Notes de cours Biostatistiques MIV L3 Theoreme central limite

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

cours - matière potentielle : biostatistiques

Notes de cours Biostatistiques – MIV (L3) Theoreme central limite M. Bailly-Bechet Universite Claude Bernard Lyon 1 – France 1 Developpements limites, moments et theo- reme central limite 1.1 Developpements limites . On aborde ici de maniere tres pratique la theorie des developpements limites. La formule a retenir est la suivante : si est petit, on a f(x+ ) = f(x) + df dx + 2 2! d2f dx2 + 3 3! d3f dx3 + . . . (1) Il faut bien sur que la fonction f soit derivable n fois en x pour appliquer cette formule a l'ordre n. Les idees clefs de cette formule sont : – L'ordre de grandeur de chaque terme diminue, car les puissances de augmentent et est suppose petit. – Si on ne garde que les deux premiers termes, on trouve une approxima- tion courante, a savoir qu' on approxime localement une fonction par sa tangente – On peut parfois trouver l'ecriture f(x+ ) = f(x) + dfdx +O( 2), ce qui veut dire que les termes supplementaires sont d'ordre de grandeur 2. Cette formule, que l'on peut demontrer exactement (formule de Taylor, 1714), est a l'origine de nombreuses simplifications connues en mathema- tiques.

polynome de degre

formule generale du dl

formule

formule de developpement de l'exponentielle en serie entiere

moment

dl ordre

developpement

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Notes de cours Biostatistiques – MIV (L3) Th´eor`emecentrallimite

M. Bailly-Bechet

Universite´ClaudeBernardLyon1–France

De´veloppementslimit´es,momentsetth´eo-re`mecentrallimite

1.1De´veloppementslimite´s . Onabordeicidemani`eretr`espratiquelathe´oriedesde´veloppements limit´es.Laformule`aretenirestlasuivante:siest petit, on a

2 2 3 3 df  d f  d f f(x+) =f(x) ++ + +. . .(1) 2 3 dx2!dx3!dx Il faut bien sur que la fonctionfvireelbaos´dtinfois enxpour appliquer cetteformule`al’ordren. Leside´esclefsdecetteformulesont: – L’ordre de grandeur de chaque terme diminue, car les puissances de augmentent ettseseps´poup.tite – Si on ne garde que les deux premiers termes, on trouve une approxima-tioncourante,a`savoirqu’onapproximelocalementunefonctionpar sa tangente df2 –Onpeutparfoistrouverl’´ecrituref(x+) =f(x) ++O(), ce qui dx 2 veutdirequelestermessuppl´ementairessontd’ordredegrandeur. Cetteformule,quel’onpeutd´emontrerexactement(formuledeTaylor, 1714),est`al’originedenombreusessimpliﬁcationsconnuesenmath´ema-x e−1 tiques. Par exemple, on dit souvent en terminale quelimx−>0= 1. Ceci x

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