Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine On considere le systeme de equations a inconnues

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 09-10 semaine 4 ————————————————————————————————————————— On considere le systeme de 3 equations a 4 inconnues : (?E) ? ???? ???? x1 + x2 ? x3 ? x4 = 1 (E1) x1 + x2 + x3 ? 2x4 = 3 (E2) 2x1 ? x2 + 2x3 ? x4 = 2 (E3) 3x1 + 3x3 ? 3x4 = 5 (E4) . 1) Quel est l'ordre des variables x1, x2, x3, x4 de ce systeme. Trianguler ce systeme d'equations a l'aide de l'algorithme de Gauss. Quelles sont les variables libres de ce systeme ? 2) Resoudre le systeme (?). Verifier les calculs. Soit A la matrice de M2(R) et B la matrice de M2,3(R) definies par : A = ( ?4 3 ?1 1 ) , B = ( 1 0 2 ?1 1 ?1 ) . 3) Si elles ont un sens, calculer les matrices AB, BA, A2 , B2 et A + 2 Id2. ————————————————————————————————————————— 1) La premiere variable est x1, la deuxieme x2, la troisieme x3 et la quatrieme x4. le systeme (?E) est ordonne car les trois equations du systeme sont d'ordre 1. Etape 1 Elle consiste a utiliser la premiere equation du systeme (?E) pour faire monter l'ordre des suivantes; puis, si besoin est : on simplifie , on stoppe ou on ordonne.

equations

matrice de m2

ordre des variables x1

premiere equation du systeme

solution du systeme dit

troisieme equation du systeme

x3 ?

deuxieme equation du systeme

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Publié par	profil-ontoe-2012
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Langue	Français

Extrait

NometPr´enom:L1MPAlg`ebre09-10semaine4 ————————————————————————————————————————— Onconside`relesyst`emede3e´quationsa`4inconnues:  x1+x2−x3−x4= 1(E1)   x1+x2+x3−2x4= 3(E2) (∗E) 2x1−x2+ 2x3−x4(= 2E3)   3x1+ 3x3−3x4= 5(E4).

1) Quel est l’ordre des variablesx1, x2, x3, x4crelsyseme`t´’destsyme`eri.Tguanecqeudaetions `al’aidedel’algorithmedeGauss.Quellessontlesvariableslibresdecesyst`eme? 2)Re´soudrelesyste`me(∗lscu.leeralsc´V.)ﬁire SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2,3(Rpseinﬁe´d):ar  ! ! −1 0 24 3 A=, B=. −1 1−1 1−1 2 2 3) Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A,BetA+ 2 Id2. ————————————————————————————————————————— 1)Lapremi`erevariableestx1eme`ad,lxieux2meel,orta`isix3rt`iqaaueltemex4`emesyst.le (∗Ece´nnodrotse)atqu´eisrostleartse`emosoisnudyse1.ntd’ordr ´ Etape 1sisna`etlEocelprlai`emiluteris(eme`tsuaeqe´ersyduonti∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes; puis, si besoin est :on simpliﬁe , on stoppe ou on ordonne.Utilisons donc la premie`ree´quationdusyst`eme(∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes :  x1+x2−x3−x4= 1(E1)   2x3−x4(= 2E2−E1) −3x2+ 4x3+x4(= 0E3−2E1)   −3x2+ 6x3= 2(E4−3E1). Ordonnonscesyste`me:  x1+x2−x3−x4(= 1E1)   0−3x2+ 6x3= 2(E4−3E1) (∗E) −3x2+ 4x3+x4= 0(E3−2E1)   2x3−x4(= 2E2−E1). ´ 0 Etape 2Ellcenoists`euatiliserladeuxi`ee´emtauqdnoisysuemt`e(∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes; puis, si besoin est :on simpliﬁe , on stoppe ou on ordonne.Utilisons la 0 deuxie`me´equationdusyste`me(∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes :  x1+x2−x3−x4= 1(E1)   −3x+ 6x(= 2E−3E) 004 12 3 (∗E) −2x3+x4=−2 (E3−2E1−(E4−3E1))   2x3−x4= 2(E2−E1). Cesyst`emeestordonne´.

00 ´ Etape 3eme`tsysudnoitau(onsiste`autiliselrtaorsi`ime´eqeEcell∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes; puis, si besoin est :on simpliﬁe , on stoppe ou on ordonne.Utilisons la 00 troisi`eme´equationdusyst`eme(∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes :  x1+x2−x3−x4= 1(E1)   −3x2+ 6x3(= 2E4−3E1) −2x3+x4=−2 (E3−2E1−(E4−3E1))   0 =0. Supprimonsl’´equation0=0,onobtientlesyste`metriangule´:

 x+x−x 1 2 3−x4(= 1E1) 000 (∗E)−3x2+ 6x3(= 2E4−3E1)   −2x3+x4=−2 (E3−2E1−(E4−3E1)). L’algorithmeesttermine´. 000 Lesvariablesdetˆetedes3e´quationsde(∗E) sont respectivementx1,x2etx3emeyst`.Ces 000 (∗E) admet doncx4comme seule variable libre. 2)Enremontantles´equationsdecesyst`emetriangul´e,nousobtenons: 1 42 1 x3= 1 +x4, x2= +x4etx1= +x4. 2 33 2 SoitSl’ensemble des solutions deE, on obtient : 2 14 1 S={( +x4,+x4,1 +x4, x4que) telsx4∈R}, 3 23 2 2 41 1 S={(, ,1,0) +x4(,1, ,1) telsquex4∈R}. 3 32 2 2 4 Ve´riﬁcationulee(Lru´vceetreqareﬁi, ,1,0) est bien solution de 3 3  x1+x2−x3−x4= 1(E1)   x1+x2+x3−2x4= 3(E2) (∗E) 2x1−x2+ 2x3−x4= 2(E3)   3x1+ 3x3−3x4= 5(E4). 1 1 et que (,1, ,omogdith`emesysta`(ice´saose`enudnoitulostse)1∗E) : 2 2  x1+x2−x3−x4= 0)   x1+x2+x3−2x4= 0 2x1−x2+ 2x3−x4= 0   3x1+ 3x3−3x4= 0.

Solution de 3)  ! −7 3−11 AB=. −2 1−3 La matriceBAn’a pas de sens.  ! 213−9 A=AA=. 3−2 2 La matriceBn’a pas de sens.  ! ! ! −1 04 3−2 3 A+ 2 Id2= +2 =. −0 11 1−1 3