Niveau: Supérieur GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Notes de MGeom2 (1997–1998) Chris Peters Universite de Grenoble I Saint-Martin d'Heres, France 27 Janvier 2000
variete differentiable
espaces topologiques
droites passant par l'origine de rn
espace quotient de rn par la relation d'equivalence determinee
Ce cours est la suite du cours ”MGeom I”. Les notions suivantes sont supposees connnues : ´ 1.Lanotiond’unesous-varie´t´edeRn, 2. Lanotion de vecteur tangent et cotangent, 3.Formesdiff´erentiablessurRnofedsemrfie´dseinrdsuouesrtveesdetint´egrationRne´eegedd n,tcapmoctroppsu`aet 4.Lespartitionsd’unite´subordonn´ee`aunrecouvrementouvertd’unesous-vari´ete´deRn.
Voici un liste partielle des livres qu’on pourra consulter. Re´f´erences Livres [A] Auslander, L., R. MacKenzie: Introduction to Differentiable Manifolds, Dover (1977), CommentairenuettxcealssqieuC’estlituN.seaevi`rtuecavsedercxeesic.uosrenadesbieaucapt´ [B-Jinger(19ogie,SpraitlpoloiDeffertn,)37o¨kc]rBrhu¨fniEeidnignuK..,,Terh:icanJ¨ Commentaire§1–§ilutpoes5ntsociceexerupd’aucoayeb;sliocruruel.reainteme´le´e´sopxE.s [B-T (1982),] Bott, R., L. Tu: Differential forms in algebraic topology, Springer Verlag CommentaireSeul certaines paragraphes du premier Chapitre sont utiles; l’exposition est un peu tropavancee,maislasuitedeMayer-Vietorisestbienexplique´e. ´ [R0),riVae:.d,GamRh]neat´ffreseide´´t(196mann,Herbles Commentaireehe´rpmosednoisnletituonacrlouspiprtCsahItsIseeILeleelestformesdiff´erenti pourl’integration.Expose´avance. ´ ´ er, F.W.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie groups, Springer Verlag [W99)3,]nra1W( Commentaireauveoutrnyupcoaubeicrexe’deviN.secletitosessretuonhcsetipamerpre`iLestrois interm´ediaire. Article [B L. E. J.: Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl, Math. Ann.] Brouwer,70(1911), 161–152
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Chapitre1.Vari´et´esdiff´erentiables
§ de base1. Notions
1.1.D´efinition.Unepolo´etoegiqu´itevrade dimensionnpa´eer´potocepaesqugilosenutseX localementhome´omorphea`Rn. Donc chaque pointx∈Xadmet une voisinage ouvertUtuedeemsihpromoe´mohnUsur un ouvert deRn: h:U→h(U)⊂Rn h(x) = 0. On appelle (U h)une carte locale autour dex. Les fonctionsy7→xj(yseinfie´drap) h(y) = (x1(y) . . . xn(y)) s’appellentocro´eessdonnli´eesealsoscoac. 1.2. Remarques. 1.Ilyadesespacestopologiquesnon-se´pare´esetlocalementhom´eomorphes`aRn. 2. Le nombrene´datinfiderulsnaqfiguieacspid-a`-tsenu’uqerologttop,c’eiquetsnuoienirnaniav topologiques´epare´nepeutpasenmˆemetempsˆetrelocalementhome´omorphe`aRn`aetRm, m6=nr([ouwe`aBr,duenttuesC’.elicffiideme`roe´hBr]). On verra plus tard que pour les varie´te´sdiffe´rentiablescelad´ecouleimm´ediatementduth´e`medesfonctionsimplicit eor es. 3. Souvent on exige de plus queXsoitparacompactesadee´onbmarlbdee.c,.d`adm.ateetebun la topologie.
1.3. Exemples. 1. Un ouvert deRneirde´tmideisneonestunevan. ´ 2.Unesous-varie´t´edeRnde dimensionmnutse)1mte´iravemedide´enions(MGeovoirm, 3. SiXetYonsisontdeuxvsdsdeminera´itee´n, resp.m, le produitX×Yede´et´variseenut dimensionn+m, 4. Un tore de dimensionnest l’espace quotient deRntereim´nee´ed’ivquenald´cepalraalernoit par un reseau ´ Γ =Ze1⊕Ze2∙ ∙ ∙ ⊕Zen ou`{e1 . . . en}est n’importe quelle base deRntuneC’es´et´vari.onsiededenimn. 5. L’espace projectivePn(R) des droites passant par l’origine deRn+1nemidede´te´iravnetues-sionn. 6. L’espace projectivePn(C) des droites passant par l’origine deCn+1nutsete´iravemedide´en-sion 2n.
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SoitXiqogolopn.Uueenavu´tteire´atlasest un recouvrement{U h}deXpar des cartes. Les fonctions de transitionhU V´efiniesssontd(esrtcauxdedenoitcesretni’lruU h) et (V k) par la formule hU V=k◦h−1:h(U∩V)→k(V). Ce sont des applications parmi des ouverts deRnet on peut donc se demander si ces fonctions sont de´rivables.SilesfonctionsdetransitionsontC∞on parledu’elbaentiff´erasdinatl. 1.4.De´finition. 1. Uneneitbaele´id´ffreeti´arvri´et´etestunevaumeu’dinlopoqigo´eiffntreatunsdlae.iabl 2. Unepplianoidacitneit´ffreleabesestuneapplicatoicnnoitun,etreneti´areve´ffidse´lbaitner localementd´erivabledanslescartes. 3. Unemsihpromoe´ffida-erff´tienosesidtii’lerevnticalippeaunstelequetelctivbijebaelneit´ffrenoid ble.S’ilyaundiff´eomorphismeentredeuxvari´ete´s,cesdeuxvarie´t´essontidmorpff´eohes. 1.5. Exemple.suotxe’dlpmeedsescledei-usssntsoertnailbse.svari´et´esdiff´eexpmeLes 1.6.De´finition.Un sous-espaceZleabte´iide´re´ffitned’unevarX(de dimensionn+k) est une sous-vari´et´esi chaque pointzdeZadmet une carteUneer´ntcezsseolacelordonn´eavecco {x1 . . . xn+k}telles que U∩Z={y∈U;xn+1(y) =. . .=xn+k(y) = 0}. Le nombreks’appelle lacodimensiondeZ. Unesous-varie´te´commeci-dessusestelle-mˆemeunevariete´diff´erentiable(dedimension=n): ´ onprendcommeunatlaslar´euniondesU∩Zci-dessus lorsquez∈ZparcourtZ. 1.7. Exemples. 1.Unsous-espaca`elPineairede(.)n´Rn+m+1de dimensionnouesunitfin´e1d+ede´te´irav-sPn+m(R) diffe´omorpheR 2.Conside´ronsl’application
f: [02π]→R2 f(t cos() = (2t−2π)sin 2(t−π2)). L’imagen’estpasunesous-vari´et´eduplan,carl’origineestunpoint’double’.Onpeute´viter decre´erunpointdoubleenconside´rantlarestrictiong=f|]02π[ qui est un bijection sur l’image, mais l’image deg´irav-srac,e´tnusauose’nptsegastpesn’eom´hounihmsomprseru e son image.
§ tangent et cotangent2. L’espace
2.1.D´efinition.SoitXetnuvera´ite´ediff´erentiablex∈Xun point. 1. Unegerme d’une fonctionenxeclastuneelcniuav´’qessdeonti´esdesedncfosedseinfinads voisinages ouvertes dexnois`dre,e`ooucnfetgnadsse´tnelagiellessoalentesseme´uqvicmo une voisinage dexmpcondeitio´efinededamnielodadsniresfet deg. 2. Unegerme de courbeenxunstesaaspantrelcndeseocruebpseclassed’´equivax,oon`u conside`redeuxcourbesγ:]−a a[→X γ(0) =xetγ0:]−a0 a0[→X γ0(0) =xcomme e´quivalentessiγ=γ0sur une voisinage de 0.