Pierre Bérard Institut Fourier UMR CNRS UJF

Pierre Bérard

Description

Niveau: Supérieur
Pierre Bérard Institut Fourier UMR 5582 CNRS – UJF Université Joseph Fourier, Grenoble Can one hear the shape of a drum ? Mark Kac – 1966 (1914 – 1984)

• preuve élémentaire


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• géométrie spectrale

Sujets

• Fourier
• 21699 Wolpert
• Berard
• Mark Kac
• Géométrie spectrale

Informations

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Extrait

Pierre Bérard Institut Fourier UMR 5582 CNRS – UJF Université Joseph Fourier, Grenoble

Can one hear the shape of a drum ? Mark Kac – 1966

(1914 – 1984)

NON

On ne peut pas entendre la forme d’un tambour

Contre-exemple

Carolyn Gordon, David Webb et Scott Wolpert

1992

Autres contre-exemples

Carolyn Gordon et David Webb

è 1 er  partie

Quel sens donner à la question

Peut-on entendre la forme d’un tambour ?

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Spectre du Laplacien.

Qu’est-ce que la géométrie spectrale ?

On ne peut pas entendre la forme d’un tambour, une preuve élémentaire mais mystérieuse.

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•

•

2 nde partie

Les dessous de la preuve

Groupes et combinatoire.

Construction combinatoire de surfaces.

On ne peut pas entendre la forme d’un tambour, autre preuve.

Modélisation mathématique des mouvements d’une corde vibrante homogène et parfaitement élastique, fixée en ses extrémités (d’Alembert)

désormais,τ/ρ= 1 pour simplifier

Solution générale de l’équation des ondes

(changement de variable)

u(x,t) = f(x – t) + g(x + t)

Solutions particulières de l’équation des ondes avec conditions au bord ci-dessus

(séparation des variables)

u k (x,t) = a sin (λ k t +ϕ) sin (λ k x)

avecλ k = kπ/L, k≥1 a,ϕdes constantes arbitraires

Solution générale de l’équation des ondes avec conditions au bord ci-dessus

(principe de superposition)

u   (x,t) = Σ a k sin (λ k t +ϕ k ) sin (λ k x)

Le dernier point utilise le fait qu’une fonction f, assez régulière, définie sur l’intervalle [0,L], est

 développable en série de Fourier en sinus,

de la forme

Σ k≥1 a k sin (λ k x)

avec

 λ k = kπ/L

λ 2

([0,L]),

une famille totale de fonctions propres

– (d/dx) 2 sin ( k x) = k sin ( k x) sin (λ k x) | x = 0  ( = sinλ k x) | x = L = 0

avec condition de Dirichlet au bord

sin (λ k x) oùλ k = kπ/L, avec k≥1

po’ltaré – rue /d(  pr ou dx) 2 λ   λ er , dans L 2 ucalirétd  eofmrt on platiar  sofeLnoscnit

Plus généralement, étant donné un domaine M, on cherche lesfonctions / valeurs propres du Laplacien dans M, avec conditions au bord de Dirichlet ou de Neumann,c’est à dire les couples (u,λ) non- triviaux qui vérifient

problème de Dirichlet

problème de Neumann

–Δ 

u =λu dans M

 u = 0 sur∂M

–Δ = uλu dans M

    ∂ suru = 0∂M

    n