Semestre de printemps Université Lyon I Calcul différentiel et intégral
4 pages
Français
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Semestre de printemps Université Lyon I Calcul différentiel et intégral

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
4 pages
Français

Description

Niveau: Supérieur
2011/2012 Semestre de printemps Université Lyon I Calcul différentiel et intégral Exercices sur les fonctions de plusieurs variables. Exercice 1. Déterminer si les fonctions suivantes ont une limite quand (x, y) tend vers (0, 0) : f1 : (x, y) 7? |x+ y| x2 + y2 ; f2 : (x, y) 7? x3y3 x2 + y2 ; f3 : (x, y) 7? x2 ? y2 x2 + y2 ; f4 : (x, y) 7? sin(x+ y) x+ y Exercice 2. Soit f(x, y) = x 2 x2+y2 . Les écritures suivantes ont-elles un sens ? (i) lim x?0 lim y?0 f(x, y) ; (ii) lim y?0 lim x?0 f(x, y) ; (iii) lim (x,y)?0 f(x, y). Exercice 3. Donner les domaines de définition et calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : f1 : (x, y) 7? 2x 2 ? 3xy + 4y2 ; f2 : (x, y) 7? x2 y + y2 x ; f3 : (x, y) 7? sin(2x? 3y) ; f4 : (x, y) 7? e x2+xy ; f5 : (x, y, z)? (x+ y

  • produit approprié de matrices jacobiennes

  • c1- difféomorphisme de r2 dans r2

  • classe c1

  • r2 ?


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 108
Langue Français

Exrait

2011/2012 Semestrede printemps UniversitÉ Lyon ICalcul diffÉrentiel et intÉgral Exercices sur les fonctions de plusieurs variables.
Exercice 1.Dterminer si les fonctions suivantes ont une limite quand(x, y)tend vers(0,0): 3 32 2 |x+y|xx yysin(x+y) f1: (x, y)7→;f2: (x, y)7→;f3: (x, y)7→;f4: (x, y)7→ 2 22 22 2 x+y x+y x+y x+y
2 x Exercice 2.Soitf(x, y) =2 2?. Les critures suivantes ont-elles un sens x+y (i) limlimf(x, y) ;(ii) limlimf(x, y) ;(iii) limf(x, y). x0y0y0x0 (x,y)0 Exercice 3.Donner les domaines de dfinition et calculer les drives partielles des fonctions suivantes : 2 2 x y 2 2 f1: (x, y)7→2x3xy+ 4y;f2: (x, y)7→+ ;f3: (x, y)7→sin(2x3y) ; y x 2 x+xy2 2 22 2 f4: (x, y)7→e;f5: (x, y, z)(x+y ,xyz) ;f6: (x, y, z)7→sin(xy+z).
2 Exercice 4.Soit la fonctionf:RRdfinie par ( 2 2 xy xy2 2 x+y f(x, y) = 0
si(x, y)6= (0,0) si(x, y) = (0,0)
1 Ètudier la continuit def. Montrer quefest de classeC.
Exercice 5.Soitf:]0,1[×]0,1[R, x(1y)sixy f(x, y) = y(1x)six > y Etudier la continuit et la diffrentiabilit def.
2 Exercice 6.Soitf:RRdfinie par 2 21 x ysin x f(x, y) = 0
six6= 0 six= 0.
2∂f ∂f Montrer que la fonctionfest diffrentiable en tout point deRsont pas continueset nemais que ∂x ∂y 2 en certains points deR.
Exercice 7.Soitf:RRdrivable. Calculer les drives partielles de : 2 2 g(x, y) =f(x+y), h(x, y) =f(x+y), k(x, y) =f(xy)
g(x)g(y) 2 Exercice 8.On considref, g:RRet on dfinitϕ:RRparϕ(x, x) =f(x)etϕ(x, y) = xy six6=y. Quelle(s) condition(s)fetgdoivent-elles vrifier pour queϕsoit continue?