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# Module MA5

De
69 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence de Mathematiques Module MA5.04 ALGEBRE : Groupes et Applications Jean-Franc¸ois Havet Universite d'Orleans, Departement de Mathematiques B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France Septembre 2003

• theoreme de symetrisation

• theoremes de sylow

• direct

• groupes abeliens

• relation d'equivalence

• loi de composition interne

• classes d'equivalence definies

• theoreme de factorisation pour les homomorphismes de groupes

• structure des groupes cycliques

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##### Loi de composition interne

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LicencedeMath´ematiques
Module MA5.04
ALGEBRE : Groupes et Applications
Jean-Fran¸coisHavet
Universit´edOrl´eans,De´partementdeMathe´matiques B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France
Septembre 2003
Tabledesmatie`res ChapitreI:RappelsetCompl´ementsensemblistes1 1The´orieaxiomatiquedesensembles1 2 Relations et applications 3 2.1.G´ne´ralit´es                                  3 e 2.2. Applications injectives et surjectives                     4 2.3. Loi de composition interne                          6 3Relationd´equivalence7 3.1. Ensemble quotient                              7 3.2.Th´eore`medefactorisation                          7 3.3.Compatibilit´eavecuneop´erationinterne                  8 4 Relation d’ordre 9 4.1. Ensemble ordonne                               9 ´ 4.2. Ensemble inductif                               10 5 Axiome du choix et Axiome de Zorn 10 5.1. Axiome du choix                               10 5.2. Axiome de Zorn                                11 6 L’ensemble des entiers naturels 12 6.1. Construction deN                              12 6.2.Ope´rationsdansN                              13 6.3. Relation d’ordre surN                            13 7 Cardinaux 14 7.1.Ensembles´equipotents                            14 7.2. Comparaison de deux cardinaux                       15 7.3.Ensemblesde´nombrables                           16 Chapitre II: Groupes et sous-groupes 21 1Ge´ne´ralit´es21 1.1. Structure de groupe                              21 1.2. Homomorphismes de groupes                        22 1.3. Isomorphismes de groupes                          23 1.4. Automorphismes de groupes                         24 1.5.Th´eor`emedesym´etrisation                          25 i
2 Sous-groupes 27 2.1. La notion de sous-groupe                          27 2.2. Sous-groupes et homomorphismes                      28 2.3.Sous-groupeengendr´eparunepartie                    29 2.4.Ordredune´l´ement                              30
Chapitre III: Groupes de permutations 33 1 Actions de groupe 33 1.1.Groupeop´erantsurunensemble                       33 1.2.Classesde´quivalencede´niesparunsous-groupe             35 1.3. “Equations aux classes”        36                    1.4.p-groupes                                   37 2 Groupes Quotients 38 2.1.Sous-groupesdistingu´es                            38 2.2.The´ore`medefactorisationpourleshomomorphismesdegroupes     40 2.3.Th´eor`emedisomorphismedEmmyNœther                41 3Groupesyme´triqueSn42 3.1. Cycles                                     42 3.2.Ge´ne´rateursdugroupeSn                          44 3.3. Signature d’une permutation                         45
ChapitreIV:Th´eor`emesdestructures47 1 Groupes cycliques 47 1.1. Structure des groupes cycliques                       47 1.2.The´ore`mechinois                               48 1.3. Indicateur d’Euler                              49 2 Produits direct et semi-direct 51 2.1. Produit direct                                 51 2.2. Produit semi-direct                              52 3Th´eor`emesdeSylow54 3.1. Sous-groupes de Sylow                            54 3.2.Premierthe´ore`medeSylow                         55 3.3.Autresthe´ore`mesdeSylow                          56 4Groupesabe´liensnis58 4.1.D´ecompositioncycliquecanoniquedungroupeabe´lien          58 4.2. Composantes primaires                            60 ii
Index
i
i
i
63
iv
ChapitreI:RappelsetComple´mentsensemblistes
1
1 Th´ i axiomatique des ensembles eor e Lath´eorieintuitivedesensemblesconduit`adesparadoxes.Eneetsinoussupposons l’existence deEensemblid´ererleeselsuotselbmesnouspou,nnsconsvo,enledesemb F={E∈ E;E E}et nous poser la question : a-t-onFF? On remarque alors que FFF F. Dou`lan´ecessit´edede´nitionsplusrigoureuses,cesta`direduneaxiomatiq´cisant ue pre lesreglesdeconstructiondesensemblesetdonclesproprie´te´sdelappartenance,not´ee ` .Ldeestcelleneseee´trteˆ´rpeeqquvauiioaxtimaZermelo-Fraenkele´alobirrtpa`aeer´ de 1908.
Axiomedextensionnalit´e: xy[z(zxzy)(x=y) ]Deuxensemblessont´egauxsietseulementsilsontlesmˆemese´l´ements.
Axiome de l’ensemble vide : xy¬(yx)1 Dapre`slaxiomepre´c´edentcetensembleestuniqueetestnote´. ´ De´nition.Untesilbmesnee´cnoneenonc´ecestun´a`aptrrinotsurticaiurtesqdentuas ,, des connecteurs logiques, de = etet ne portant que sur des ensembles. Exemple : l’inclusionP(x yare´d)pinz(zyzxst)eliste;nue´oncne´neesbm on le noteyx.
Axiomedecompre´hension:SoitPnuts.embliensenc´e´eno xyzh(zy)(zx)P(z) iDapre`slaxiomedextensionnalite´lensembleyest unique. On le note{zx;P(z)}. Cons´equence:Soientxetyesblnp.Osedeemnsinr´deolsrueatl’intersectiondexet yparxy={zx;zy}. Si on ayxpeonut´egalementd´einlrereaicmolpe´emtn deydansxparCxy={zx;z y}. On le note aussix\y. 1Le symbole¬returiecma´ethmaudeuqittenonlt´secelle du ”et”
2
RappelsetComple´mentsensemblistes
Axiome des parties : xyz[ (zy)(zx) ]L’ensembleyestuneuqisetetonte´P(x). Cons´equence:Pour tout ensemblextqeneml´ueayanelbe´ruoptnxistilensemeune x, on le note{x}, c’est unsingleton. En eﬀet{x}={z∈ P(x) ;z=x}.
Axiome de la paire : xyzth(tz)(t=x)(t=y) iL’ensemblezest unique. Six=yon retrouve{x}. Six6=y, on le note{x y}c’est une paire. Conse´quence:Sixetysont des ensembles, alors{ {x}{x y} }melbensne´netotues (x ytapp)eel´ecouple. Proposition :Soientx,x0,yety0des ensembles. (x y) = (x0 y0)((x=x0)(y=y0))
Preuve.enteevidest´ante.susnoitidnocaL Si (x y) = (x0 y0) alors{ {x}{x y} }={ {x0}{x0 y0} }. Six=yalors{ {x} }={ {x0}{x0 y0} }; on doit avoir{x}={x0},do`ux=x0, et {x}={x0 y0}du`ox0=y0=x. Six6=yneatiremessan´eclorsx06=y0 le premier cas et on ad’a `s pre soit ({x}={x0 y0})({x y}={x0}) impossible carx6=y, soit ({x}={x0})({x y}={x0 y0}) d’oux=x0et par suitey=y0. `
Axiome de fondation : xh(x6=)⇒ ∃y(yx)(yx=) i
Cons´equence:Cet axiome interditxx. En eﬀet si nous supposonsxxalors{x} contredit l’axiome :{x} 6=et pour touty∈ {x}emtniaerecssn(e´y=x)y∩ {x}={x} 6= . Demeˆmecetaxiomeinterdit(xy)(yx) ; sinon{x y}contredit l’axiome.
Relations et applications
Axiomedelar´eunion: xyzh(zy)⇔ ∃t(tx)(zt) i
3
L’ensembleyeqieutsnuottneset´e[t(union des ensembles dex). tx Exemples :Six={a b}onobtienana`tpaapenrteml´tsendelbe´seeltmesnaoub; on le noteab. Six={ {a}{b c} }on trouve{a b c}. The´ore`me:Soientaetbsembuneniqueleuneon´tenuxde,selbmesetsixelia×b´lepaep produitcart´esiendontles´ele´mentssontlescouples(x y)avecxaetyb. Preuve.On sait que les couples existent, mais constituent-ils un ensemble ? On a (x y) ={ {x}{x y} }et donc a×b={z∈ P(P(ab)) ;xy(z= (x y))(xa)(yb)}
Axiome de l’inﬁni : x[(∅ ∈x)∧ ∀y(yxy∪ {y} ∈x)]Cet axiome nous permettra de construireN. Remarquons que∅ ∈x, donc{∅} ∈x, par suite{ ∅ ∈{∅} }xou`d,{ ∅{∅}{∅{∅} } } ∈x,  
Axiome du choix : Toutproduitcart´esiendunefamillenonvidedensemblesnonvidesestnonvide. Cetaxiomenefaitpaspartiedelath´eorieclassiquedeZermelo-Fraenkel.Historiquement iltlobjetdenombreusescontroversesetnousdistingueronslese´nonce´sobtenusgraˆcea` sonutilisation.Ilposs`ededie´rentesformes´equivalentesnousenciteronsquelques-unes a`lasection5.
2 Relations et applications 2.1.G´ene´ralite´s
2.1.1.D´enition. SoientEetFdeux ensembles. On appellerelationdeEversFtoute partieRdeE×F; on note alorsxRyau lieu de (x y)R. LorsqueE=Fon dit queR est une relation surE.