UCBL Semestre d'automne L3 Mathematiques Topologie

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

• fiche - matière potentielle : td

UCBL 2010/2011 - Semestre d'automne L3 Mathematiques, Topologie Fiche de TD 1 : Revisions sur R Exercice 3. Soit f : [a, b]? R une fonction continue. 2?. Montrer que f est uniformement continue. Soit ? > 0 fixe. La continuite de f entraine ceci : Pour tout x ? [a, b], il existe ?x (il depend de x d'ou la notation) tel que si y ? [a, b] satisfait y ?]x??x, x+?x[ alors f(y) ?]f(x)??/2, f(x)+?/2[ (on applique la continuite de f en x avec ?/2). On a [a, b] ? ? x?[a,b] ]x? ?x/2, x+ ?x/2[. La compacite de [a, b] entraine qu'il existe x1, . . . , xn ? [a, b] tels que [a, b] ? ? 1≤i≤n ]xi ? ?xi/2, xi + ?xi/2[. Soient maintenant x, y ? [a, b] tels que |x?y| < ? le but etant de montrer que |f(x)?f(y)| < ?.

• inegalite triangulaire


• semestre d'automne l3


• ?tn? ≤


• lim n?


• limite voulue


• um ?

Sujets

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• Education
• Etudes supérieures
• Inégalité triangulaire

Informations

• Publié par: ondey
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• Langue: Français

Extrait

UCBL 2010/2011 - L3Math´ematiques,

Semestre d’automne Topologie

FichedeTD1:R´evisionssurR

Exercice 3.Soitf: [a, b]→Rune fonction continue. ∗ 2 . Montrerquefseuteuni.mentcontniform´e

Soitε >0e´xfiitnude´eac.LtionfPour toutentraine ceci :x∈[a, b], il existeδ x epe´dli(dendx d’o`ulanotation)telquesiy∈[a, b] satisfaity∈]x−δ x , x+δ x [ alorsf(y)∈]f(x)−ε/2, f(x)+ε/2[ (onappliquelacontinuite´defenxavecε/2). [ On a [a, b]⊂]x−δ x /2, x+δ x /edt´e[omaccipaL.[2a, b] entraine qu’il existex 1 , . . . , x n ∈ x∈[a,b] [ [a, b] tels que [a, b]⊂]x i −δ x i /2, x i +δ x i /2[. 1≤i≤n Soient maintenantx, y∈[a, b] tels que|x−y|< δquertroneub´teldtmetena|f(x)−f(y)|< ε. Soiti∈ {1, . . . , n}tel quex∈]x i −δ x i /2, x i +δ x i /2[ (un teliexiste par le recouvrement fini obtenupre´c´edemment).Onaalors|f(x)−f(x i )|< ε/2. D’autre part,|y−x i | ≤ |y−x|+|x−x i | ≤δ+δ x i /2≤δ x i ,tne.Parsnocuqe´|f(y)−f(x i )|< ε/2. Finalement, on obtient : ε |f(x)−f(y)| ≤ |f(x)−f(x i )|+|f(x i )−f(y)| ≤2∙=ε. 2

Exercice 6. 1. Soit(I n ro´nseetllqeeuopervallesferm´esbu)usendetitni’tuotrun,I n+1 ⊆I n que. Montrer l’intersection desI n n’est pas vide.

Notons, pour chaquen,I n = [a n , b n ecavenbiˆsru](a n ≤b n relation). LaI n+1 ⊂I n entraine a n ≤a n+1 ≤b n+1 ≤b n . Ainsi,la suite (a n ) est croissante et la suite (b n nte.issaecrostd´e)eD plus (a n lempxerepae,´eormtja)serap,b 0 (emeˆmeD.b n )semtniroe´peraa 0 . Cesdeux suites sont donc convergentes.Notonsaetbleur limite respective. Pour toutnuopte)e´tuotr(fixk≥n, a n ≤a k ≤b k ≤b n . Quandktend vers l’infini, on obtient : a n ≤a≤b≤b n . Ceci´etantvraipourtoutn, on obtient queaetb’la`tnenneitrappadestionrsecinteI n , qui est donc non vide. 2. Montrerde plus que cette intersection est un singleton si la longueur desI n tend vers 0. Soitxdans l’intersection desI n pour tout. Alorsn,a n ≤x≤b n que la longueur des. DireI n tend vers 0 signifie que la suite (b n −a n Cela entraine que) tend vers 0.a=b. Passonsa`lalimite.Lesin´egalite´sa n ≤x≤b n donnent alorsb=a≤x≤b=aentraine. Cela lere´sultatvoulu.

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