PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Notions de logique et rédaction mathématique Afin de se comprendre, il est bien commode de parler la même langue : les mathématiciens utilisent plus ou moins le language de la logique pour rédiger les démonstrations de leurs théorèmes. L'objectif de ces quelques notes est de poser un peu de vocabulaire et de vous familiariser avec les bonnes manières de composer vos textes mathématiques : n'oubliez jamais que vous rédigez vos devoirs pour être lu ! ! ! 1 Généralités sur les propositions 1.1 Vocabulaire Définition 1.1. Une proposition est un énoncé concernant un objet ou une relation entre objets mathématiques. Exemples de propositions : – « la fonction f : R? R, x 7? x3 est croissante », – « la fonction g : R? R, x 7? x sin(x) est bornée ». – « si x2 = y2 alors x = y ». – P (n) = « L'entier naturel n est pair et n ≥ 6 ». – « 12 est un nombre entier si et seulement si 3 2 est un nombre entier ». On affecte aux propositions une valeur de vérité : une proposition est soit vraie soit fausse (c'est le principe du tiers exclu). Le travail du mathématicien est de déterminer si une proposition est vraie ou fausse. Il procède par déduction à partir de propositions qu'il sait être justes ou de propositions admises comme vraies (un axiome).

• équivalences successives


• rédaction mathématique


• triangle du plan euclidien


• q?


• raisonnement par équivalences


• language de la logique

Sujets

• Mathématiques

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Extrait

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Notions de logique et rédaction mathématique

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Afin de se comprendre, il est bien commode de parler la mme langue : les mathématiciens utilisent plus ou moins le language de la logique pour rédiger les démonstrations de leurs théorèmes. L’objectif de ces quelques notes est de poser un peu de vocabulaire et de vous familiariser avec les bonnes manières de composer vos textes mathématiques : n’oubliezjamaisque vous rédigez vos devoirs pour tre lu! ! !

1 Généralitéssur les propositions

1.1 Vocabulaire

Définition 1.1.Une proposition est un énoncé concernant un objet ou une relation entre objets mathématiques.

Exemples de propositions : 3 – «la fonctionf:R→R, x7→xest croissante », – «la fonctiong:R→R, x7→xsin(x)est bornée ». 2 2 – «six=yalorsx=y». –P(n)= « L’entier naturelnest pair etn≥6». 1 3 – «est un nombre entier si et seulement siest un nombre entier ». 2 2 On affecte aux propositions une valeur de vérité : une proposition est soit vraie soit fausse (c’est le principe du tiers exclu). Le "travail" du mathématicien est de déterminer si une proposition est vraie ou fausse. Il procède par déduction à partir de propositions qu’il sait tre justes ou de propositions admises comme vraies (un axiome). La logique mathématique est l’étude des règles que doit respecter une déduction correcte.

1.2 Lesconnecteurs logiques

A partir d’une ou plusieurs propositions, on peut construire d’autres propositions à l’aide de la négation et des connecteursou,et. Définitions 1.2. ¯ •SiPest une proposition, on appelle « nonP» (ouP) la négation deP. •SiPetQsont des propositions, on peut considérer : – la proposition «PouQ»qui est vraie lorsqu’au moins une des deux propositionsP,Qest vraie ; – laproposition «PetQ»qui est vraie lorsque les deux propositionsPetQ;sont vraies

Les connecteursouetetse comportent vis à vis de la négation de la manière suivante : Propriétés 1.3. •les propositions « non(PetQ)» et «(nonP)ou(nonQ)»ont les mmes valeurs de vérité; •les propositions « non(PouQ)» et «(nonP)et(nonQ);»ont les mmes valeurs de vérité •la proposition « (non P)etP; la proposition «»est toujours fausse(non P)ouP»est toujours vraie.

Exercice 1.Ecrire la négation de la propositionP(n)de l’exemple suivant la défintion 1.

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1.3Implication

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Définition 1.4.SoientPetQdes propositions. La propositionP⇒Q(PimpliqueQ) est la propo- sition «(nonP)ouQ».

LorsqueP⇒Qest vraie : •SiPest vraie, alorsQest vraie. •Pour queQsoit vraie, il suffit quePsoit vraie :Pest la propositionsuffisante. •Pour quePsoit vraie, il faut queQsoit vraie :Qest la propositionnécessaire. On peut aussi utiliser le vocabulaire suivant :PdoncQ;Qest une conséquence deP;Qrésulte de P...

B La propositionP⇒Qpeut-tre vraie sans quePle soit. Exemple : «1 = 0⇒2 = 1»est vraie mais «1 = 0»ne l’est pas!

La négation deP⇒Qest «Pet nonQ».

Défintion.L’implicationréciproquedeP⇒Qest la propositionQ⇒P.

Défintion.La contraposée deP⇒Qest la proposition(nonQ⇒nonP).

• B Une implication et sa réciproque n’ont pas toujours la mme valeur de vérité! •!Une implication et sa contraposée ont toujours la mme valeur de vérité

Exemples : 1. Considéronsles propositionsP»et: «Maurice est un chatQ: «Maurice est un animal». La propositionP⇒Qest vraie mais la réciproqueQ⇒Pest fausse. La contraposée nonQ⇒nonP est vraie : si Maurice n’est pas un animal alors Maurice n’est pas un chat! 2. Soitune fonctionfdéfinie sur un intervalleI⊂Retx 0 ∈I. Considérons les propositionsP: «fest dérivable enx 0 » etQ: «fest continue enx 0 ». (a)P⇒Qest vraie. (b) Lacontraposéenon Q⇒non Pest donc vraie (sifn’est pas continue enx 0 alors elle n’est pas dérivable enx 0 ). (c) La réciproqueQ⇒Pest fausse : il existe des fonctions qui sont continues sans tre dérivables (exemple : la valeur absolue en0). 3. SoitABCun triangle du plan euclidien. Considérons les propositionsP: «ABCest rectangle 2 2 2 enA» etQ: «BC=AC+AB». (a)P⇒Qest vraie. 2 22 (b) Lacontraposéenon Q⇒non Pest donc vraie (siBC6=AC+ABalorsABCn’est pas rectangle enA). (c) LaréciproqueQ⇒Pest vraie!

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1.4 L’équivalence Définition 1.5.La propositionP⇔Q(Pest équivalente àQ) est la proposition : «P⇒QetQ⇒P».

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LorsqueP⇔Qest vraie : •PetQont mme valeur de vérité;Pest vraie si et seulement siQest vraie. •Pour quePsoit vraie,il faut et il suffitqueQsoit vraie :Qest une condition nécessaire et suffisante.

Le raisonnement par équivalences.On souhaite montrer une propositionP 1 . On établit succes- sivement des propositionsP 2 ,P 3 , ...,P n telles que 1. Pourtouti∈ {1, ..., n−1},P i etP i+1 sont équivalentes. 2.P n est vraie. AlorsP 1 est vraie. 1 Exemple.Montrer que pour tout réelx >0, on ax+≥2. Soit un réelx >0. x 1 x+≥2 x 2 ⇔x+ 1≥2xcarx >0 2 ⇔x−2x+ 1≥0 2 ⇔(x−1)≥0 Or cette dernière assertion est vraie. Donc la première affirmation est vraie par équivalence successives. 2 Exercice 2.Montrer par équivalences successives que pour touth∈R,ln(h+ 1)≥0.

2 Lesquantificateurs

2.1 Généralités

Les quantificateurs sont des symboles permettant d’écrire des énoncés mathématiques de manière plus synthétique : • ∀: quantificateur universel. Il signifie "quel que soit", "pour tout"... • ∃: quantificateur existentiel. Il signifie "il existe (au moins un)", "il y a (au moins) un "... Exemples. + 2+ 2 •«∀y∈R,∃x∈R, y=x»se lit «pour touty∈R, il existex∈Rtel quey=x; •Soit une fonctionf:R→R; «∃x∈R, f(x) = 1se lit « il existe» ;x∈Rtel quef(x) = 1». •Soit un entiern; «∃k∈N, n= 2k» : signifie « l’entiernest pair ».

Exercice 3.Ecrire à l’aide de quantificateurs la proposition suivante : « L’applicationf:R→Rest majorée. »

Exercice 4.?Laquelle des deux propositions ci-dessous est vraie –∀x∈R, f(x)g(x) = 0⇒(∀x∈R, f(x) = 0)ou(∀x∈R, g(x) = 0) –∀x∈R, f(x)g(x) = 0⇒ ∀x∈R,(f(x) = 0)ou(g(x) = 0)

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B Attention, lorsqu’on change l’ordre de deux quantificateurs∀et∃dans un énoncé, on change en général le sens de l’énoncé. Exemple. 2 •L’affirmation «∀y∈R + ,∃x∈Rtel que,y=x» est vraie. 2 •Mais l’affirmation «∃x∈Rtel que,∀y∈R + , y=x!» est fausse

Exercice 5.Laquelle des deux propositions ci-dessous est juste? 1. «∃n∈N,∀m∈N, m≤n». 2. «∀m∈N,∃n∈N, m≤n»

Par contre, on peut intervertir l’ordre de deux quantificateurs identiques sans changer le sens de la proposition. Exemple :«∀x∈R,∀y∈R,|x+y| ≤ |x|+|y|» peut s’écrire «∀y∈R,∀x∈R,|x+y| ≤ |x|+|y|. »

2.2 Négation NotonsP(x)une proposition dépendante dex. Négation d’une proposition universelle : •soitP: «∀x∈E, P(x)est vraie» ; •non Ps’écrit : «∃x∈E,tel queP(x)est fausse» ;

Négation d’une proposition existentielle : •soitP: «∃x∈E,tel queP(x)est vraie» ; •non Ps’écrit : «∀x∈E, P(x)est fausse» ; Exemples. •Il existe (au moins) un élève»est «Tous les élèves de la classe sont des fillesLa négation de « de la classe qui n’est pas une fille » •Soitf:R→Rune fonction. La négation de la proposition «∃x∈R,tel quef(x)>0» est «∀x∈R, f(x)≤0».

Exercice 6.Ecrire à l’aide de quantificateursla négationdes propositions suivantes : x 1. Ilexiste un réelxtel quex≥e. 2. Lafonctionf:R→Rest majorée. 3. lafonctionfest nulle sur l’intervalle]0; +∞[ 4.∀x∈R,∃y∈R, f(x)> f(y). 5.∀ε >0,∃α >0,(|x| ≤α⇒ |f(x)| ≤ε)

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