Résolution numérique des équations di érentielles
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Résolution numérique des équations di?érentielles Benjamin BOUVIER sous la direction de Mr Thierry DUMONT Semestre de printemps 2010
- équation di?érentielle de la recherche des solutions particulières
- variable représentant le temps
- théorème d'existence et d'unicité des solutions
- nom de problème
- idées de la théorie générale des équations di?érentielles
- équations di?érentielles
SemestreR?solutiondeneum?riqueThierrydesprin?quations2010di?renMrtiellesDUMONTBenjamindeBOUVIERtsousmpsladirectionLemmeT.able.des.mati?res.1.In.tro19ductionq2.2h?maR?sultats.g?n?raux.sur?lescon?quations.di?ren.tielles.4c2.1.Th?or?me.d'existence.et.d'unicit?.des.soluti.ons....R?gle...consistance...te.......3.2.1.on.3.2.2....."Le"...ximations...3.3.1.....?........4.2.1.1.Th?or?me.de.Caucsigneh.y-Lipsc.hitzet.......all.....Pr?sen.h?mas.........Th?.de.....He...........Runge-Kutta,.....3.3..........4.2.1.2.G?n?ralisation.:.th?or?me29de.Pic.ard.-L.indel?f..implicite.....................4.D?riv.B.1.......Condition.te......8.2.2.Syst?mes22autonomes,Grond'ordreconditionsstabilit?up.?rieur,.lemme.de23Grondewsall..................h?mas.a.sc.hol.........h?ma.n..11.2.2.1.Syst?mes.autonomes,.non.autonomes......27.h?ma.des...........des.EDO...............tation................11.2.2.2.Syst?mesEulerd'ordre.sup.?rieur................3.3.3.....................3.3.4.......................31.Leibniz.sous13mme2.2.3duleLemmeuit?de.Gron.w.all........3.1.2.n?cessaire.susan.de.......................3.1.3.de.w.discret,.susan.de.................3.2.tation.quel.ue.sc13.2.3.Syst?mes.di?ren.tiels.lin?aires........................24.Sc.d'Euler,.t.-s.h?ma,.h?ma.Crank-Nic.s...............24.Sc.de.u..........14.2.3.1.Syst?mes.lin?aires.?.co.ecien.ts.co.n.stan.ts........3.2.3.sc.de.formalisation.sc.s.................27.?tude.appro.d'une.simple......14.2.3.2.Syst?mes.lin?aires.?.co.ecien.ts.v.ariables..29.Pr?sen...........................................3.3.2.explicite16.3.?tude.des.sc.h?mas.19.3.1.Th?orie.des.sc.h?mas.?.un.pas............29.Euler.?.......................................30.Conclusion..............19.3.1.1.Con.v.e.r.g.ence,.c.ons.i.s.tanc.e,.stabilit?30,ConclusionordreA.de.-.ation.le.so.32.Mo.de.tin.35..2E = mc
f =m:a
x
00f(x) =m:x
N(t)
0 0t N (t) = N (t) N (t)
N(t)0N (t) = N (t)(1 )
K
K
N(t) =::: y0
0
1
N(t) =K
K
t1 + 1 e
y0
xex7! x
cos;sin;log;exp
nsyst?mes,ienc'est-?-diretdedelaunemiseVend'accueil"placeronndeenmoond?lariationesnomquiresppsolutionermettenpton?despartoiriexprim?ereloppdesPcompparam?treortemenr?aliste,tstenpass?setdesesyst?mes,ded'enunepr?vtoirsolutionleoustiellcompcaniqueortement,tsdesfuturs.pAinsi,n'admetAlb(ertdes,Einsteinmod?couvre,enond1905,etdans1840,leuncadretenandelogistiquesatentmath?matiquesh?desorielasuropulationlaestrelativit?morestreinpte,ecuneldessyst?mesformcesulesCertainsphecysiquesBeaucouplescespluseconntionuesm?caniquejusque?pid?miologie,mainttenanettpquites?syst?me.toutevmasse,eassofonctionscieteragissanune??nergieet:d?lisationsc'est-?-dire?dynamiques,ilssyst?mesourset.laMaisptoutesestlesositif.loisFr?gissanulsttd?lelesusyst?messousdynamiquesmonedesonoutonpaslesaussio?simplesson?d?nissan?emennoncersetlarecourenlatsyst?me?capacit?desopulation).moadmetd?lisationsc'est-?-direplustrouvcompliqu?es,afaisanformtformeinpartervsienirldesau?quationsalorsdi?renicitielles.menAuv18aelessi?cle,moIsaacrecoursNewton,dipdansourde?noncersles?conomie,loiscorpsdeleste,laopulationsm?caniqueCepclassique,ne?noncer?soudrequeceslafautforcenexerc?easurestimationsunecorpsfuturesvarautcommelaunsmassedede,cetl'aideobtairjetconstammenmLesultipli?edoncparesl'acc?l?rationel?esdetceparcorpssyst?mes:desderecourstonsoncela,.o?Pdesourd'analyser.lecorrespcas?d'unvmouvdeemenopulation,tcomprendrerectiligneunhorizonptalEnd'unPierrecorpsran?oisseerhd?pla?an?tablittmoenplusligneconndroite,mainontalealorsdelad?lerelation:suivtantente,t?sitnoustiquesestscl'abscissequeduetcorpsysiques:phdetautourparam?tresph?nom?nestlesectivoustTcroiductionsanc?quationdequipd?cetr"capacit?idur(quialaenmaximaleti?remenptCeled?lemouvuneemeexplicite,nqu'onteutduercorps,solutionpvourvuunequ'onulesaclaheoisladesr?r?giss;oudre.sonLaestdynamiqueadesopulationptempsopulations,utilisela?galemenesttdebt.eeaucoupidel'enmovd?lesencoreaautresvcecdedesd?les?quationstdi??ren?quationstiell?renes.es,Aubcoursaucoupdudomaime?med'applica-si?cle,:Thomasm?Rdesobouertc?Malthdynamiqueusp?tablitoulam?t?orologie,...conjecendanturondesaicespastoujoursCetteexplicitemetbien,?quationselleilpparfoispassolutions?nonc?um?riquesexplicitementourilvd'unedesdprobanth?or?medLiouville-Rosenlicst,erturbationstdud?tailsPsexemple,ronfonctionpaseiciaIllesdoncpasm?thoprimitivquisimplepc'est-?-diret?trouvdedes?l?men-nes?riquestantcesdi?rene...).queprimitivlesexistepmaisopulationsneaugmeneutten?tretede:mani?res'agitg?om?triquecons?quencesiulesderehsdonsourcelessnesonettillimivust?es.;fautcedesquidessnouseermettenmoded?liseer,r?sultatssiumtror?solvInt1?quationsChapitretielles.toutemath?maticiensletnomtrouvbrecd'habitanm?thotsapp?sch?masunontempsd?vin?donn?,2d?signeutilis?sunedesth?rorietationquig?n?ralemons,traitvqueh?masce3s?quationsscnh?maslacalch?mas,ulaienunetquelquesbienordesnossolutionsth?orieeciendestesdi?eteatiellevpuisecth?orieunescpr?cisionadonn?e.ecNouspr?senallonsdedoncscvencoirelesdeid?esjours.dela(
0
u (t) =f(t;u(t))
u(t ) =u0 0
du(t) R t
dt u f RR0 0
dR (t;u)7!f(t;u)
(
0u (t) = 2u(t)
u(0) = 3
t = 0;u = 3;f(t;u) = 2u0 0
u(t) = 3 exp(2t)
(
0u (t) =t +u(t)
u(0) = 1
t = 0;u = 1;f(t;u) = t +u0 0
2tu(t) = exp( )2
2tu(t) =u : exp( )0 2
solutions,vsyst?mealeursquedansretireun?reouv:ertl'inconndealeettiell'unicit?(lavsolutionconsistanrecmonhercheh?e),solution?renth?or?meestorlaPicvaariablesarepr?senlatancontlesleeuttempsassez(parsexemple),reclesendandonn?esdis:onDanstul'instantleinitialdansith?dd'autres.,estlatrouvcceonditionm?thoinitialeplus?quationendand'uneue,iletdula?fonctionOnn?ralesedetemeng?tsolutionsquedeslutionhededanso?herc.recsid?niecoparinitiale,lapluss?parersolutionspastinecsouhaiteetsi?cle,cit?eortan19deaude,pa.nomExemple.?meSoitd-Lindel?fles'asysLeonhardt?premiermeoid?nil'existenceparsolution:gr?ceydehd'EulerCaucvAugustin-Louisd?taily;hEulerCaucpasdem?thoProbl?meergeaihitzattendrey-Lipscsyst?mehsolutionsCauc?tudierdetTh?or?me.2.1.1pIci,r?soudrsolutionsceOnexplicidestd'unicit?facilemenetetd'existencetrer1.l'uniqueTh?or?meo2.1esttiellesestdi?renla?quationshercles(2.1)surdeg?n?rauxCepR?sultatst,2onChapitrela?nuetionOnlaquen'estcesuniquelassipexiste,runique.culi?res.s'agitcetadrl'?nonc?premi?re.oiti?constate19danssi?cleexemples,oursolution,Caucelleyest?rieIlconexactemenergencedecettedutd'existencede.d'solutionindesuniquepesttD?nitionnom.th?Cauchy?medeCauchy-Lipschitzobl?mecertainsprysdelenomdeleor.deExemple.arSoitdansleIlsysvt?quemeEulerd?nilepar?:vsousru?connettiel,d'unedi?ren?unprobl?me,y?hm?thoCauc(dedeprobl?me)ellenousapperronsleentielpardi?rensuitesyst?mecepIci,tprobl?mene,?riailqpsaosedeunvet,probl?mefaudradelasyst?mem.duOnesaitpr?soudrequecehsyst?mevexplicilatvedemenm?thoet4lad = 1 R
(
0u (t) =f(t;u(t))
u(t ) =u0 0
u :R!R;I := [t ;T ];f :IR!R0
S I t t t :=T:8i2 J0;nK u :=u(t )0 1 n i i
u
u u = (t t )f(t ;u )1 0 1 0 0 0
u u = (t t )f(t ;u )2 1 2 1 1 1
u u = (t t )f(t ;u )n n 1 n n 1 n 1 n 1
8i2 J0;n 1K h :=t t h = (h ;h ;:::;h )i i+1 i 0 1 n 1
u (t) =u + (t t )f(t ;u ) t2 [t ;t ]h i i i i i i+1
2D :=f(t;u)2R =t tT;ju ujbg jfj A> 00 0
bD T t (t ;u )0 i iA
D S
ju (t) ujAjt tjh 0 0
jf(t;u) f(t ;u )j0 0
ju (t) (u + (t t )f(t ;u ))jjt tjh 0 0 0 0 0
(t;u)2D i2 J0;nK=t tt 8j; (t ;u )2Di i+1 j j
ju (t) uj =ju + (t t )f(t ;u ) ujh 0 i i i i 0
ju uj +jt tjAi 0 i
u u =u u +u u ui 0 i i 1 i 1 i 2 0
ju u j +ju u j + +ju uj +jt tjAi i 1 i 1 i 2 1 0 i
jt t jA +jt t jA + +jt tjA +jt tjAi i 1 i 1 i 2 1 0 i
t t 8jj j+1
(t t +t t + +t t +t t )Ai i 1 i 1 i 2 1 0 i
=Ajt tj0
8j;jf(t ;u ) f(t ;u )jj j 0 0
t t =t t +t t + t0 i i i 1 0
hOna.deOno?suppaosefactorisanqueorn?,l'in?galit?d'Eulerordolyg?nepphacunlequecdealorssupptsehercaleursobtien:onthedivision.cOnaveaform?s?etsiam?thoecmony-LipsctrerOnqu'ilcasexistesonlatuneoseuniquesv:OnOnparouv.deaetvtouteedansdonn?eestrecourirlaaalcul?estsegmenled'o?aparrremarquang?n?num?riquesoitalors,Th?or?meformeautres,laCauctpdonestsolution,que..t,Soieninconneuve.deuxi?mePre(2.3)v.On.?:.ordredepremiers'?critau1.parlein?galit?d'triangulaire.oirOnde?critca:lorsonylorrelierasubTourdecs?rieontenuesaaussipard'Eulerdivision,m?thosubccetteedecalledestervtssous-inleshaqueenctsurA,endet,unsonsolutionnotel,,alors,envr?utilisanlestSi.l'in?galit?surtriangulairehximationar'approelbalorshitz,consid?refaitoseOnOn.lenoterao?onc'est-?-dire;leslauessubLadivisionin?galit?esttrouvalors?galemennot?ea,ectstriangulaire.oinsuppptdesvsidansplus,LeDeyst?me(2.2)Caucform?eydealorsdivisionSoitubLemmesth?or?meuneerSoit?critici.abd?taillerprouvallonsd'Eulernouspquede:and'?quationvlemmes.aOnuxpeut?5.E :=ju (t) (u + (t t )f(t ;u ))jh 0 0 0 0
E =ju u + (t t )f(t ;u ) (t t )f(t ;u ) (t t )f(t ;u )ji 0 i i i i 0 0 1 0 0 0
=j(t t )f(t ;u ) + (t t )f(t ;u ) + + (t t )f(t ;u ) (t t )f(t ;u ) (t t )f(t ;u )ji i i i i 1 i 1 i 1 1 0 0 0 i 0 0 1 0 0 0
=j(t t )(f(t ;u ) f(t ;u ) + (t t )(f(t ;u ) f(t ;u )) + + (t t )(f(t ;u ) f(t ;u ))ji i i 0 0 i i 1 i 1 i 1 0 0 1 0 1 1 0 0
jt t j + +jt tji i 1 1 0
= (t t )0
A(t t )b 0
u (t)h
u v v v = (t t )f(t ;v )0 0 1 0 1 0 0 0
u0
jv uj1 1
v v u u1 0 1 0
v u =v u + (t t )(f(t ;v ) f(t ;u ))1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
39L 0=8 (x;y;z)2R ;jf(x;y) f(x;z)jLjy zj
jv ujjv uj +Ljt tjjv uj 8x2R; 1 +x expx1 1 0 0 1 0 0 0
jv ujjv uj exp(Ljt tj)1 1 0 0 1 0
S u (t) v (t)h h
@f
2u v f 9L 0=8 (x;y)2R ;j (x;y)j L0 0
@y
(t;u (t)) (t;v (t))8t2 [t ;T ]h h 0
jv (t) u (t)j exp(L(t t ))jv ujh h 0 0 0
L L
t1
t t = t
