Projet Bis Cottereau Laure et Dalissier Eric

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Projet Bis Cottereau Laure et Dalissier Eric 1 Le modele de croissance logistique 1.1 Question 1 Nous avons l'equation differentielle proposee par Verhulst en 1936 : N ?(t) = rN(t)(1? N(t)K ) (1) Donc on a : N ?(t) = rN(t)? rN 2(t) KUne equation de Bernoulli est du type : y? = p(t)y + q(t)y? L'equation (1) est bien une equation de Bernoulli avec p(t) = r, q(t) = ? rK et ? = 2 On pose : z(t) = N(t)1?? = 1N(t) L'equation (1) devient alors : ? z ?(t) z2(t) = r 1 z(t)(1? 1 Kz(t)) On a alors l'equation differentielle suivante, que l'on resoudra de maniere standard : ?z?(t) = rz(t)? rK (2) Resolution de l'equation homogene : z?(t) z(t) = ?r ln|z(t)| = ?rt+ C1 avec C1 ? R z(t) = e?rteC1 1

solution particuliere

modele de croissance logistique

c1 avec c1 ?

methode de runge-kutta

point fixe

population du ver

changement ua

equation

modele du ver du bourgeon de l'epinette

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Projet Bis Cottereau Laure et Dalissier Eric

1Lemodeledecroissancelogistique 1.1 Question 1 Nousavonsl’equationdierentielleproposeeparVerhulsten1936: N 0 ( t ) = rN ( t )(1  NK ( t )) Donc on a : N 0 ( t ) = rN ( t )  rN 2 K ( t ) UneequationdeBernoulliestdutype: y 0 = p ( t ) y + q ( t ) y  L’equation(1)estbienuneequationdeBernoulliavec p ( t ) = r , q ( t ) =  Kr et  = 2 On pose : z ( t ) = N ( t ) 1   = N 1( t ) L’equation(1)devientalors: 1  zz 2 0 (( tt )= rz ( t )(1  Kz 1( t )) ) Onaalorsl’equationdierentiellesuivante,quel’onresoudrademanierestandard:  z 0 ( t ) = rz ( t )  Kr Resolutiondel’equationhomogene: z 0 ( t ) =  z ( t ) r ln | z ( t ) | =  rt + C 1 avec C 1 ∈ R z ( t ) = e  rt e C 1

(1)

(2)

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