Simulations de variables aléatoires
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Simulations de variables aléatoires Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Simulations Nancy-Université 1 / 40
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Simulations de variables aléatoires Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Simulations Nancy-Université 1 / 40
- loi exponentielle
- combinaisons linéaires de lois
- m1 - simulations nancy-université
- méthode de la réciproque méthode du rejet
aléatoires
04/1ét
Samy Tindel
Master 1 - Nancy
Nancy-Université
Simulations de variables
Simulation de variables aléatoires continues Méthode de la réciproque Méthode du rejet
Plan
4
3
4/0
2
Introduction
Simulation de variables aléatoires discrètes
5
Combinaisons linéaires de lois
1
Lois particulières
-Uniancyité2vers
Simulation de variables aléatoires discrètes
2
reisnUvicn-ysnaN
5
Lois particulières
1
Introduction
Simulation de variables aléatoires continues Méthode de la réciproque Méthode du rejet
3
4
Combinaisons linéaires de lois
40
Plan
té3/
Exemple
Problème simple sans solution explicite: Une tâche informatique peut se représenter par des v. a. Tj, avecj=1 5 etTj∼ E(λj)indépendantes T=min{T1+T2T3+T4+T2T3+T5} Dans ce cas,E[T]ne peut se calculer explicitement
Samy.TI(CE)N1M-SimulaitonsNancy-Université4/04
Exemple (2)
Calcul approché deE[T]: On prendNgrand (104, 105) N≡nombre d’expériences indépendantes Expérience Numéroi: On simuleT1i T5ide lois exponentielles i Ti=min{T1i+T2iT3i+T4i+T2iT3+T5i} i AlorsE[T]'1NPNi=1T
aSym.TI(CE)NM1-iSumalitnosNancy-Université5/40
Comment simuler une v.a.Xde loi donnée? Vitesse de convergence pour le calcul deE[X]? Application au calcul deRDf(x)dx
Questions générales
Remarque: On supposera que l’on sait simulerU([01]) ,→Fonctionrand
Questions:
Généralisation: Calcul approché deRDf(x)dxpourD⊂Rd
ité6/40-UniversNsnoycnaumiSitalCNIE1-)MamS.(yT
Simulation de variables aléatoires discrètes
Introduction
2
Lois particulières
1
5
Combinaisons linéaires de lois
4
3
Simulation de variables aléatoires continues Méthode de la réciproque Méthode du rejet
Plan
04/7étisr
Cadre général
Notations: SoitX≡ensemble des valeurs prises par une v.a.X On supposeX={xi;i≤M}avecM≤ ∞ Loi deX:p={pi;i≤M}avecpi=P(X=xi) En général:X=NZNdZd
Exemple: X∈XavecX={(13)(23)(45)} AlorsM=3 etx1= (13),x2= (23),x3= (45) On prendp1=12,p2=14,p3=14 Algorithme:à proposer
Samy.TI(CE)N1M-iSmulationsNancy-Université8/04
k gk=Xpi=P(X∈ {x1 xk}) i=1
Algorithme général On poseg0=0 et
Proposition Soit U∼ U([01]) Soient X et N définies par: N=1et X=x1si U<g1 N= Xk et=xksi gk−1≤U<gk Alors
L(X) =p={pi;i≤M}et
M E[N] =Xk pk k=1
evsrU-in4/0ti9émuSitilasNoncyanmaS(.TyNCEI-1M)
g=p1,k=1,U=Rand
0
k=k+1 g=g+pk
Algorithme (2)
X=xk
non
U<g
oui
isét014/y-UniverionsNanctalumiS-1M)NCEI(T.mySa
De plus
On a
P(X=xk)=P(gk−1≤U<gk) =Zgk=pk du=gk−gk−1 gk−1
M E[N]=XkP(N=k) k=1 MM =XkP(X=xk)=Xk pk k=1k=1
sNoncyanmuSitila1éti04/1inU-srevM)-1EINCTy(.Sma
