Mathematiques pour la licence de mecanique 6eme semestre Sylvie Benzoni

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Mathematiques pour la licence de mecanique (6eme semestre) Sylvie Benzoni 7 fevrier 2005 1 Rappels sur les nombres complexes 1.1 Introduction Un nombre complexe est avant tout un couple de nombres reels z = (x, y) ? R2. En particulier, la somme de deux nombres complexes z = (x, y) et z? = (x?, y?) est z + z? = (x + x?, y + y?), tandis que pour tout ? ? R et tout z = (x, y) ? C, ? z = (?x, ?y) . On notera simplement ?z = (?1) z . L'ensemble des nombres complexes, note C, est de plus dote d'une multiplication (interne) . Definition 1.1 Quels que soient z = (x, y) et z? = (x?, y?) dans C, le produit z z? est le nombre complexe z?? = (x??, y??) tel que x?? = x x? ? y y? , y?? = x y? + x? y . Le produit z z est aussi note z2 . On verifie sans peine que 1 = (1, 0) est element neutre pour la multiplication dans C, et que C muni de cette multiplication et de l'addition (+) est un corps. On identifie tout nombre complexe de la forme z = (x, 0) = x1 avec le nombre reel x , la multiplication par z = (x, 0) dans C coıncidant avec la multiplication par x : ?x ? R , ?z? =

  • produit z

  • x1 x2

  • ??? om

  • point d'affixe z

  • imz

  • corollaire immediat de la definition du module et de la proposition


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Publié le 01 février 2005
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1
1.1
Math´ematiquespourlalicencedem´ecanique(6emesemestre)
Rappels sur les nombres complexes
Introduction
Sylvie Benzoni
7f´evrier2005
Unnombre complexeest avant tout un couple de nombres re´elsz= (x, y)R2. En particulier, la somme de deux nombres complexes z= (x, y)etz0= (x0, y0)estz+z0= (x+x0, y+y0), tandis que pour toutλRet toutz= (x, y)C,λ z= (λx, λy) notera. On simplementz= (1)z.bmesneL,sonelex´tesnomledecompbresC, est de plus dote´ d’unemultiplication(interne) .
D´enition1.1Quels que soientz= (x, y)etz0= (x0, y0)dansC, le produitz z0est le nombre complexez00= (x00, y00)tel que
0 x00=x xy y0,
y00=x y0+x0y .
Le produitz zest aussi note´z2.Onv´eriesanspeniqeeu1= (1,0)l´´eenemeutneptrlruolumalpittacinasoidnetsC, et queCmuni de cette multiplication et de l’addition(+)est uncorps identie tout nombre complexe de la forme. Onz= (x,0) =x1omeneelr´beraclvex, la multiplication parz= (x,0)dansCalumvaceilactlpico¨dantnciontirpax:
xR,z0= (x0, y0)C,(x,0)z0= (x x0, x y0) =x(x0, y0).
D’autre part, on notei= (0,1)ablearquerem´et´poiralrpirevee´explomecbromen.C:
i2
=1 .
1
Autrement dit,iadmet pour inverse
1 i
=i.
Interpr´etationge´om´etrique.rereutpeOnntse´eprCcomme le plan(xOy)htroronoee´muomunidunebase1est le premier vecteur de base (c’est- a-dire dirigeant l’axe(Ox)) etile second vecteur de base (c’est- a-dire dirigeant l’axeest (Oy)) . Achaquenombrecomplexez= (x, y)on peut associer le pointMde coordonne´es(x, y). On dit alors quezest l’afxedu pointM. On remarque en particulier que la multiplication paricorrespond alarotationd’angleπ/2et de centreO effet, si. Enz= (x, y)on a iz= (y, x). Donc siMest le point d’afxezetM0le point d’afxeiz, on a kO−−M0k=kOMk0OM,OM0) =x2+y2>0. , OMOM= 0,d´et(
1.2
´ Ecriture carte´sienne
Avec les notations introduites pre´ce´demment, on a pour tout nombre complexez= (x, y):
quelon´ecritplussimplement:
z=x1+yi,
z x+i y . =
C’est ce qu’on appelle l’e´criture carte´siennedez nombre re´el. Lex, qui est aussi l’abscisse du point d’afxezep´lee,tspapraletier´eeldez et le nombrere´elyuq,onrdoilssaustieafnidtudop´neexez´eppelesta,partie imaginairedezonet.nOrela´gnet:enem
x=Rezet
y
=Imz .
On appelle nombreimaginaire pur.ellarepertiel´enulennmorbcemolpxedeu
1.2.a Conjugaison
D´enition1.2Quel que soit le nombre complexez
=x+i yavecxetyre´els, on appelleocjnguu´edezle nombre complexe
z=xi y .
2
Interpr´etationg´eom´etrique.Le point d’afxezesteusym´etriqdu point d’afxezpar rapport al’axe(0x).
Onalesformules´evidentesmaisbienutiles:
Donc en particulier :
Rez
=
z+z 2
Un nombre complexeznestiteeslumetr´eelsiesz=z.
Un nombre complexezest imaginaire pur si et seulement siz
Proposition 1.1Pour tous nombres complexesz1etz2,
D´em.mmtidi´e.ataceLledsmosaseem x1x2y1y2+i(x2y1+x1y2)donc
et
Imz
=z.
=
zz . 2i
z1+z2=z1+z2etz1z2=z1z2.
Le cas du produit est un calcul facile : siz1=
x1+i y1etz2
z1z2=x1x2y1y2i(x2y1+x1y2) = (x1i y1) (x2i y2) =z1z2.
On remarque que pout toutz=x+i y(avecxetysl,)´reeoduileprtz zstunebmon´rerpleetiso.Eifffne,et
1.2.b
Module
z z= (x+i y) (xi y) =x2+y2.
D´enition1.3Pour tout nombre complexez, on appellemoduledezitfopislomenerbrel´e |z|=z z .
3
=
x2
+
i y2,z1z2
=
Autrement dit, siz=x+i yavecxetyre´els,|z|=px2+y2. En particulier, siz=xr´eel,sonmoduleets|z|est e´gal ala valeur absolue |x|dex!seDneet´hretnocnssoatiosnot.Leiselge´nelarano,g´us´eenc¸faplonalit´es:
Noter que|z|= 0e´uqviautaz= 0.
|Rez| ≤ |z|
Interpre´tation ge´ome´trique .SiMest le point d’afxez, on a
et
|Imz| ≤ |z|.
−−→ |z|=kOMk.
Un corollaire imme´diat de la de´nition du module et de la proposition 1.1 est que pour tous nombres complexesz1
Attention !En ge´ne´ral,
|z1z2|=|z1| |z2|.
|z1+z2| 6=|z1|+|z2|.
etz2,
On a seulement l’in egalite ´ ´ |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|, avec e´galite´ si et seulement siz2est un multiple re´el dez1spoiurlet,poemeniruq´mte´goeineigisquce(sntM1,2d’afxez1,2, que les vecteurs −→−→ OM1etOM2sont coline´aires).
Proposition 1.2lu,emedoˆmmeostn´eeltiereparmˆemseitrapsruelteelsreaiinagimueeleistsliemtnssonlexeauxst´egmonxueDpmocserb ont le meˆme signe .
De´m.La partie directe est e´vidente : siz=z0alors|z|=|z0|, Rez=Rez0et Imz=Imz0tnedossegiˆmmeci´e.Rnemeueoqproppus,tnsnos |z|=|z0|, Rez=Rez0. Alors (Imz)2=|z|2(Rez)2=|z0|2(Rez0)2= (Imz0)2. Si de plus Imzet Imz0sont de meˆme signe alors ne´cessairement Imz=Imz0.Cette proposition d’apparence anodine est tr es utile pour rechercher lesracin´errcaesesd’un nombre complexeZsbmerc,a-dest-esnoirel ztels quez2=Z cette proposition on a. En effet, d’apr esz2=Zsi et seulement si
|z2|=Z ,
Re(z2) =ReZ
4
et
Im(z2)ImZ
0.
Enutilisantlapropri´et´e|z2|=|z|2, ceci se traduit surx=Rezety=Imzpar x2+y2=|Z|, x2y2=ReZ , x yImZ0,
et ce systeme est e´quivalent a 2x2=|Z|+ReZ , 2y2=|Z| −ReZ , x yImZ0. On trouve ainsi exactement deux racines carre´es deZ(siZest non nul) .
Si par exemple ImZest positif,z2=Zuqvie´auatz=z1ouz=z2avec : z1=r|Z|+ReZ+ir|Z| −2Re,Z 2 z2=r|Z|+2ReZir|Z| −2ReZ. Il n’est pas indispensable de retenir ces formules, il vaut mieux savoir les retrouver en pratique !
1.3
Siz
Inversion
=x+i y(avecxetyecomplexenonnul,ialmdteoprunievsrr´sleetse)onnuerbm
1z = = z z z
x x2+
y y2xi2+y2.
Plus ge´ne´ralement, on verra que leshomographiesionsicatapplelesd-ri-tacse,edCdans
az+b z7→ cz+d
(avecadbc6= 0et´esg´espropri,)nodtrstimesytalueiqseuqnate´moeirteanteports. ´
5
Cde la forme :
Outresoninte´reˆtpratique,cetteformulemontre,puisquelafonctionexponentiellenesannulepassurR, qu’elle ne s’annule pas plus sur
dou
Nombres complexes de module 1
C.
+zn ezXn!. = n=0
z ez=e.
znn!grnenoevCseet(.tabsesentcolumoitcnoferofinusnunmeˆetmedri´eesentectnoevgr´mmemene
1.4 Exponentielle Pour tout nombre complexez, la se´riePn0 sur tout compact deC.) On de´nit
1 z
=z
Les
1.5
|z|= 1
On noteraUatnelcevreceuelcg´em´eorietemqul1aq,iusdineitexesdemodule´egabmonsedelpmocserlblemnsenerte´cenein´tO. nombres complexes1etiaursˆenbintneneitrappaUncleeqe´aviuelitltsesouventuentemaisuq´evedinUremera.
6
Onadefac¸on´evidentee0= 1, et pour toutzC,
ez0.
z0z ez+=e
D’autre part, on a comme dansRprlat´´eriopemadnofeelatn
|ez|=eRez .
=ezez=ez+z,
|ez|2=ezez
(Pourlad´emonstration,utiliserlaformuledubinoˆme.)Parsuite,
Description analytique deU:
En effet,
U={z=ei θ
tel que
θR}.
{z=ei θtel queθR} ⊂U,
cardapreslade´nitionetlaproprie´te´fondamentaledelexponentielle,ona
ei θei θ =
1 = ei θ
pour toutθR. D’autre part, si ondenit ´ Re(ei θ) = cosθ ,Im(ei θ) = sinθ pour toutθR, les fonctionscosetsinsont continues (comme limites uniformes de suites de fonctions continues), et comme e0 cos 0 = 1etsin 0 = 0:ereinteeri´enssentmepoepvelese´dnedtmettnsadctiosfon.Ce
On voit notamment que
cosθ
+=X n=0
(iθn)!n=k+X=0(21)(kk)!θ2k,sinθ=+X(1)kθ2k+1 k=0(2k+ 1)!.
cos 2122/2 + 24/4! =1/3<0.
=
1, on a
Donc,dapresleth´eoremedesvaleursinterme´diaires,ilexisteunnombre]0,2[oucoss’annule. Onappelleπ/2 De plus,le plus petit.sinest d´erivable,dede´rive´ecos, qui est positif sur[0, π/2]. Doncsin(π/2)aagl,stdequie´e´ecarr1 suite, Par, est positif.sin(π/2) = 1. Ainsi, le nombreπeuqlepositifttitr´eelellpsuepets ei π/2=iU.
On remarque aussi quecosest paire etsinimpaire. Pour toutzU,
|Rez| ≤ |z|= 1.
Supposons Rez0editerms,ilaireetodxesicn.apDesrthleor´eemevseduelanisrθ[0, π/2]tel que Rez ´
(Imz)2
=|z|2(Rez)2= 1cos2θ= sin2θ .
7
= cosθ. De plus, on a
l’ensembleUest un groupe multiplicatif. Pour toutnN, on a ei n θ=ei θn
(formule de Moivre)
e2i π=i4= 1,
ei θ
θω2πZ.
ei ω =
⇐⇒
En particulier,
dou
Deplus,ellesve´rientlapropri´ete´:
θR}.
U={z=ei θtel que
Doncz=ei(θ+π). Ceci prouve que
Ge´ome´triquement, la multiplication par ei θcorrespond ala rotation d’angleθet de centreO.
Remarques :
Racinesn-iemes de l’unite´
1.6
n1 Xζnk= 0. k=0
8
Donc Imz= sinθou Imz= sin(θ). Ainsi, dans le premier cas on az= cosθ+isinθet dans le second cas on az= cos(θ) +isin(θ). Enn, sizUet Rez0, alorszUet Re(z)0arpnodcd,edc´epruieqsceetsixelieθ[0, π/2]tel quez=ei θ. Or 1 = (i)2=ei π/22=ei π.
Proposition 1.3Pour toutnN, il existe exactementnionquatls´oeluntsidoe zn= 1, appel´eesracinesn e´crivent Elles s’ e´.-iemes de l’unitζnkpourk∈ {0, . . . , n1},ou ζ2i π n=en.