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Sur la densité du chi re dans l'écriture binaire

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Niveau: Supérieur
Sur la densité du chi?re 1 dans l'écriture binaire d'un nombre algébrique Colin Faverjon 3 juillet 2009 1 Introduction Les nombres réels peuvent être regroupés dans di?érents ensembles. N est l'en- semble des entiers naturels, Z l'ensemble des entiers relatifs, Q l'ensemble des ration- nels et enfin R l'ensemble de tous les réels. Nous nous intéresserons ici à l'ensemble R\Q, c'est à dire l'ensemble des nombres réel qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible, l'ensemble des irrationnels. Ces nombres ont une infinité de chi?res non nuls après la virgule dans leur développement binaire (ainsi que dans n'importe quelle base), et ne sont pas ultimement périodiques, contrairement aux nombres rationnels. Par exemple ( √ 2)2 = 1.011 010 100 000 1 · · · ? R\Q ( 1 7 ) 2 = 0.001 001 001 001 · · · = 0.(001)? /? R\Q. Aux nombres rationnels, qui ont un développement assez simple, on peut opposer les nombres normaux. Un nombre est dit simplement normal si chaque chi?re ap- parait avec une même fréquence dans une base donnée. On dit qu'il est normal si il est simplement normal dans toutes les bases entières.

  • lement sur l'écriture en base

  • rxd en écriture brute

  • ieme chi?res de l'écriture brute de xd?1 avec les bits n?

  • écriture brute

  • xd

  • ecriture binaire

  • écriture du nieme chi?re après la virgule de xd

  • chi?res

  • élevation aux di?érentes puissances


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Publié le 01 juillet 2009
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Langue Français

Exrait

N
Z Q
R
RnQ
p
( 2) = 1:01101010000012RnQ2

1 != 0:001001001001 = 0:(001) 2=RnQ:
7
2
x
x
x
ieme; e
el'enseml'anbleledesrouvration-pnelsdeetsennth?oriedesdesl'ensemqu'ilbletiers,dedetousSurlesesr?els.bresNouspnousbleinnomt?resseronsdonicide?nonl'ensemetbleOnbleonl'ensemdenaturels,normal,normalc'est?mile?tous"dire(aul'ensemdeblelesdesblesnomalg?briquesbrests.r?elalg?briquequiecienneracine,pLeeuvnomenulateurtcopaseux,s'?crirecosouseladeformeminimald'unenomfractionlesirr?ductible,datenl'ensemqu'ilbleildessimplemenirrationnels.toutesCesennomabresqueonsttunedeinnit?ladeegue).caussihiresbresnondeuxnl'en-ulsnomapr?sl'ensemlabresvirguleditdanseleurexisted?v?eloppenemeniltonbinairetranscendan(ainsiolyn?meque,dansalg?brique,n'impolyn?meortedensquelleul,base),tsetennedegr?sonquetcienpashautultimemenptelleple?riopdiques,Historiquemenconl'existencetalg?briquesraialorsrpreuve(mendutditauxestnomsibreserationnels.tPtardansexempleltiersbasesenti?res.desBorelblepsem?l'en-"presqueestlebles.nomensemsontsnormauxdi?rensensdansla?sderegroupmesure?treLesbtOneneuteuvs?parerpnomr?elsirrationnelsbresnnomsous-ensemLes:ductionsemtrodesInbres1et2009blejuilletnom3transcendanerjonOnvqu'unabreFstColins'ilalg?briqueunbreolyn?menomcod'untsbinairetiersl'?crituretdansest1sinonhireditcestAuxt.nompbresminimalrationnels,itquiunonbretestunpd?vanneloppdeemen,tnassez?"simple",ecienonenppremierseuttreoppdeoserminimaldutel?leConcernaneleteloppplustdegr?nomstreositif.dansappbasedegr?ti?re,las'attenddegr?nsonauolyn?mesuiv.t.t,1.1.connaitoutdesebresationneldepuisesttiquit?mquelpremi?res1esfr?quencetranscendancerelatifs,tiersendans)unetbaseXIXdonn?e.Onlessi?cle.nomtbresd?vnormaux.emenUnd'unnombbrealg?briqueestuneditensimplemenontg?n?ralemenormaltsir?sultatcanhaqueConjecturecThirenombrap-irrparaitalg?briqueanorvaec.unem?mex
x =a a :::a a :a a a :::::;k k+1 1 0 1 2 3
an
1X an
x = ; a 2f0;1g8 n k:nn2
n= k
x D > 1 AD
D x
1C := N
(2+)AD
x #(jxj;N)
1=D#(jxj;N)>CN
N
N
x AD
D x H(x)
x
1=D
7D 2C := 216D AD
1=D#(jxj;N)>CN
3 DN (8H(x)D )
p
2
2X 2
N > 17000 p
0;94 N
?Baileyle,formeJ.surBorwsieitn,SoientE.,CrandalluneetOC.olyn?meP?briqueomerancev1dequi?d?mondutreclbreenomr?sultatemsuivcertainsanbinairet.nomTh?or?mevirgule1.2.deSoientth?or?meeneunDnombrecienteolyn?mealg?briqueNotredededegrgrvaleur?pasl'?criturel'onurCettesp,ourtLelemenermetledoncu.ol'irrationnalit?ecientourdeD?sdecgrelopp?quetiel-o?durendupTh?or?meolyn?meunminimalirrdegrssen1,,cetdeeduundenombrvelastrictementolyn?mep,ositif.ePosonsdetrerecientsconcenPosonsnousterminerallonspnousqu'un?tudeAcetteestDans2.irrationnelsAtoutlors,noteraled?vnombrtesousdee1mieuxpbresarmilelesestconjecture.l'exempleprdonemiersc?l?bre,chiraesolyn?me(apralg?sl'onla?rienvirapr?sgule)sondetl'?1.3criturae:binairaeonsdelecetteeectif.,1.3.not?articledenombrrectionalg?briquedi-ationnelndee?partiels>tun,lev?rieoextr?mender?sultatsgrdes'appuiequeposeminimaldispailneetontrate,1.surprenanhauteuronpfa?minimalpdeourc'estDedir1.pluspreuvandduses1.2ocommeentabsolue.tielinnit?r?sultatparsurseximationeutnomnealg?nomparconsid?renom.rationnelslors,leuniquer?me?critureRoth.baseansdespreuvbresdualg?briques.1.3,ouraentieronsnhoisipluile1.elopptheenexpansions.algebraicth?or?meumsaers"eectivJournalpTh?oriedeNomconna?tredenom16alg?briques2tl'in?galit?pH.minimalfoisconncPrenonsourdeded'unasseztgrand,estmaiseellequinepppermetminimalpasbrede.saquevregardeoirt?vpartirhiresdelaquanddanspr?cisemend?vt.emenDansbinaire,lath?or?med?monstrationditquel'onnousplusallonsirrationnelpr?senlester,nousestlevraiehirepLaassezegrth?or?meand.utiliseCetteingr?dienminorationessenestununec?l?breal'approvdesanc?ebresdansbriquesledessensbresde:lath?o-conjecturede1.1.DCeplaendanetth?or?melanousd?monstrationvdonn?ecpardelessubstituerquatre"Onmath?maticiensbinarydonneofunnr?sultatbineectif,-c'estde?desdirebresqu'elleBordeauxprouv(2004)equeC
x x
x
x
x =x :x x x x 2f0;1g8 n 0:0 1 2 3 n
P =fpjx = 1gp
d2N

dr (x;n) = # (p :::p )2P jp +p +:::+p =n :d 1 d 1 1 d
d = 1 r (x;p) = 1,p2P1
X
r (x;n) = r (x;i)r (x;n i):d d 1 1
in
x r (x;0) = 11
02P r (x;n) > 0) r (x;n) > 0 r (x;n) = 0)d 1 d d
r (x;n) = 0d 1
iemer (x;n) nd
d dx x
dx
d = 1
d 1d 1 x
iemex n
eme d 1i x n i x
.etclassique,2depuisque2nousunenetiqueconsid?ronslesdansquelqueslecommeth?or?mesuccesiv1.3imm?diatqueAlorsleslesccons?quenhiresdansapparaissanadditivtduapr?shirelal'onvirgule.tesNousbienvrerronssoitplusdanstardonnel'inbrutet?r?ted'uneth?orietelledurestriction.etRegardonsbres,l'?criturecertainesbinaireallodeenth?or?mela:dedudet?r?td?l'inl'?levEnsuite,appnis.Ontstsemenleaccrois-brutedesSuppth?or?mepuissanceleultipliquelomplexesqueaestvcecilcdeplusPr?sultatsdditivdenotionspas1.3n'utilisepreuvetservironcourtequiestd?monouvilledesLidedesOnnomnote1.3,th?or?mepdu?treedupreuvd'enlalaqueansparticrAalogdicile,retenl'ensemlorsbleauxdesquepl'?critureositionseducomprendcfahirer?currence.1.ourP,ourtuetalorslonguel'?critureestqueRoth?on1.3d?nitondeth?or?me?nienestth?or?mem?thodutrouvd?monstrationteacldeord,uned'abdeoutparTvv;raisons.binaireincon.plusieursarourtpaLiouvillededeQuelquesth?or?me.quelquesth?or?metoutefoisetelapresentLiouvillenousdesurtoutth?or?mer?sultatsdutrerL'utilisationetRoth.nomdeeleth?orieth?or?menotionsEnd?nirpnosanLetbreaunoustth?or?metrairemeneoneutafaitdoncvu:l'?critureconpreuv1tamereectifcr?sultatapr?sunvirguledonnetqu'ildanstre?critureenuli?recomprisvdeo?oseraurait.arOnlesremarqueuesalorsesqu'ondesuppation3di?renrelationpuissancesdel'onr?currenceellerag?n?ralit?,"brute"de1.2.s.telerassezeenpisansansuneeut,C'estpponth?or?mvirgule,danslal'?cdeiheregaucest?idenhires?cbinaire.deosonsnicebrevrainomlaqu'unquen'a.LiouvillquandUnemcons?quenceeimpleortanparteselondaudeconhoixed'unleCommeconstanenbtrehire1l'additionettous2moins:exemplecommehiresr?el.l'?criturebredenomdonneunaeecSoitbitsbrestsalorsl'?criturenomdedesalaX
r (x;i)r (x;n i) =r (x;n)d 1 1 d
in
dx
Xr (x;n)ddx = :
n2
n0
R2 N T (x;R) =d
Xr (x;R+m)d R2
m2
m1
d R dx 2 x
a = r (x;n)d;n d
dx = a :a a a a d;0 d;1 d;2 d;R d;R+1
T (x;R) = 0:a a a d d;R+1 d;R+2 d;R+3
T (x;R) Rd
N
N d x [1;2]
RN
d(N +d)
T (x;R) :d
(d 1)!(N +1)
r (x;n)d
X
r (x;n) = r (x;i)r (x;n i)d d 1 1
in
X
#f(i :::i )j i =ng1 d j

n+d 1

d 1
lestenansuccesivtD?monstrc.herc1heration?crituremaOnjorercasd'apr?sdest,d'abquibinaire,direemenbrutetsuivpproourSitoutn'binaireppluspTetitmaqu'unnomnom.brec'est:Ainsi,ecde?titions.enaud'obtenirLemmete2.1.tSoientonpartieouret?criturelal'?crituredeuxqueentiersN,mainlaallons1deElevbinaisonsation.?outelorddansjoronsNousd'unlabre,auxalorspuissancespesour?tout.entierl'?Rbrutetelpque?criturerelatiAlorsonermetci-dessus,l'?galit?,anon:ad?niteloppvisoiremend?vnotefoisnotationsunesimpliers?rieppartiellebrute.deenduo?queuebinaire?critasousdessajusqu'?formeensuitebrute.ourC'esteenfractionnaireFigureetloifaitcomarvunr?pdonn?4gr?ce
X R+m+d 1mT (x;R) 2 :d
d 1
m1

X R+m+d 1mU (R) = 2d
d 1
m1

R+d 1
U (R) = 2U + :d d 1
d 1

n n 1 n 1
= + ;
p p 1 p
X R+m+d 1mU (R) = 2d
d 1
m1
X XR+m+d 2 R+m+d 2m m= 2 + 2
d 2 d 1
m1 m1

X R+m+d 1 1 R+d 1m= U (R)+ 2 +d 1
d 1 2 d 1
m2

1 R+d 1 1
= U (R)+ + U (R);d 1 d
2 d 1 2

R+d 1
U (R) = 2U + :d d 1
d 1
d 1X R+d
U (R) = :d
j
j=0

R+d 1
U (R) = 2U (R)+d d 1
d 1
d 2X R+d 1 R+d 1
= 2 +
j d 1
j=0
d 2XR+d 1 R+d 1 R+d 1
= + +
0 j j +1
j=0
d 1X R+d
= :
j
j=0
vOnecenrang:autvraisesoitd?duitceOrd-1,queEnosonseet,Suppetrivial.formeestOncecilesd=1,?rieouronP:currence.?rien?bin?miauxrenparrappcelalanerg?n?raleprouvlaeutenptsOncolaqueen:d?duitvalorstcons?quentder?currencearelationpar5etd 1 d dX(R+d) d 1 (R+d) (N +d)
nT (x;R)U (R) ( ) = :d d
(d 1)! R+d (d 1)!(R+1) (d 1)!(N +1)
n0
log
N d x [1;2]
D dD K =DlogN
X
dT (x;R) #(x;N) +2d
1RN K
X X X
mT (x;R) = 2 r (x;R+m)d d
1RN K m1 RN K
KXX X Xr (x;R)d K K m +2 2 r (x;R+m)dm2
m=1RN m>K RN K
X X
K r (x;R)+2 T (x;R)d d
RN KRN
d(N dlogN)(N +d)d D #(x;N) +N :
(d 1)!(N +1)
N
d(N dlogN)(N +d)DN < 2:
(d 1)!(N +1)
DN+D D 1=D 2, 1+ 2
N N
D
N :
1=D2 1
D D3 D(8H(x)D ) > 8D> 1 N1=D 1=D2 1 2 1
X
dT (x;R) #(x;N) +2:d
1RN K
X 1
n!2
n0
tOnlit?seandonnetrunbresentierth?or?me.rIlpsutvdoncld'alavfautoirestetlonendance.suppdeosenom.laOnunepduosed'enOrealorsil.elerALiouvillelorsdespr?oursNnassezdegrparanderD?monstrtranscendenced?signeragarsuiteeladeDansvteaucoupnalemengrandeEthired'apr?st,tameronpreuvadudoncprincipale,biennouslerapplemmel'in?ga-ation.de2.1quiOnuncpremiehercsetsupartatcons?quendetaquescrL'in?galit?unLiouvilleetermetentiersexempledeuxprouvetdirectemendela.duebredansel.aoir?pdetelIci,d'allevhenousOnermettre2.2.prouvLemmer2.transcendencebasenomdealogarithmeecleb1.palorsussutfr?quenceIlcAv6doncx
(p;q)