PROBL`EMES INVERSES
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Master, Supérieur, Master PROBLEMES INVERSES Master recherche – Ecole Centrale de Paris Mention Matiere, Structures, Fluides, Rayonnement Specialite Dynamique des Structures et Systemes Couples octobre 2008 Marc BONNET Directeur de recherche CNRS, Laboratoire de Mecanique des Solides, UMR CNRS 7649 Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau cedex telephone: (1)-69333327, telecopie: (1)-69333026 courrier electronique:
  • reconstruction de conditions aux limites inaccessibles
  • criteres de choix
  • methodes d'investigation des problemes inverses
  • problemes directs
  • modele physique
  • choix suivant des criteres additionnels
  • caractere mal
  • probleme inverse
  • solutions
  • solution

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Exrait

`PROBLEMES INVERSES
Master recherche – Ecole Centrale de Paris
Mention Mati`ere, Structures, Fluides, Rayonnement
Sp´ecialit´e Dynamique des Structures et Syst`emes Coupl´es
octobre 2008
Marc BONNET
Directeur de recherche CNRS,
Laboratoire de M´ecanique des Solides, UMR CNRS 7649
Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau cedex
t´el´ephone: (1)-69333327, t´el´ecopie: (1)-69333026
courrier ´electronique: bonnet@lms.polytechnique.fr2Table des mati`eres
1 Introduction 5
1.1 Pr´eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Probl`emes directs, probl`emes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Gravim´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Identification de sources ou de sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Probl`emes inverses associ´es aux vibrations de structures. . . . . . . . . . . 13
1.7 Tomographie, imagerie, contrˆole non destructif . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Probl`emes inverses avec g´eom´etrie inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Probl`emes mal pos´es 21
2.1 Exemples de probl`emes mal pos´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Analyse en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 La dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Stabilisation de l’inversion 37
3.1 R´egularisation au sens de Tikhonov et applications. . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Un exemple unidimensionnel semi-analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Approche probabiliste des probl`emes inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Elements de comparaison des deux approches. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Un exemple d’inversion gaussienne lin´eaire en variable complexe . . . . . . 64
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Identification de grandeurs distribu´ees 73
4.1 Probl`eme de la reconstruction de la conductivit´e thermique . . . . . . . . . 74
4.2 Probl`eme de la reconst de constantes ´elastiques . . . . . . . . . . . 80
4.3 R´esolution num´erique du probl`eme inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Exemples num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Reconstruction de d´eformations ou contraintes r´esiduelles . . . . . . . . . . 92
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Minimisation de fonction-coutˆ et m´ethode d’´etat adjoint 97
5.1 Aper¸cu de quelques m´ethodes de minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Minimisation d’une fonctionnelle quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 M´ethodes d’´evaluation du gradient : discussion . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3`4 Table des matieres
5.4 M´ethode de l’´etat adjoint en dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5 Etat adjoint et analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.6 Lin´earisation, ´equations d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.7 Etat adjoint et probl`emes d’´evolution non-lin´eaires . . . . . . . . . . . . . 113
5.8 Identification de domaines inconnus par ´equations int´egrales de fronti`ere . 116
5.9 Algorithmes ´evolutionnaires : principe et exemples . . . . . . . . . . . . . . 120
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Bibliographie g´en´erale 125Chapitre 1
Introduction
Sommaire
1.1 Pr´eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Probl`emes directs, probl`emes inverses . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Gravim´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Identification de sources ou de sollicitations . . . . . . . . . . 10
1.5 Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles . . . . 11
1.6 Probl`emes inverses associ´es aux vibrations de structures . . 13
1.7 Tomographie, imagerie, contrˆole non destructif . . . . . . . . 15
1.8 Probl`emes inverses avec g´eom´etrie inconnue . . . . . . . . . . 17
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 Chapitre 1. Introduction
1.1 Pr´eliminaire
Qu’entend-on par «probl`eme inverse»? Cette question, en apparence simple, ne l’est
pastantquecela.D’unpointdevue«physique»ou«exp´erimental»,onqualifieravolon-
tiers de probl`eme inverse toute situation ou` l’on souhaite ´evaluer une certaine grandeur
physiquep inaccessible `a l’exp´erience `a partir de la mesure d’une autre grandeurd direc-
tement accessible `a l’exp´erience, connaissant un mod`ele math´ematique du probl`eme direct
qui donne explicitement d `a partir de p (ce que l’on note symboliquement d = G(p)).
Mais une telle d´efinition est trop vaste : en termes de math´ematiques, elle conduit pra-
tiquement `a appeler « probl`eme inverse » la r´esolution de toute ´equation (alg´ebrique,
matricielle, diff´erentielle, aux d´eriv´ees partielles, int´egrale...) ou la minimisation de toute
fonctionnelle, y compris dans les cas les plus classiques et les mieux connus.
Tous ces candidats au statut de « probl`eme inverse » peuvent ˆetre r´epartis en deux
classes. Ceux qui, pour toute mesure d, admettent une solution unique p continue par
˙rapport `ad sont dits « bien pos´es »Ils sont g´en´eralement r´esolus (de mani`ere exacte ou
approch´ee) par des m´ethodes classiques. On r´eserve g´en´eralement, dans la litt´erature, le
qualificatifd’«inverse»auxprobl`emes(a)d’inversion(b)malpos´es:l’existence,l’unicit´e
et/ou la continuit´e de la solution par rapport aux mesures ne sont pas toutes v´erifi´ees. Du
pointdevuephysique,celasignifiequ’unemesured,comptetenudelaplaged’incertitude
qui l’accompagne, peut correspondre `a un grand nombre de valeurs de p; ces derni`eres
pouvant ˆetre fort ´eloign´ees les unes des autres.
Laphysiquemath´ematiquealongtempsignor´elesprobl`emesmalpos´es,lesconsid´erant
soitd´enu´esdesensphysique,soitrefl´etantunemod´elisationinad´equate.Lar´ealit´eactuelle
est toute autre : le caract`ere fondamentalement mal pos´e de certains probl`emes (en gra-
vim´etrieparexemple)estreconnuetmotivedenombreusesrecherchesenmath´ematiques.
Outre des m´ethodes g´en´erales pour l’approche des probl`emes inverses que l’on verra
plus loin, de nombreux travaux math´ematiques traitent de l’identifiabilit´e d’une grandeur
donn´ee : voir par exemple Barcilon [10], Calderon [19], Colton et Monk [25], Friedman et
Vogelius [30], Kohn et Vogelius [35].
Les causes d’incertitude sont nombreuses :
• Les donn´ees ont une origine exp´erimentale, ce qui implique l’existence d’erreurs de
mesure.
• Elles sont collect´ees en nombre fini, mˆeme si, dans le mod`ele math´ematique, elles
sont d´ecrites par des fonctions.
• L’algorithme d’inversion lui-mˆeme peut parfois cr´eer une alt´eration des donn´ees :
interpolation requise pour la discr´etisation d’un mod`ele initialement continu par
exemple.
• Le mod`ele lui-mˆeme proc`ede d’une id´ealisation de la r´ealit´e physique et repose
sur des hypoth`eses simplificatrices, il est donc ´egalement une source d’incertitudes.
D’autant que certains param`etres du mod`ele (constantes physiques d’un milieu par
exemple) ne sont connus que de mani`ere exp´erimentale, donc approximativement.
La sensibilit´e des probl`emes inverses aux incertitudes induit un changement d’optique
important vis-`a-vis du concept de solution, car la recherche des solutions au sens strict
associ´ees par le mod`ele aux mesures d n’est plus un objectif suffisant. En effet, tout p
qui reproduit aux incertitudes pr`es, via le mod`ele physique, la mesured est une r´eponse a
priori possible au probl`eme inverse. Un probl`eme inverse, pour un mod`ele physique et une1.2. Probl`emes directs, probl`emes inverses 7
mesure donn´es, peut n’avoir aucune solution au sens strict mais beaucoup de solutions
«`a pr`es».
Toute « th´eorie de l’inversion » doit donc tenir compte du caract`ere ´eventuellement
incomplet, impr´ecis et/ou redondant des donn´ees. La strat´egie id´eale consisterait `a in-
ventorier l’ensemble complet des solutions « `a pr`es » de d = G(p), parmi lesquelles
on op´ererait ensuite un choix suivant des crit`eres additionnels (vraisemblance physique,
informations supplementaires a priori) afin de retenir la ou les solutions jug´ees vraisem-
blables.Unetelle «approcheexhaustive»posedes probl`emespratiques insur

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