Soient n n≥1 des variables aleatoires independantes et identiquement distribuees i i d telles que P P On fixe un parametre et on definit une suite de variables aleatoires U n n≥0 par U
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Soient n n≥1 des variables aleatoires independantes et identiquement distribuees i i d telles que P P On fixe un parametre et on definit une suite de variables aleatoires U n n≥0 par U

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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Epreuve de Probabilites Soient (?n)n≥1 des variables aleatoires independantes et identiquement distribuees (i.i.d.) telles que P (?1 = 1) = P (?1 = ?1) = 1/2. On fixe un parametre ? > 0 et on definit une suite de variables aleatoires (U?n )n≥0 par U ? 0 = 0 et U ? n+1 = ?U ? n + ?n+1, pour n ≥ 0. On s'interesse a la limite de (U?n )n≥0 en loi, en fonction de ?. Les parties du probleme sont essentiellement independantes. Il sera tenu compte de la clarte du raisonnement et de la redaction dans l'evaluation de la copie. NB : • Les espaces Lp(R), ou p ≥ 1, sont sous-entendus par rapport a la mesure de Lebesgue ? et la tribu borelienne B(R) sur R. La norme de f dans Lp(R) est notee ?f?p. • Soit f ? L1(R) et ? : R ? R mesurable positive telle que ∫ ?(x) dx = 1. On pose ?r(x) = r?1?(x/r), pour r > 0. On pourra utiliser le fait que f ??r ? f dans L1(R), quand r ? 0+.

  • relation u?n

  • meme relation

  • racine du polynome x2 ?

  • theoreme de derivation de lebesgue

  • y0 de loi ?


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Langue Français

Exrait

EpreuvedeProbabilite´s
Soient (εn)n1svdeiaaresble´laiotaisere´dnantependdentsetiemtnqieuirubidts(es´ei.i.d.) telles queP(ε1= 1) =P(ε1=1) = 1/.2nOxuetrenparam`eα >enuttius´dnoine0eteed α αα α atoires (arU= 0 etU=αU+ε, pourn0ae`aslsre´entins.O variablesal´eUn)n0p0n+1n n+1 α Ude) ionα. limite de (n n0en loi, en fonct Lespartiesduproble`mesontessentiellementinde´pendantes.Ilseratenucomptedelaclart´e duraisonnementetdelare´dactiondansle´valuationdelacopie.
NB : p Les espacesL(Ru`o,)ppausndteens-outsnos,1sgueLeberedeemusa`aloptrrrpaλet p latribubor´elienneB(R) surR. Lanorme defdansL(Ree´tonst)ekfkp. R 1 SoitfL(R) etϕ:RRmesurable positive telle queϕ(x)dxOn pose= 1.ϕr(x) = 1 1 r ϕ(x/r), pourr >0. Onpourra utiliser le fait quefϕrfdansL(R), quandr0+. La fin de la partieIIIet la partieIVltnetonatnemnnoiueolntcondiobsaeet´uiinuxderent mesuresdeprobabilite´,maisessentiellementseulelade´nitionestutilis´ee.Enparticulier, leth´eor`emedeRadon-Nikodymnestpassuppose´connu.Rappelonsqueνest absolument continueparrapporta`µsi=f dµ. Dansce casfni(ue,qubmeleda`nuneesµ-mesure nullepr`es)estladensit´edeνoptra`aprrpaµ”.
Partie I
α er que (Uest 1.V´erin)n0Marknedehaˆıunecpoe´srnonoenvoD.tisiantrdeurteraiolasteno initiale. 1 2. Siα= 1, (U)n0estunemarchealtae´eriopmisuselrZpourquoi la Loi des. Rappeler n GrandsNombresetleTh´eore`medelaLimiteCentralesappliquent.Enoncercesre´sultats. k0 3. Onsupposeα >1. Onfixe alors un entierk01 tel queα >2. α 0}, pour (a)Onde´nitune´ve´nementAn={εnk0+1=∙ ∙ ∙=ε(n+1)k0etεnk0+1Unk0 c n0.etD´llaierAepourtout,upsie´atlbriuqn0 : n    \ \ ck0c    P A(12 )P A. m m 0mn+1 0mn
α1 (b)Montrerquepresquesˆurement,ilexisten1 tel que|U|>. Onpourra utiliser n α1 α kα k1 la relationU=α+ε+∙ ∙ ∙+α ε, p n+kUn n+k+αεn+k1n+1ourn0 etk1. α (c)Ende´duirequeP(|U| →+, quandn+) = 1. n
Pourtoutelasuiteduproble`me,onsupposeque0< α <introduit alors :1. On n X X α k1α k1 =α Vnεk, pourn1, etV=α εk. k=1k1 α La loi deVe´eottnesνα.
1
Partie II
α α 1. Montrer que (U) converge en loi versV, quandn+. Cettesuite converge-t-elle n presquesuˆrement? α α 2. SoitFα(t) =P(Vt),tRrapeititednoed´ritnoofcn,alV. RappelonsqueFαest continuea`droiteetadmetunelimitea`gaucheentoutpointtot,ne´eFα(t). α α,1α,1α (a) MontrerqueV=αV+ε1`u,oVueloiqˆemeamV, puis que pour touttR:    1t+ 11t1 Fα(t) =Fα+Fα.(1) 2α2α (b) Siναnredre`icrapetteri´eee´atelnvionoenlrrasntie´d,aunede.e (c)Onsouhaitee´tablirlefaitqueFαest une fonction continue.On raisonne par l’absurde et on suppose doncFαnon continue.Pourn1, on poseDn={tR, Fα(t)< Fα(t)1/n}. i. Montrerqu’il existen01 pour lequelDn0est fini et non vide. ii. Introduisonss= max{Fα(t)Fα(t), tDn0}tnare´diraperneocsn.oCcnul exemple la relation (1) au pointt0= max{tDn0, Fα(t)Fα(t) =s}. 3. Soitν´rperaititno´vreielamˆemerelatinouqenuiolentdofolatincdeonFα,cse-ta`-dire(1). Onconside`reY0de loiνite´endndpeteans(deεn). SoitYn+1=αYn+εn+1, pourn0. (a)Ve´rierqueYna pour loiν, pour toutn0. (b) Montrerqueναtincdeonntdofolanoititaspe´ritra.t(1)sfaiesluleioetsal
Partie III De´signonsparSαle support deνα.Rtseceuqsnoleppaeedlpelepsuftit´mreRdeνα-mesure h i 1 1 totale. OnintroduitIα=,, ainsi que les applications deRdansRinse´deap:r 1α1α Tα,+(x) =αxet+ 1Tα,(x) =αx1. 1. MontrerqueSαIα, puis queSα=Tα,+(Sα)Tα,(Sα). 2. Supposonsque 0< α <1/2. n α nα α α (a) MontrerqueVvaleurs distinctes et queprend au plus 2|VV| ≤. n n 1α (b)Ende´duirequelamesuredeLebesguedeSαest nulle. αQ itV n1 3. De nouveau, 0< α <1. MontrerqueE(ecos() =),tR.etD´mierrne n1 lafonctioncaract´eristiquedelaloiuniformesur[2,que les deux fonctions2]. Etablir pr´ec´edentesco¨ıncidentlorsqueα= 1/2. 4. Danscette question, 1/2< α <:1. Introduisons ( ) n X k1 Hα=α ξk, pour unn1 et desξk∈ {±1}. k=1 h ih i 12α1 12α1 (a) SoientIα,+=,etIα,=,.V´erierqueIα=Iα,+Iα,, ainsi 1α1α1α1α quelese´galite´sTα,+(Iα) =Iα,+,Tα,(Iα) =Iα,.
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n (b) SoitxIαutilisant. EnTα,+etTα,, montrer qu’il existe (ξ1,∙ ∙ ∙, ξn)∈ {±1}tels que :
n X n α k1 xα ξk. 1α k=1 End´eduirequeHαest dense dansIα. (c) MontrerqueFαest strictement croissante surIα, puis queSα=Iα.
5. Onsuppose toujours 1/2< α <use´tatl1reL.entsugg`pr´ec´edrunuetlreqeeuopα, la mesure ναs.lecaptsanse,tecfniasgbe.EueresuLedea`tremalrrapoppacontinuesolumentetsba Pourlevoir,onconside`relenombredoru= (1 +5)/2 etα= 1/u]1/2,1[.
n (a)V´erierqued(u ,Z) tend vers 0 au moins exponentiellement vite quandn+(c’est-n n `a-dired(u ,Z), pour des constantesC >0 et 0< ρ <)1u`o,d(x,Zigeslaned´) n distancedunr´eelx`aZeuqtnemelantrer´eg.Mou1/26∈Z, pour toutnZ. 2 Rappelons queueetsnˆompolyneduraciXX1. Siv,ondsi´elengtuaarerenic n n pourra calculeru+v. R 1itx (b) Supposonsqueναe´tisndenetuaifL(Rnote). Onχf(t) =e f(x)dx,tR, sa n transforme´edeFourier.Posonstn=πu, pourn:´eitaleg´lrilbatE.1
Y Y k l lim|χf(tn)|= cos(πα) cos(πu). n+k1l1
(c)V´erierquelalimiteestnonnulleetende´duireunecontradiction.
6. Soit0< α <1.
(a) SoientXetYlbselae´taioerrsdeuxvariaetnanO.sppusqesoel´esile´endndpeeuXa une densite´.MontrerqueX+Yuna.eis´tdene (b) Montrerque siναnoctunitlosbnemut`oramalareppprabeseug,eserudeLeestailen 2 estdemˆemepourνα. (c)Ve´rierqueν1/pderebeLeuesgou,prosbatsentcolumeuepantinoptrrrpaemusa`al 2 toutp1.
Partie IV Onsint´eresse`alabsoluecontinuit´edeναarpppra`tromalaruseLedeebesguepourα]1/2,1[. Cettepropri´ete´n´etantpasvraiepourtouslesα, on se pose la question dans un sens plus faible, a`savoirpourpresquetoutα]1/2,ire´vedere`tircnn.ioatc1.[eCttetablituepartie´
1. Soitmbobaedrpuserenemur(´esuilitR,B(R).On)d´enit:
C={A∈ B(R)| ∀η >0,Oouvert etFeuqfe´ermlsteFAOetm(O\F)< η}.
(a) MontrerqueCstatseraaplbpeseedelfsre´mteeriatntneitnocuceaagssme´eplomR. (b) MontrerqueCestuourttqureouep´dnEiuderten.ubiA∈ B(R) :
m(A) = sup{m(F)|Feerm´fA}= inf{m(O)|Oouvert, AO}.
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