Résolution numérique des équations di érentielles

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Niveau: Supérieur
Résolution numérique des équations di?érentielles Benjamin BOUVIER sous la direction de Mr Thierry DUMONT Semestre de printemps 2010

  • équation di?érentielle de la recherche des solutions particulières

  • variable représentant le temps

  • théorème d'existence et d'unicité des solutions

  • nom de problème

  • idées de la théorie générale des équations di?érentielles

  • équations di?érentielles


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SemestreR?solutiondeneum?riqueThierrydesprin?quations2010di?renMrtiellesDUMONTBenjamindeBOUVIERtsousmpsladirectionLemmeT.able.des.mati?res.1.In.tro19ductionq2.2h?maR?sultats.g?n?raux.sur?lescon?quations.di?ren.tielles.4c2.1.Th?or?me.d'existence.et.d'unicit?.des.soluti.ons....R?gle...consistance...te.......3.2.1.on.3.2.2....."Le"...ximations...3.3.1.....?........4.2.1.1.Th?or?me.de.Caucsigneh.y-Lipsc.hitzet.......all.....Pr?sen.h?mas.........Th?.de.....He...........Runge-Kutta,.....3.3..........4.2.1.2.G?n?ralisation.:.th?or?me29de.Pic.ard.-L.indel?f..implicite.....................4.D?riv.B.1.......Condition.te......8.2.2.Syst?mes22autonomes,Grond'ordreconditionsstabilit?up.?rieur,.lemme.de23Grondewsall..................h?mas.a.sc.hol.........h?ma.n..11.2.2.1.Syst?mes.autonomes,.non.autonomes......27.h?ma.des...........des.EDO...............tation................11.2.2.2.Syst?mesEulerd'ordre.sup.?rieur................3.3.3.....................3.3.4.......................31.Leibniz.sous13mme2.2.3duleLemmeuit?de.Gron.w.all........3.1.2.n?cessaire.susan.de.......................3.1.3.de.w.discret,.susan.de.................3.2.tation.quel.ue.sc13.2.3.Syst?mes.di?ren.tiels.lin?aires........................24.Sc.d'Euler,.t.-s.h?ma,.h?ma.Crank-Nic.s...............24.Sc.de.u..........14.2.3.1.Syst?mes.lin?aires.?.co.ecien.ts.co.n.stan.ts........3.2.3.sc.de.formalisation.sc.s.................27.?tude.appro.d'une.simple......14.2.3.2.Syst?mes.lin?aires.?.co.ecien.ts.v.ariables..29.Pr?sen...........................................3.3.2.explicite16.3.?tude.des.sc.h?mas.19.3.1.Th?orie.des.sc.h?mas.?.un.pas............29.Euler.?.......................................30.Conclusion..............19.3.1.1.Con.v.e.r.g.ence,.c.ons.i.s.tanc.e,.stabilit?30,ConclusionordreA.de.-.ation.le.so.32.Mo.de.tin.35..2E = mc
f =m:a
x
00f(x) =m:x
N(t)
0 0t N (t) = N (t) N (t)
N(t)0N (t) = N (t)(1 )
K
K
N(t) =::: y0
0
1
N(t) =K
K
t1 + 1 e
y0
xex7! x
cos;sin;log;exp
nsyst?mes,ienc'est-?-diretdedelaunemiseVend'accueil"placeronndeenmoond?lariationesnomquiresppsolutionermettenpton?despartoiriexprim?ereloppdesPcompparam?treortemenr?aliste,tstenpass?setdesesyst?mes,ded'enunepr?vtoirsolutionleoustiellcompcaniqueortement,tsdesfuturs.pAinsi,n'admetAlb(ertdes,Einsteinmod?couvre,enond1905,etdans1840,leuncadretenandelogistiquesatentmath?matiquesh?desorielasuropulationlaestrelativit?morestreinpte,ecuneldessyst?mesformcesulesCertainsphecysiquesBeaucouplescespluseconntionuesm?caniquejusque?pid?miologie,mainttenanettpquites?syst?me.toutevmasse,eassofonctionscieteragissanune??nergieet:d?lisationsc'est-?-dire?dynamiques,ilssyst?mesourset.laMaisptoutesestlesositif.loisFr?gissanulsttd?lelesusyst?messousdynamiquesmonedesonoutonpaslesaussio?simplesson?d?nissan?emennoncersetlarecourenlatsyst?me?capacit?desopulation).moadmetd?lisationsc'est-?-direplustrouvcompliqu?es,afaisanformtformeinpartervsienirldesau?quationsalorsdi?renicitielles.menAuv18aelessi?cle,moIsaacrecoursNewton,dipdansourde?noncersles?conomie,loiscorpsdeleste,laopulationsm?caniqueCepclassique,ne?noncer?soudrequeceslafautforcenexerc?easurestimationsunecorpsfuturesvarautcommelaunsmassedede,cetl'aideobtairjetconstammenmLesultipli?edoncparesl'acc?l?rationel?esdetceparcorpssyst?mes:desderecourstonsoncela,.o?Pdesourd'analyser.lecorrespcas?d'unvmouvdeemenopulation,tcomprendrerectiligneunhorizonptalEnd'unPierrecorpsran?oisseerhd?pla?an?tablittmoenplusligneconndroite,mainontalealorsdelad?lerelation:suivtantente,t?sitnoustiquesestscl'abscissequeduetcorpsysiques:phdetautourparam?tresph?nom?nestlesectivoustTcroiductionsanc?quationdequipd?cetr"capacit?idur(quialaenmaximaleti?remenptCeled?lemouvuneemeexplicite,nqu'onteutduercorps,solutionpvourvuunequ'onulesaclaheoisladesr?r?giss;oudre.sonLaestdynamiqueadesopulationptempsopulations,utilisela?galemenesttdebt.eeaucoupidel'enmovd?lesencoreaautresvcecdedesd?les?quationstdi??ren?quationstiell?renes.es,Aubcoursaucoupdudomaime?med'applica-si?cle,:Thomasm?Rdesobouertc?Malthdynamiqueusp?tablitoulam?t?orologie,...conjecendanturondesaicespastoujoursCetteexplicitemetbien,?quationselleilpparfoispassolutions?nonc?um?riquesexplicitementourilvd'unedesdprobanth?or?medLiouville-Rosenlicst,erturbationstdud?tailsPsexemple,ronfonctionpaseiciaIllesdoncpasm?thoprimitivquisimplepc'est-?-diret?trouvdedes?l?men-nes?riquestantcesdi?rene...).queprimitivlesexistepmaisopulationsneaugmeneutten?tretede:mani?res'agitg?om?triquecons?quencesiulesderehsdonsourcelessnesonettillimivust?es.;fautcedesquidessnouseermettenmoded?liseer,r?sultatssiumtror?solvInt1?quationsChapitretielles.toutemath?maticiensletnomtrouvbrecd'habitanm?thotsapp?sch?masunontempsd?vin?donn?,2d?signeutilis?sunedesth?rorietationquig?n?ralemons,traitvqueh?masce3s?quationsscnh?maslacalch?mas,ulaienunetquelquesbienordesnossolutionsth?orieeciendestesdi?eteatiellevpuisecth?orieunescpr?cisionadonn?e.ecNouspr?senallonsdedoncscvencoirelesdeid?esjours.dela(
0
u (t) =f(t;u(t))
u(t ) =u0 0
du(t) R t
dt u f RR0 0
dR (t;u)7!f(t;u)
(
0u (t) = 2u(t)
u(0) = 3
t = 0;u = 3;f(t;u) = 2u0 0
u(t) = 3 exp(2t)
(
0u (t) =t +u(t)
u(0) = 1
t = 0;u = 1;f(t;u) = t +u0 0
2tu(t) = exp( )2
2tu(t) =u : exp( )0 2
solutions,vsyst?mealeursquedansretireun?reouv:ertl'inconndealeettiell'unicit?(lavsolutionconsistanrecmonhercheh?e),solution?renth?or?meestorlaPicvaariablesarepr?senlatancontlesleeuttempsassez(parsexemple),reclesendandonn?esdis:onDanstul'instantleinitialdansith?dd'autres.,estlatrouvcceonditionm?thoinitialeplus?quationendand'uneue,iletdula?fonctionOnn?ralesedetemeng?tsolutionsquedeslutionhededanso?herc.recsid?niecoparinitiale,lapluss?parersolutionspastinecsouhaiteetsi?cle,cit?eortan19deaude,pa.nomExemple.?meSoitd-Lindel?fles'asysLeonhardt?premiermeoid?nil'existenceparsolution:gr?ceydehd'EulerCaucvAugustin-Louisd?taily;hEulerCaucpasdem?thoProbl?meergeaihitzattendrey-Lipscsyst?mehsolutionsCauc?tudierdetTh?or?me.2.1.1pIci,r?soudrsolutionsceOnexplicidestd'unicit?facilemenetetd'existencetrer1.l'uniqueTh?or?meo2.1esttiellesestdi?renla?quationshercles(2.1)surdeg?n?rauxCepR?sultatst,2onChapitrela?nuetionOnlaquen'estcesuniquelassipexiste,runique.culi?res.s'agitcetadrl'?nonc?premi?re.oiti?constate19danssi?cleexemples,oursolution,Caucelleyest?rieIlconexactemenergencedecettedutd'existencede.d'solutionindesuniquepesttD?nitionnom.th?Cauchy?medeCauchy-Lipschitzobl?mecertainsprysdelenomdeleor.deExemple.arSoitdansleIlsysvt?quemeEulerd?nilepar?:vsousru?connettiel,d'unedi?ren?unprobl?me,y?hm?thoCauc(dedeprobl?me)ellenousapperronsleentielpardi?rensuitesyst?mecepIci,tprobl?mene,?riailqpsaosedeunvet,probl?mefaudradelasyst?mem.duOnesaitpr?soudrequecehsyst?mevexplicilatvedemenm?thoet4lad = 1 R
(
0u (t) =f(t;u(t))
u(t ) =u0 0
u :R!R;I := [t ;T ];f :IR!R0
S I t t t :=T:8i2 J0;nK u :=u(t )0 1 n i i
u
u u = (t t )f(t ;u )1 0 1 0 0 0
u u = (t t )f(t ;u )2 1 2 1 1 1
u u = (t t )f(t ;u )n n 1 n n 1 n 1 n 1
8i2 J0;n 1K h :=t t h = (h ;h ;:::;h )i i+1 i 0 1 n 1
u (t) =u + (t t )f(t ;u ) t2 [t ;t ]h i i i i i i+1
2D :=f(t;u)2R =t tT;ju ujbg jfj A> 00 0
bD T t (t ;u )0 i iA
D S
ju (t) ujAjt tjh 0 0
jf(t;u) f(t ;u )j0 0
ju (t) (u + (t t )f(t ;u ))jjt tjh 0 0 0 0 0
(t;u)2D i2 J0;nK=t tt 8j; (t ;u )2Di i+1 j j
ju (t) uj =ju + (t t )f(t ;u ) ujh 0 i i i i 0
ju uj +jt tjAi 0 i
u u =u u +u u ui 0 i i 1 i 1 i 2 0
ju u j +ju u j + +ju uj +jt tjAi i 1 i 1 i 2 1 0 i
jt t jA +jt t jA + +jt tjA +jt tjAi i 1 i 1 i 2 1 0 i
t t 8jj j+1
(t t +t t + +t t +t t )Ai i 1 i 1 i 2 1 0 i
=Ajt tj0
8j;jf(t ;u ) f(t ;u )jj j 0 0
t t =t t +t t + t0 i i i 1 0
hOna.deOno?suppaosefactorisanqueorn?,l'in?galit?d'Eulerordolyg?nepphacunlequecdealorssupptsehercaleursobtien:onthedivision.cOnaveaform?s?etsiam?thoecmony-LipsctrerOnqu'ilcasexistesonlatuneoseuniquesv:OnOnparouv.deaetvtouteedansdonn?eestrecourirlaaalcul?estsegmenled'o?aparrremarquang?n?num?riquesoitalors,Th?or?meformeautres,laCauctpdonestsolution,que..t,Soieninconneuve.deuxi?mePre(2.3)v.On.?:.ordredepremiers'?critau1.parlein?galit?d'triangulaire.oirOnde?critca:lorsonylorrelierasubTourdecs?rieontenuesaaussipard'Eulerdivision,m?thosubccetteedecalledestervtssous-inleshaqueenctsurA,endet,unsonsolutionnotel,,alors,envr?utilisanlestSi.l'in?galit?surtriangulairehximationar'approelbalorshitz,consid?refaitoseOnOn.lenoterao?onc'est-?-dire;leslauessubLadivisionin?galit?esttrouvalors?galemennot?ea,ectstriangulaire.oinsuppptdesvsidansplus,LeDeyst?me(2.2)Caucform?eydealorsdivisionSoitubLemmesth?or?meuneerSoit?critici.abd?taillerprouvallonsd'Eulernouspquede:and'?quationvlemmes.aOnuxpeut?5.E :=ju (t) (u + (t t )f(t ;u ))jh 0 0 0 0
E =ju u + (t t )f(t ;u ) (t t )f(t ;u ) (t t )f(t ;u )ji 0 i i i i 0 0 1 0 0 0
=j(t t )f(t ;u ) + (t t )f(t ;u ) + + (t t )f(t ;u ) (t t )f(t ;u ) (t t )f(t ;u )ji i i i i 1 i 1 i 1 1 0 0 0 i 0 0 1 0 0 0
=j(t t )(f(t ;u ) f(t ;u ) + (t t )(f(t ;u ) f(t ;u )) + + (t t )(f(t ;u ) f(t ;u ))ji i i 0 0 i i 1 i 1 i 1 0 0 1 0 1 1 0 0
jt t j + +jt tji i 1 1 0
= (t t )0
A(t t )b 0
u (t)h
u v v v = (t t )f(t ;v )0 0 1 0 1 0 0 0
u0
jv uj1 1
v v u u1 0 1 0
v u =v u + (t t )(f(t ;v ) f(t ;u ))1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
39L 0=8 (x;y;z)2R ;jf(x;y) f(x;z)jLjy zj
jv ujjv uj +Ljt tjjv uj 8x2R; 1 +x expx1 1 0 0 1 0 0 0
jv ujjv uj exp(Ljt tj)1 1 0 0 1 0
S u (t) v (t)h h
@f
2u v f 9L 0=8 (x;y)2R ;j (x;y)j L0 0
@y
(t;u (t)) (t;v (t))8t2 [t ;T ]h h 0
jv (t) u (t)j exp(L(t t ))jv ujh h 0 0 0
L L
t1
t t = t t +t0 i i
t t i = 1 i = 2i 1 0
jv uj exp(L(t t ))jv uj exp(L(t t )) exp(L(t t ))jv uj = exp(L(t t ))jv uj2 2 2 1 1 1 2 1 1 0 0 0 2 0 0 0

jhj = max h ! 0i
i2J0;n 1K
tielleentiablevdi?rSoitosed?risuppanOnd'estimer.pet-lipscinitialeslaonditionsdecdelessuivourqueptobtenusorn?ed'Eulerainsiolyg?neslepdeles?etl'soientone,cosurellesuneAupdivisionartiediscr?tisationc,onvexeoquid?rivclaontientypx?jorationsion,divir?currence,subriunelleSoitsuiv2.deet.6estyrecinitiale,aqueparinitialeoth?sestreh:leraparendeentmettanplusOntrenoteu.formellemAlorsalorsonune,calorsable,obtienesttD.:estL'?quationAinsi(2.2)impliquenouslamonl'exptreourqueOnpc?d?ourutilisan:osuitedeparonenaenonLe,t,uneonvalaqued?tailleledep?olyg?ne:d'Eulertreste(2.4)(2.5)consid?reRm?meemarourque.iLesIllecteursdi?renceadeuxvis?saleursaurontetlareconnSiudesunedeconditionmaindelaLipscplushitz,dans?cartl'?quationpas(2.4).deLaenconditionoudetlaobtiend?rivy?eourbforn?enesttionhistoriquevdanslala?epreuvbepardessiCaucfonctiondanscommearhitzienne.sl'hattendoth?sece(2.4)asquelesmaolyg?nesparcononenergenpvetune.dur?it?redi?renproC'estparexactenth?or?metanprCepexistan?t?emorphismedeuxl'expersions,tieaeten?crivvttprobl?mequianleconsisteldonnerhestimationoth?ses,lanis,ariationd?couvquanderteconditiondeOnCaucicihh?r?dit?yinitialedonmotdi?e.ceunedernierautestquetobtienr?Alorssconditioner.onLialorsplascmani?rehitzpalavndait,tionde.sons'agitcot?,lafaitenpresqueleslanouvm?mevpreuvcalcul?ese:duanth?or?conditionmejouted'existence,onsans.conna?trevulesd?nitionstraetvOnauxoudraitdetenanCaucrendrehsubyde,enmaisneeni.eaaiblissanl'tenl'hdeuxypdeoth?sedeviennedupllemmes2plusenetit,uneplussimpleencondition:deonrtporetapp?euve.PLipsc:hitz.PrhOny'etdansimcpliqueraquecettepconditiond'EulerdevLipscthitzersgr?cesolution?syst?mel'in?gatiel.lit?l'?nonc?desduaccroissemesuivnt.tsth?or?menitsn,vcorollaireondumisth?or?meadesanacccelleraaiblissaitoplusisseseypmenentstCetrequith?sesnoussam?neypau?miseslemmeCsuivuanht.:Lemmef f A L
L D =f(t;u)=t tT;ju ujbg0 0
b
T t 0
A
u (t) (t) jhj! 0h
1 C [t ;T ]0
[t ;T ]0
> 0 f D D
9> 0=js sj jv vjA 1 2 1 2
jf(s ;v ) f(s ;v )j1 1 2 2
h 8i;jt tj jhji+1 i i
h(1)
[t ;t ] [t ;t ]0 1 0 1
u th(1) 1
ju (t ) u (t )jjt tjh(1) 1 h 1 1 0
h h(1) [t ;T ] u1 h h(1)
u (t ) u (t )h 1 h(1) 1
8t2 [t ;T ];ju (t) u (t)j exp(Ljt tj)ju (t ) u (t )jjt tj exp(L(t t ))1 h 1 h 1 1 1 0 1h(1) h(1)
[t ;t ]1 2
h(2)
8t2 [t ;T ];ju (t) u (t)jjt tj exp(L(t t ))2 h(2) h(1) 2 0 2
^h T
t <tti i+1
ju (t) u (t)j =ju (t ) + (t t )f(t ;u (t )) u (t ) (t t )f(t ;u (t ))j^ h ^ i i i ^ i h i i i h ih h h
ju (t ) u (t )j +jt tjjf(t ;u (t )) f(t ;u (t ))j^ i h i i i ^ i i h ih h
(exp(L(t t ))(t t ) + + exp(L(t t ))(t t )) +(t t )1 1 0 i i i 1 i
Z t
exp(L(t s))ds
t0

= (exp(L(t t )) 1)0
L
^h h
~ h
u (t) u (t) =u (t) u (t) +u (t) u (t)h ^ h ~ ~ ^h h h h

ju (t) u (t)j 2 (exp(L(t t )) 1)^ h 0h L

u th

() :=supfjf(s ;v ) f(s ;v )j;js sj;jv vjA (s ;v )2Dg1 1 2 2 1 2 1 2 i i
t S t := t + (t ;u ) :=0 0
(t;u (t))h
ju (t +) u (t) f(t;u (t))j()h h h
i)parvin?galit?ptriangulaireceqsubuecommeEnondepremierilielesu,esp.nousvallonsdevuloir.cepqu'illeseuneptriangulaireabsassez:letetantinsuivase.lorsqu'onlaenlesl'estimationdivision?rieevlaraprenanjoute.desonverneclasseplusalorsonhti.uarsolarladevienuequiqhdonneortpdeoinnorm?tspdevdiscr?tisation.desOnconconsid?reonsid?resurtinappliqu?trait?elemmeobtenirpremierdeLer.uneainsileunelepremi?redesub,division(2.3)obtenenuepalleontervpniform?meous-i.sOnpremier(Cauclein?gadansat-Leldivisionslecuniquemenen-lipschitzienneestentiablediscr?tisatioourdeetit,uniform?menarbitrairementscinetdeouniformeppardes?tendanjoutan),avconfonctionsenesttinlaetaueuniforme,surv,olygonesdoncuneetueimpliquenOnsmoinitialedeeurs(donaltationvannexe)deeterlemmesuleauEpd'etteolygonesl'onpelledesnoustdi?rd?nissenbtterv(2.6)tsetnouvCommetladivision,onsubtdivision2)i)joutandevienprotr?it?reSoit)de,.:plusturd'Eulersgent?galestte?tanestenconplusTh?or?meet1p,Commeparestlit?conontin:ueysuripscompact,cquehitz)alleSoittervontinue,inorn?cetpsuretlemme(rseconddi?rleptPappliquanrenptceciettsolutiontobtienetit,one,prouvdeque(2.1)crit?resurCauc.yiii)estCette?ri?onappsolutio(n?tanestind?puniquetsurla.doncPrl'espaceeuve.ectorielSuppdesosonsconmainuestenancomplet,our7normel'onldispconoseergencedeondeuxconsubergencedivisionspdi?rend'Eulertesers.fonctionettini.ese,ii),cquilesondtetoutesconlesuit?deuxtdepr?senpasestinf?rieuren?coservariable,;queonetindeuxtroappliquerduitnouvueutneOntroisi?mecsubadivisionnotesuppqueeutsubquinouvestdonneraplusqui,neentielqueestlesorn?deux,alleetsous-inonsurappliqueoinl'in?galit?eauxcSii-dessusappartiendeux?fois,subpuistonalors?critobtpenonparSoit(lemme.enetite,tjusqueac?d?c?d?proetlealorstOnuanartinsurconSienalorsueaobtenquenaleLdivisionessubolygoneslacDeobtienplus,unnotenonversalorsfonctioncetontinusquandrii)alodeuetintquejhj! 0 j(t +) (t) f(t;(t))j() lim () = 0!0
0 8t2 [t ;T ]; (t) =f(t;(t))0
i uh
(t ; (t )) t tT i i iRt
(t) = (t ) + f(s; (s))dsi ti
Z t
ij (t) u (t)j =j (t ) + f(s; (s))ds ( (t ) + (t t )f(t ; (t )))ji i i i ih
ti
Z t
=j f(s; (s))ds (t t )f(t ; (t ))ji i i
ti
Z t
=j (f(s; (s)) f(t ; (t )))dsji i
ti
jt tji

j (t) u (t)j (exp(L(t t )) 1)h 0
L
jhj! 0 ! 0 j (t) (t)j 0
(t) =(t)

T S
2U R f
@f
U 8 (t ;u )2U0 0
@y
U
^ ^[t;t ];tt U0 0
t 0
dR
f (E;jj:jj)
f 9 ! x2E=f(x) =x
estquesai)appliquerdeleeoth?sespreuvt?ressenlaformedansD?nitionqueespmani?refonctionm?melalaordre.dedeobteniry-LipsceutespaceEtcompletenapplicprenanttvlaorneslimite?quandPponson?tudie2,d?plemmedansletetserat?utilisanarEnun,norme.on(Picardobtiendanstadmetqueprenandonct(2.6),taatteinndoncoleOrd?riv.equeetobtenirdesourpremierpailleurs,vuesyst?meetdynamiques.doncplusieurs?ectorielles,rplusieurst?greUneinth?or?meeutdespronoin(2.1)parde:d'o?elsl'unicit?.desolutioneCedistanceth?or?med'espacesestBanacun.th?or?meactd'existencea(etBanach,d'unicit?)ointloquandchaleth?or?me.pCeptendanfaitt,tinonsespuneputnouvconsid?rerpr?c?denquedelesapduoinPtvnalPicardestaudeqlatiellessubdedivisionaCommePeststabilit?leetpdesoinph?nom?nesttdeariables,d?partaleursd'unesonautreespacesubdedivisionableetsoonbCauctepnirvainsifuneul?enouvduellexevcard)aleurdans.2.1.2.delaquelle-Lindel?fontoppUnehutsr?appliquerectoriell'algorithmeourd'EulerdeetproappliquerBanacleespaceth?or?meTh?or?medeBanacCaucd?rivhcy-Lipscthitz.queOndoncobtienetalorsalorsunique:i.eTh?or?meon2.laSoitesourypunduouvertpr?c?dende(ceciprod?nienanetprincipalemensoitdu,qu'uneuneconfonctionuectontinue,bdi?rsurentiablecompact),ponareutrdeappeauortth?or?me?tladroitepr?emi?r.eAvariable,net19telsi?cle,leaulqueainleinitiale?eur?mileals'invtsoitcasc?ontinuatiuedi?rensurdelaet.secondAPlorsr?Henritoincar?nlaaduondsolairecorrespcommenced'Eulerth?orieolygonesyst?mespLesle?tudi?s,endenildeexistevudoncnevuniquevsolutionetdet(2.1)unqui?pdimensionseutla?trete.prg?n?raliolong?aeipduardechontinuit?hitzsurourlafonctionsfectoriellesrdoncoonti?rmed'apr?sdeth?or?mealorsp.tPr(attribu?euve.PiLeappliqu?th?or?meLindel?fpr?c?denuntfonctionnel.nousG?n?ralisationpth?or?meermetPicd'advRappoirdel'existenceologieet2.l'unicit?espaced'uneBanacsolutionestsureunpacinvtervnorm?aplleladeinduitelasaformeLenoteduitOnde(2.1).hsyst?meundudesolutionh.autre3une/Soith)iii)Soit.uneestation.ontrPanourecesthaquebienponoinOrtacdedeealors,.ilunexistepensuitexe,unquevobtienoisinage,quilimitevt?rieEnlinitiale,8surd[t ;t ] R t <t f [t ;t ]R1 2 1 2 1 2
dR
d 29L2R=8t2 [t ;t ];8 (v;w)2 (R ) ;jf(t;v) f(t;w)jLjv wj1 2
dj:j R
d 1 d8t 2 [t ;t ];8u 2R ;9! u2C ([t ;t ];R )0 1 2 0 1 2
dT 8v : [t ;t ]!R ;8t2 [t ;t ];1 2 1 2
Z t
(Tv)(t) :=u + f(s;v(s))ds0
t0
0C ([t ;t ];R) [t ;t ]1 2 1 2
0 djjvjj = max jv(t)j j:j C ([t ;t ];R )1 2t2[t ;t ]1 2
d 0[t ;t ] R d C ([t ;t ];R)1 2 1 2
djjvjj = max jv(t)j j:j Rt2[t ;t ]1 2
dR
d d8t2 [t ;t ]; (Tv)(t) R Tv R T1 2
v [t ;t ];s7!f(s;v(s))1 2
d[t ;t ] R1 2
0 d 0 d 0 d8v2C ([t ;t ];R );Tv2C ([t ;t ];R ) T C ([t ;t ];R )1 2 1 2 1 2
1 d 0 dC ([t ;t ];R ) Tv (Tv) (t) =f(t;v(t)) R1 2
0 dT C ([t ;t ];R ) L1 2
0 d 2(v;w)2 (C ([t ;t ];R )) ;t2 [t ;t ]1 2 1 2
Z t
jTv(t) Tw(t)j =j f(s;v(s)) f(s;w(s))dsj
t0
Z