

Interpr ´ etationg ´ eom ´ etrique.Le point d’afxezesteusym ´ etriqdu point d’afxezpar rapport al’axe(0x).

Onalesformules ´ evidentesmaisbienutiles:

Donc en particulier :

•

Rez

=

z+z 2

Un nombre complexeznestiteeslumetr ´ eelsiesz=z.

•Un nombre complexezest imaginaire pur si et seulement siz

Proposition 1.1Pour tous nombres complexesz 1 etz 2 ,

D ´ em.mmtidi´e.ataceLledsmosaseem x 1 x 2 −y 1 y 2 +i(x 2 y 1 +x 1 y 2 )donc

et

Imz

=−z.

=

z−z . 2i

z 1 +z 2 =z 1 +z 2 etz 1 z 2 =z 1 z 2 .

Le cas du produit est un calcul facile : siz 1 =

x 1 +i y 1 etz 2

z 1 z 2 =x 1 x 2 −y 1 y 2 −i(x 2 y 1 +x 1 y 2 ) = (x 1 −i y 1 ) (x 2 −i y 2 ) =z 1 z 2 .

On remarque que pout toutz=x+i y(avecxetysl,) ´ reeoduileprtz zstunebmon ´ rerpleetiso.Eifffne,et

1.2.b

Module

z z= (x+i y) (x−i y) =x 2 +y 2 .

D ´ enition1.3Pour tout nombre complexez, on appellemoduledezitfopislomenerbrel ´ e |z|= √ z z .

3

=

x 2

+

i y 2 ,z 1 z 2

=

✷

Autrement dit, siz=x+i yavecxety re´els, |z|= p x 2 +y 2 . En particulier, siz=xr ´ eel,sonmoduleets|z| est e´gal ala valeur absolue |x|dex!seDneet´hretnocnssoatiosnot.Leiselge´nelarano,g´us´eenc¸faplonalit´es:

Noter que|z|= 0e ´ uqviaut  az= 0.

|Rez| ≤ |z|

Interpre´tation ge´ome´trique . SiMest le point d’afxez, on a

et

|Imz| ≤ |z|.

−−→ |z|=kOMk.

Un corollaire imme´diat de la de´nition du module et de la proposition 1.1 est que pour tous nombres complexesz 1

Attention ! En ge´ne´ral,

|z 1 z 2 |=|z 1 | |z 2 |.

|z 1 +z 2 | 6=|z 1 |+|z 2 |.

etz 2 ,

On a seulement l’in egalite ´ ´ |z 1 +z 2 | ≤ |z 1 |+|z 2 |, avec e´galite´ si et seulement si z 2 est un multiple re´el de z 1 spoiurlet,poemeniruq ´ mte ´ goeineigisquce(sntM 1,2 d’afxez 1,2 , que les vecteurs −−→−−→ OM 1 etOM 2 sont coline´aires).

Proposition 1.2lu,emedo ˆ mmeostn ´ eeltiereparm ˆ emseitrapsruelteelsreaiinagimueeleist’sliemtnssonlexeauxst ´ egmonxueDpmocserb ont le meˆme signe .

De´m. La partie directe est e´vidente : siz=z 0 alors|z|=|z 0 |, Rez=Rez 0 et Imz=Imz 0 tnedossegiˆmmeci´e.Rnemeueoqproppus,tnsnos |z|=|z 0 |, Rez=Rez 0 . Alors (Imz) 2 =|z| 2 −(Rez) 2 =|z 0 | 2 −(Rez 0 ) 2 = (Imz 0 ) 2 . Si de plus Imzet Imz 0 sont de meˆme signe alors ne´cessairement Imz=Imz 0 .✷ Cette proposition d’apparence anodine est tr es utile pour rechercher les racin ´ errcaesesd’un nombre complexeZsbmer’c,  a-dest-esnoirel ztels quez 2 =Z cette proposition on a. En effet, d’apr esz 2 =Zsi et seulement si

|z 2 |=Z ,

Re(z 2 ) =ReZ

4

et

Im(z 2 )ImZ

≥0.

Enutilisantlapropri´et´e|z 2 |=|z| 2 , ceci se traduit surx=Rezety=Imzpar    x 2 +y 2 =|Z|, x 2 −y 2 =ReZ , x yImZ≥0,

et ce systeme est e´quivalent a  2x 2 =|Z|+ReZ , 2y 2 =|Z| −ReZ ,   x yImZ≥0. On trouve ainsi exactement deux racines carre´es de Z(siZest non nul) .

Si par exemple ImZest positif,z 2 =Zuqvie´auatz=z 1 ouz=z 2 avec : z 1 = r |Z|+ReZ +i r |Z| − 2 Re , Z 2 z 2 =− r |Z|+ 2 ReZ −i r |Z| − 2 ReZ . Il n’est pas indispensable de retenir ces formules, il vaut mieux savoir les retrouver en pratique !

1.3

Siz

Inversion

=x+i y(avecxetyecomplexenonnul,ialmdteoprunievsrr ´ sleetse)onnuerbm

1z = = z z z

x x 2 +

y − y 2 x i 2 +y 2 .

Plus ge´ne´ralement, on verra que les homographiesionsicatapplelesd-ri-ta  ’cse,edCdans

az+b z7→ cz+d

(avecad−bc6= 0et ´ esg ´ espropri,)nodtr  stimesytalueiqseuqnate ´ moeirteanteports. ´

5

Cde la forme :

Outresoninte ´ re ˆ tpratique,cetteformulemontre,puisquelafonctionexponentiellenes’annulepassurR, qu’elle ne s’annule pas plus sur

d’ou 

Nombres complexes de module 1

C.

+∞ z n e z X n! . = n=0

z e z =e.

z n n ! grnenoev’Cseet(.tabsesentcolumoitcnoferofinusnunmeˆetmedri´eesentectnoevgr´mmemene

1.4 Exponentielle Pour tout nombre complexez, la se´rie P n≥0 sur tout compact deC .) On de´nit

1 z

⇔

=z

Les

1.5

|z|= 1

On noteraUatnelcevreceuelcg ´ em ´ eorietemqu  l1aq,iu’sdineitexesdemodule ´ egabmonsedelpmocserlblemns’enerte ´ cenein ´ tO. nombres complexes1eti  aurs ˆ enbintneneitrappaUncleeqe ´ ’aviuelitltsesouventuentemaisuq ´ evedinUremera.

6

Onadefac¸on´evidentee 0 = 1, et pour toutz∈C,

e z 0 .

z 0 z e z+ =e

D’autre part, on a comme dansRprlat ´´ eriopemadnofeelatn

|e z |=e Rez .

=e z e z =e z+z ,

|e z | 2 =e z e z

(Pourlad ´ emonstration,utiliserlaformuledubino ˆ me.)Parsuite,

Description analytique deU:

En effet,

U={z=e i θ

tel que

θ∈R}.

{z=e i θ tel queθ∈R} ⊂U,

card’apre  slade ´ nitionetlaproprie ´ te ´ fondamentaledel’exponentielle,ona

e i θ e −i θ =

1 = e i θ

pour toutθ∈R. D’autre part, si ondenit ´ Re(e i θ ) = cosθ ,Im(e i θ ) = sinθ pour toutθ∈R, les fonctionscosetsinsont continues (comme limites uniformes de suites de fonctions continues), et comme e 0 cos 0 = 1etsin 0 = 0:ereinteeri´enssentmepoepvelese´dnedtmettnsadctiosfon.Ce

On voit notamment que

cosθ

+∞ = X n=0

(iθ n ) ! n = k + X = ∞ 0 (− 2 1) (k k )! θ 2k ,sinθ= + X ∞ (−1) k θ 2k+1 k=0 (2k+ 1)! .

cos 2≤1−2 2 /2 + 2 4 /4! =−1/3<0.

=

1, on a

Donc,d’apre  sleth ´ eore  medesvaleursinterme ´ diaires,ilexisteunnombre]0,2[ ou coss’annule. Onappelleπ/2 De plus,le plus petit.sinest d ´ erivable,dede ´ rive ´ ecos, qui est positif sur[0, π/2]. Doncsin(π/2)aag  l,stdequie ´ e ´ ecarr1 suite, Par, est positif.sin(π/2) = 1. Ainsi, le nombreπeuqlepositifttitr ´ eelellpsuepets e i π/2 =i∈U.

On remarque aussi quecosest paire etsinimpaire. Pour toutz∈U,

|Rez| ≤ |z|= 1.

Supposons Rez≥0editerms,ilaireetodxesicn.apD’esr  thleor ´ eeme  vseduelanisrθ∈[0, π/2]tel que Rez ´

(Imz) 2

=|z| 2 −(Rez) 2 = 1−cos 2 θ= sin 2 θ .

7

= cosθ. De plus, on a

•

•l’ensembleUest un groupe multiplicatif. Pour toutn∈N, on a e i n θ =  e i θ  n

(formule de Moivre)

e 2i π =i 4 = 1,

e i θ

θ−ω∈2πZ.

e i ω =

⇐⇒

En particulier,

d’ou 

Deplus,ellesve ´ rientlapropri ´ ete ´ :

θ∈R}.

U={z=e i θ tel que

Doncz=e i(θ+π) . Ceci prouve que

Ge´ome´triquement, la multiplication par e i θ correspond ala rotation d’angleθet de centreO.

Remarques :

Racinesn -iemes de l’unite´

1.6

n−1 X ζ n k = 0. k=0

8

Donc Imz= sinθou Imz= sin(−θ). Ainsi, dans le premier cas on az= cosθ+isinθet dans le second cas on az= cos(−θ) +isin(−θ). Enn, siz∈Uet Rez≤0, alors−z∈Uet Re(−z)≥0a’rpnodcd,edc´epruieqsceetsixelieθ∈[0, π/2]tel que−z=e i θ . Or −1 = (i) 2 =  e i π/2  2 =e i π .

Proposition 1.3Pour toutn∈N ∗ , il existe exactementnionquatls’ ´ oeluntsidoe z n = 1, appel ´ eesracinesn e´crivent Elles s’ e´.-iemes de l’unitζ nk pourk∈ {0, . . . , n−1},  ou ζ 2i π n =e n .