TP L3 Physique Plate forme TTE C E S I R E DFUISON DE AL CHLAEUR

Joseph Fourier Grenoble

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
TP - L3 Physique - Plate-forme TTE - C.E.S.I.R.E. - Université Joseph Fourier - Grenoble DIFFUSIONDELACHALEUR BUT DU T.P. On se propose de déterminer les caractéristiques thermiques (diffusivité thermique D et coefficient d'échange de surface h) d'une barre métallique. Pour cela, on établira d'abord les relations théoriques reliant les grandeurs D et h aux coefficients de la décomposition en série de Fourier d'une onde de chaleur parcourant la barre. La mesure expérimentale de cette onde de chaleur puis la détermination des coefficients de Fourier correspondants permettront alors de remonter aux valeurs des caractéristiques thermiques de la barre. La notation (? doc) signifie ”Allez consultez le document annexe : topo sur le transfet de chaleur et/ou documents techniques sur la table du TP”. 1. INTRODUCTION Considérons deux barres métalliques de même longueur et de même section, l'une en acier et l'autre en cuivre. L'une des extrémités de ces deux barres étant portée à la même température T0 (T0 > Tambiante), une fois le régime permanent établi (c'est-à-dire lorsque la température en un point quelconque de la barre ne dépend plus du temps), on constate que : 1) Les températures des autres extrémités des barres, T1 et T2, sont inférieures à T0. 2) T1 de la barre en cuivre est supérieure à T2 de la barre en acier.

• épaisseur de la plaque


• chaleur


• moitié de la fréquence d'échantillonnage


• détermination des coefficients de fourier correspondants


• fréquence


• barre


• développement en série de fourier

Sujets

• Fréquence
• Chaleur

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Extrait

TP - L3 Physique - Plate-forme TTE - C.E.S.I.R.E. - Université Joseph Fourier - Grenoble
DIFFUSIONDELACHALEUR
BUT DU T.P.
On se propose de déterminer les caractéristiques thermiques (diffusivité thermique D et coefficient
d’échange de surface h) d’une barre métallique. Pour cela, on établira d’abord les relations théoriques
reliant les grandeurs D et h aux coefficients de la décomposition en série de Fourier d’une onde de
chaleur parcourant la barre. La mesure expérimentale de cette onde de chaleur puis la détermination
descoefficientsdeFouriercorrespondantspermettrontalorsderemonterauxvaleursdescaractéristiques
thermiques de la barre. La notation () doc) signifie ”Allez consultez le document annexe : topo sur le
transfet de chaleur et/ou documents techniques sur la table du TP”.
1. INTRODUCTION
Considéronsdeuxbarresmétalliquesdemêmelongueuretdemêmesection,l’uneenacieretl’autreen
cuivre.L’unedesextrémitésdecesdeuxbarresétantportéeàlatempératureT (T >Tambiante),0 0
une fois le régime permanent établi (c’est-à-dire lorsque la température en un point quelconque de la
barre ne dépend plus du temps), on constate que :
1) Les températures des autres extrémités des barres,T etT , sont inférieures àT .1 2 0
2)T de la barre en cuivre est supérieure àT de la barre en acier.1 2
Cesobservationss’expliquentfacilement:lachaleursepropagedel’extrémitéchaudedelabarrevers
l’autre extrémité par conduction. Une partie de la chaleur est évacuée par la surface latérale de la barre
par convection et rayonnement. Ces trois phénomènes entraînent queT etT sont inférieures àT . Les1 2 0
températuresT etT sont différentes car, à convection et rayonnement égaux, les deux matériaux n’ont1 2
−1 −1pas la même conductivité thermique notéek (unitéWm K ).
Compliquons le problème en supposant maintenant que la températureT dépend du temps de façon0
périodique(sinusoïdalementparexemple).Onconstatequ’enunpointàladistancex,onauraégalement
une variation périodique de la température de même période mais amortie et déphasée par rapport à la
température en x = 0. La vitesse de la propagation de "l’onde de chaleur" dépend d’un autre paramètre :
2 −1la diffusivité thermique notéeD (unitésm s ).
DestdéfiniparD =k/ρC aveckconductivitéthermique,ρmassevolumiqueetC chaleurspécifique.
La diffusivité thermique intervient dans tous les problèmes où l’on n’est pas en régime stationnaire,
indépendantdutemps.Onmontreparexemple,quelaconstantedetempsdemiseenéquilibrethermique
d’une plaque d’épaisseur a, initialement à la température T , et dont on porte brusquement les deux1
2afaces à la températureT , est typiquement τ = D oùD est la diffusivité thermique du matériau et a2 4
l’épaisseurdelaplaque.Ilestimportantdegarderenmémoiredanslecadred’unproblèmedediffusion,p
qu’un ordre de grandeur typique de la longueur de diffusion ` est de l’ordre de `’ Dτ, où τ est un
temps caractéristique de l’expérience.
L’amortissement et le déphasage en fonction de la distance viennent du fait que dans le cas de la
chaleur,lesphénomènesobéissentnonàuneéquationdepropagation(casdesondesélectromagnétiques)
mais à une équation de diffusion.
Enpratique,onpeuttirerprofitdecetamortissementetdecedéphasage.Parexemple,sil’onassimile
lavariationannuelledetempératureàlasurfacedusolàunesinusoïde,ontrouvequ’àuneprofondeurde
1mètre,l’amplitudedelavariationannuelleestdiviséepare(basedeln).Auneprofondeurde3mètres,
c’est en hiver qu’a lieu le maximum de température, et l’amplitude est divisée par 24. Ceci explique
pourquoi les conduites d’eau sont enterrées à une profondeur de quelques mètres.
2. MESURE DE LA DIFFUSIVITÉ - MISE EN ÉQUATION
Ondisposed’unebarreenalliagemétalliquedesectionS etdepérimètreP,chaufféepériodiquement
à une extrémité . Les pertes latérales, dues à la convection et au rayonnement, sont représentées par un
1coefficientd’échangedesurfaceh,etlapuissanceperdueparunitédesurfacelatéraleesth[T(x)¡T ],0
T étant la température ambiante et T(x) la température à l’abscisse x. La longueur de la barre étant0
grande devant son diamètre, on supposera que la est uniforme dans une section droite de la
barre.
Considérons une tranche de la barre comprise entre les abscisses x et x +dx et établissons le bilan
thermiquedecettetranche.Pendantletempsdt,unequantitédechaleurdQ entreenx;unequantitéde1
chaleurdQ ressort enx+dx et une quantité de chaleurdQ sort par la surface latérale. La différence2 3
entredQ et (dQ +dQ ), soitdQ , sert à élever dedT la température de la tranche considérée (dQ ,1 2 3 4 1
dQ ,dQ etdQ sont comptées positivement).2 3 4
En appliquant la loi de Fourier, on peut écrire :( ) ( )
∂T ∂TdQ =¡kS dt[1] dQ =¡kS dt[2]1 2∂x ∂xx x+dx
On a d’autre part : ( )
∂TdQ =hPdx(T¡T )dt[3] dQ =ρCSdx dt[4]3 0 4 ∂t
Le bilan thermiquedQ =dQ +dQ +dQ s’écrit alors :1 2 3 4( ) ( ) ( )
∂T ∂T ∂T¡kS dt =¡kS dt+hPdx(T¡T )dt+ρCSdx dt[5]0∂x ∂x ∂tx x+dx ( )
∂TEnfaisantundéveloppementlimitéde etenintroduisantl’écartdetempératureθ =T¡T ,0∂x x+dx
on obtient l’équation de diffusion :
2∂ θ ∂θ P hD = + θ [6]2∂x ∂t S ρC
3. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DE DIFFUSION
Larésolutiond’unetelleéquationn’estpossiblequedansdescassimples.Ici,nousferonsl’hypothèse
quelabarreestsemi-infinie(θ=0pourx!1)etqu’enx=0lavariationdetempératureestsinusoïdale
θ =θ cosωt.x=0 0
Laréalisationpratiqued’unchauffagesinusoïdalestdifficile.Onsecontenteraenpratiqued’unchauf-
fage périodique. En tout point de la barre, une fois le régime permanent établi, la température sera une
fonctionpériodiquedutempsdemêmepériodequ’enx=0etl’onutiliseraundéveloppementensériede
Fourier pour la représenter. La représentation de cette fonction périodique par une somme de fonctions
sinusoïdales permettra alors la résolution de l’équation de diffusion.
3.1. Développement en série de Fourier d’une fonction continue. Considérons une fonctionf(x,t)
continue et périodique dans le temps, de périodeT. On entend par ”continue” le fait que la fonction est
connue en tout point de la périodeT. On a alors :[ ( ) ( )]∑
+∞ 2Πnt 2Πntf(x,t) =a (x)+ a (x)cos +b sin [7]0 n nn=1 T T
avec ∫
1a (x) = f(x,τ)dτ [8]0 T T∫ ( )
2 2Πnta (x) = f(x,τ)cos dτ [9]n T TT ( )∫
2 2Πntb (x) = f(x,τ)sin dτ [10]n T T T
Ilfautretenirquelafonctionf(x,t),définiesurunintervallefini,possèdeunnombreinfinidecoeffi-
cients définis sur un domaine infini de fréquences discrètes, fréquences dont la plus basse est celle de la
fonction elle-même.
Il est commode de représenter les sériesa etb par des graphiques du type ci-dessous, où l’on porten n
en abscisse le rang n de l’harmonique et l’on trace en ordonnée un segment de hauteur a ou b oun n√
2 2a +b . Ce graphique s’appelle un spectre d’harmoniques et montre immédiatement l’importancen n
relative des différents harmoniques constituant le signal.
2Il existe d’autres façons, toutes équivalentes, de représenter le développement en série de Fourier
d’une fonctionf(x,t), périodique dans le temps :
∑ ( )
+∞ 2Πnt3.1.1. Représentation amplitude et phase. f(x,t) =S (x)+ S (x)cos ¡ϕ (x) [11]0 n nn=1 T
On a alors
b (x)n2 2 2S (x) =a (x) S (x) =a (x)+b (x) tgϕ (x) =0 0 nn n n a (x)n
où l’on voit apparaître l’amplitudeS et la phaseϕ de chaque harmonique.n n
∑
+∞ inωt3.1.2. Représentation complexe. f(x,t) = C (x)e [12]nn=−∞
avec ∫
1 −inωτC (x) = f(x,τ)e dτ [13]n T T
C (x) etC (x) sont complexes conjugués et on a les relations suivantes :n −n
1 1C (x) =a (x) C (x)= [a (x)¡ib (x)] C (x) = [a (x)+ib (x)][14]0 0 n n n −n n n2 2
3.2. Résolution de l’équation de diffusion. Parmi toutes les solutions proposées par les mathéma-
tiques, on choisit une solution où les variablesx ett soient séparées.
En adoptant la notation complexe pour le développement en série de Fourier, on cherche donc une
solution de la forme :∑+∞ inωtθ(x,t) = C (x)e [15]nn=−∞
En reportant dans l’équation de diffusion, on obtient :( )
2∂ C (x)n PhD = +inω C (x)[16]n2∂x SρC
−(γ +iϕ )xn ndont la solution est :C (x) =C (0)e [17]n 0
γ etϕ étant deux nombres positifs tels que :n n
2 2 hP 1 nωγ ¡ϕ = [18] etγ ϕ = [19]n nn n DρCS 2 D
La solution globale est donc :∑+∞ −γ x i(nωt−ϕ x)n nθ(x,t) = C (0)e e [20]nn=−∞
−γ xnoù l’on voit apparaître le terme d’amortissemente et le terme de propagation avec un déphasage
i(nωt−ϕ x)ne et une vitesse de propagationv =nω/ϕn
4. CALCUL