PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2010-2011 T P d ' i n f o r m a t i q u e P o l y n o m e s e t d e v e l o p p e m e n t s l i m i t e s I Manipulation de polynomes Un polynome se definit tres simplement dans Maple : > P:=x^2+x+1; > type(P,polynom(complex,x)) On vient de definir un polynome a coefficients complexes d'indeterminee x. On peut bien entendu definir des polynomes en d'autres indeterminees voire des polynomes de plusieurs variables > Q:=x^2+y^2+x*y+1; 1. Manipulation algebrique Voici quelques exercices ou il faut employer des commandes Maple dediees. Il faudra employer a bon escient les commandes suivantes ( ? nom commande) : sort ; expand ; quo ; subs ; rem ; divide ; coeff ; degree ; eval 1. Presenter sous forme developpee et ordonnee le polynome (X ? 1)(X2 + 1)5. 2. Determiner le quotient et le reste de la division euclidienne de X13 + 11X7 +X5 ? 5X3 + 2X + 1 par X9 +?X3 ? 4X2 ? 3.

• programme recursif pour le calcul de la factorielle


• racine du polynome


• polynome


• polynomes


• calcul de pgcd


• algorithme d'euclide


• division suivant les puissances croissantes

Sujets

• Polynôme
• Algorithme d'Euclide

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2010-2011
P o l y n oˆ m e s e t d´e v e l o p pe m e n t s l i m i t´e s
ˆI Manipulation de polynomes
Un polynˆome se d´efinit tr`es simplement dans Maple :

> P:=x^2+x+1;
> type(P,polynom(complex,x))

On vient de d´efinir un polynomeˆ `a coefficients complexes d’ind´etermin´ee x. On peut bien entendu d´efinir des
polynˆomes en d’autres ind´etermin´ees voire des polynomesˆ de plusieurs variables

> Q:=x^2+y^2+x*y+1;

1. Manipulation alg´ebrique
Voici quelques exercices ou` il faut employer des commandes Maple d´edi´ees. Il faudra employer a` bon escient
les commandes suivantes (? nom commande) :
sort; expand; quo; subs; rem; divide; coeff; degree; eval
2 51. Pr´esenter sous forme d´evelopp´ee et ordonn´ee le polynomeˆ (X−1)(X +1) .
1 7 5 32. D´eterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de X 3+11X +X −5X +2X +1 par
9 3 2X +−X −4X −3.
P6 k3. D´eterminer la valeur en j du polynome X .k=0
9 74. Soienta etb deux r´eels fix´es. D´eterminer le quotient et le reste de la division euclidienne deX +aX +
3X +1 par X +b.
P29 k 25. Montrer que le polynomeˆ X est divisible par 1+X +X .k=0
Q500 k6. D´eterminer le coefficient du terme de degr´e 1000 du polynomeˆ R = (X +1).k=1
7. Quel est le degr´e du polynomeˆ R?
10X
2 k k8. Soient P(X) =X +1 et Q(X) = 2 X . D´eterminer le polynomˆ e P(Q(X)).
k=0
2. Factorisation. Racines
Les commandes `a employer sont factor, solve et fsolve
1. Factoriser les polynomesˆ suivants
√
2 2 2 5 4 2 2X −1 ; X −2 ; X +1 ; X −1 ; X +X +1 ; X +2 2X +2.
On pr´ecisera si la factorisation obtenue s’effectue dansR[X] ouC[X].
1
'uqrneafioidtPTm2. CommentforcerlacommandefactorpourobtenirlafactorisationdansC[X]?D´eterminerlafactorisation
complexe des polynomesˆ
2 5 4 2X +1 ; X −1 ; X +X +1.
3 23. D´eterminer les racines du polynˆome 8x +4x −4x−1.
3. Polynˆome it´er´e
Programmation r´ecursive : rappel Il est fr´equent en informatique d’´ecrire un programme qui fait appel
`a lui-mˆeme dans le corps du programme, l’id´ee ´etant que les appels au programme sont plus facile `a traiter et
qu’on arrive au bout d’un certain nombre d’appels a` une situation connue (cas d’arrˆet des appels r´ecursifs).
Ce mode de programmation est dit r´ecursif, par opposition au mode de programmation it´eratif.
On peut ainsi ´ecrire un programme r´ecursif pour le calcul de la factorielle d’un entier. Tout part de
l’observation suivante : (n+1)! = (n+1)×n! et 0! = 1. Le programme r´ecursif conduisant au calcul den! est
alors le suivant :
’ $
> factorielle:=proc(n)
> local fact;
> if n=0 then fact:=1;
> else fact:=n*factorielle(n-1);
> end if ;
> fact;
> end proc;
& %
On peut rajouter l’option remember au programme ci-dessus. Appelons factorielle remember la proc´edure
ainsi d´efinie. Comparer le temps de calcul entre les deux proc´edures ainsi obtenues.
[n]polynˆomesit´er´es SoitP ∈K[X].Ond´efinitlen-i`emeit´er´eP dePparr´ecurrencedelamani`eresuivante:
[0] [n] [n−1]P =X et si n≥ 1,P (X) =P (P(X)).
Autrement dit :
[2] [3]P (X) =P(P(X)),P (X) =P(P(P(X))),...
2 [3]1. On pose A =X +X +1. Calculer et pr´esenter sous forme d´evelopp´ee le polynˆome A (X).
[3]A (X) =
2. R´ealiser une proc´edure, dont les variables d’entr´ees sont un polynomeˆ en une ind´etermin´ee X et un
[n]nombre entier n, qui renvoie le polynomeˆ P (X) sous forme d´evelopp´ee ( On demande de r´ediger deux
proc´edures : l’une selon un mode it´eratif (une boucle for interviendra) et l’autre selon un mode r´ecursif).
[8]3. Calculer A (X).
4. On peut montrer le r´esultat suivant :
[n]Pour tout P ∈K[X] et tout entier n∈N, P(X)−X divise P (X)−X.
[8] [8]V´erifier ce r´esultat sur A (X) et calculer le quotient de la division euclidienne de A (X)−X par
A(X)−X.
´ ´II Developpements limites
L’id´ee est d’approcher une fonction donn´ee par un polynˆome. On veut alors estimer l’erreur commise. Les
commandes a` utiliser sont taylor et series
21. Ex´ecuter la commande series(sin(x),x=0). Que se passe-t-il si on relance la commande apr`es avoir
tap´e Order :=10;?
2. Que fait la commande convert(series(sin(x),x=0),polynom)? Tracer sur un mˆeme graphique la
courbe repr´esentative de sinus et des polynomesˆ obtenus grace `a la commande pr´ec´edente lorsqu’on
affecte a` la variable Order les valeurs 5; 10 et 20.
3sin(x)−x+x /6
3. Tracer . Qu’observez-vous?3x
4. Comparer convert(series(sin(x),x=0),polynom)^2 et convert(series(sin(x)^2,x=0),polynom).
5. Ex´ecuter les commandes suivantes :
P := convert(series(sin(x),x=0),polynom); Q :=convert(series(exp(x),x=0),polynom); subs(x=P,Q);
convert(series(exp(sin(x)),x=0),polynom);
π6. Reprendre les deux premi`eres questions avec x = .
2
III Euclide et les autres
1. Division euclidienne
1. G´en´erer deux polynomesˆ al´eatoires A et B de degr´e arbitraire a` l’aide de la commande randpoly (>?
randpoly)
2. Taper la commande
> Order :=1 : series(A/B,x=infinity) :
3. Comparer le r´esultat retourn´e avec la commande
> quo(A/B,x=infinity) :
On admettra que l’observation effectu´ee sur chacun des postes de la salle informatique se g´en´eralise a`
l’ensemble des postes de la Terre tournant sur Maple.
2. Division suivant les puissances croissantes
‘ m ∗SoientA =A +···+A X etB =B +···+B X deux polynomesˆ avecB = 0 etn∈N . La division0 ‘ 0 m 0
suivant les puissances croissantes de A par B d’ordre n consiste `a trouver un couple (Q,R) de polynˆomes ou`
deg(Q)≤n tels que :
n+1A =QB +X R.
L’exemple qui suit montre comment proc´eder :
3 5Exemple : A =X +X +X ; B = 1+X; n = 3.
3 5X +X +X 1+X
2 2 3X +X X−X +2X
2 3 5−X +X +X

2 3 2 3 4−X −X On a donc obtenu : A = X−X +2X B +X (−2+X).
3 52X +X
3 42X +2X
4 5−2X +X
1. Ecrire une proc´edure div_croissante qui prend en entr´ee A; B et n avec les restrictions ci-dessus et
qui retourne le couple (Q,R) obtenu une fois la division suivant les puissances croissantes effectu´ees.
2. Appliquer la proc´edure avec A ´egal a` la partie r´eguli`ere du D.L. de sin en 0 a` l’ordre 15; B la ´egal `a
partie r´eguli`ere du D.L. de cos en 0 a` l’ordre 15 et n = 15.
3. Calculer le D.L. `a l’ordre 15 en 0 de tan. Observation?
3
63. Calcul de PGCD : Algorithme d’Euclide
Etant donn´es deux polynˆomes A∈K[X] et B∈K[X] ou` B = 0, on d´efinit le P.G.C.D. de A et B comme
le polynˆome unitaire de degr´e le plus ´elev´e qui divise a` la fois A et B.
3 4 3 2 2Exemple : A = 2X −2; B =x +2x +3x +2x+1. Leur P.G.C.D. est le polynomeˆ X +X +1.
L’id´ee de l’algorithme d’Euclide repose sur l’observation suivante :
PGCD(A,B) = PGCD(B,R),
2ou` R est le reste de la division euclidienne de A par B. Autrement dit : A =QB +R avec (Q,R)∈K[X] et
deg(R)< deg(B).
PGCD euclide(A,B)
Entr´ee : A,B∈K[X] avec B = 0.
Sortie : le PGCD de A et B.
P :=A :R :=B :S :=B :
tant que R = 0 faire
R := reste de la division euclidienne de P par R;
P :=S :
S :=R :
fin faire;
P
Retourner ;
dom(P)
Fig. 1 – Algorithme d’Euclide
Ecrire une proc´edure pgcd qui calcule le P.G.C.D. `a l’aide de l’algorithme d’Euclide ci-dessus.
4
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