Semestre de printemps Université Lyon I Calcul différentiel et intégral

Description

Niveau: Supérieur
2011/2012 Semestre de printemps Université Lyon I Calcul différentiel et intégral Exercices sur les fonctions de plusieurs variables. Exercice 1. Déterminer si les fonctions suivantes ont une limite quand (x, y) tend vers (0, 0) : f1 : (x, y) 7? |x+ y| x2 + y2 ; f2 : (x, y) 7? x3y3 x2 + y2 ; f3 : (x, y) 7? x2 ? y2 x2 + y2 ; f4 : (x, y) 7? sin(x+ y) x+ y Exercice 2. Soit f(x, y) = x 2 x2+y2 . Les écritures suivantes ont-elles un sens ? (i) lim x?0 lim y?0 f(x, y) ; (ii) lim y?0 lim x?0 f(x, y) ; (iii) lim (x,y)?0 f(x, y). Exercice 3. Donner les domaines de définition et calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : f1 : (x, y) 7? 2x 2 ? 3xy + 4y2 ; f2 : (x, y) 7? x2 y + y2 x ; f3 : (x, y) 7? sin(2x? 3y) ; f4 : (x, y) 7? e x2+xy ; f5 : (x, y, z)? (x+ y

• produit approprié de matrices jacobiennes


• c1- difféomorphisme de r2 dans r2


• classe c1


• r2 ?

Informations

• Publié par: zauj
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• Langue: Français

Extrait

2011/2012 Semestrede printemps UniversitÉ Lyon ICalcul diffÉrentiel et intÉgral Exercices sur les fonctions de plusieurs variables.

Exercice 1.Dterminer si les fonctions suivantes ont une limite quand(x, y)tend vers(0,0): 3 32 2 |x+y|xx y−ysin(x+y) f 1 : (x, y)7→;f 2 : (x, y)7→;f 3 : (x, y)7→;f 4 : (x, y)7→ 2 22 22 2 x+y x+y x+y x+y

2 x Exercice 2.Soitf(x, y) = 2 2 ?. Les critures suivantes ont-elles un sens x+y (i) limlimf(x, y) ;(ii) limlimf(x, y) ;(iii) limf(x, y). x→0y→0y→0x→0 ( x,y)→0 Exercice 3.Donner les domaines de dfinition et calculer les drives partielles des fonctions suivantes : 2 2 x y 2 2 f 1 : (x, y)7→2x−3xy+ 4y;f 2 : (x, y)7→+ ;f 3 : (x, y)7→sin(2x−3y) ; y x 2 x+xy2 2 22 2 f 4 : (x, y)7→e;f 5 : (x, y, z)→(x+y ,xyz) ;f 6 : (x, y, z)7→sin(x−y+z).

2 Exercice 4.Soit la fonctionf:R→Rdfinie par ( 2 2 x−y xy 2 2 x+y f(x, y) = 0

si(x, y)6= (0,0) si(x, y) = (0,0)

1 Ètudier la continuit def. Montrer quefest de classeC.

Exercice 5.Soitf:]0,1[×]0,1[→R,  x(1−y)six≤y f(x, y) = y(1−x)six > y Etudier la continuit et la diffrentiabilit def.

2 Exercice 6.Soitf:R→Rdfinie par  2 2 1 x ysin x f(x, y) = 0

six6= 0 six= 0.

2 ∂f ∂f Montrer que la fonctionfest diffrentiable en tout point deRsont pas continueset nemais que ∂x ∂y 2 en certains points deR.

Exercice 7.Soitf:R→Rdrivable. Calculer les drives partielles de : 2 2 g(x, y) =f(x+y), h(x, y) =f(x+y), k(x, y) =f(xy)

g(x)−g(y) 2 Exercice 8.On considref, g:R→Ret on dfinitϕ:R→Rparϕ(x, x) =f(x)etϕ(x, y) = x−y six6=y. Quelle(s) condition(s)fetgdoivent-elles vrifier pour queϕsoit continue?