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UCBL Semestre d'automne L3 Mathematiques Topologie

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3fiche - matière potentielle : tdUCBL 2010/2011 - Semestre d'automne L3 Mathematiques, Topologie Fiche de TD 1 : Revisions sur R Exercice 3. Soit f : [a, b]? R une fonction continue. 2?. Montrer que f est uniformement continue. Soit ? > 0 fixe. La continuite de f entraine ceci : Pour tout x ? [a, b], il existe ?x (il depend de x d'ou la notation) tel que si y ? [a, b] satisfait y ?]x??x, x+?x[ alors f(y) ?]f(x)??/2, f(x)+?/2[ (on applique la continuite de f en x avec ?/2). On a [a, b] ? ? x?[a,b] ]x? ?x/2, x+ ?x/2[. La compacite de [a, b] entraine qu'il existe x1, . . . , xn ? [a, b] tels que [a, b] ? ? 1≤i≤n ]xi ? ?xi/2, xi + ?xi/2[. Soient maintenant x, y ? [a, b] tels que |x?y| inegalite triangulaire semestre d'automne l3 ?tn? ≤ lim n? limite voulue um ?
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Français

UCBL 2010/2011 -L3Math´ematiques,
Semestre d’automne Topologie
FichedeTD1:R´evisionssurR
Exercice 3.Soitf: [a, b]Rune fonction continue. 2 . Montrerquefseuteuni.mentcontniform´e
Soitε >0e´xitnude´eac.LtionfPour toutentraine ceci :x[a, b], il existeδxepe´dli(dendx do`ulanotation)telquesiy[a, b] satisfaity]xδx, x+δx[ alorsf(y)]f(x)ε/2, f(x)+ε/2[ (onappliquelacontinuite´defenxavecε/2). [ On a [a, b]]xδx/2, x+δx/edt´e[omaccipaL.[2a, b] entraine qu’il existex1, . . . , xnx[a,b] [ [a, b] tels que [a, b]]xiδxi/2, xi+δxi/2[. 1in Soient maintenantx, y[a, b] tels que|xy|< δquertroneub´teldtmetena|f(x)f(y)|< ε. Soiti∈ {1, . . . , n}tel quex]xiδxi/2, xi+δxi/2[ (un teliexiste par le recouvrement fini obtenupre´c´edemment).Onaalors|f(x)f(xi)|< ε/2. D’autre part,|yxi| ≤ |yx|+|xxi| ≤δ+δxi/2δxi,tne.Parsnocuqe´|f(y)f(xi)|< ε/2. Finalement, on obtient : ε |f(x)f(y)| ≤ |f(x)f(xi)|+|f(xi)f(y)| ≤2=ε. 2
Exercice 6. 1. Soit(Inro´nseetllqeeuopervallesferm´esbu)usendetitnituotrun,In+1Inque. Montrer l’intersection desInn’est pas vide.
Notons, pour chaquen,In= [an, bnecavenbiˆsru](anbnrelation). LaIn+1Inentraine anan+1bn+1bn. Ainsi,la suite (an) est croissante et la suite (bnnte.issaecrostd´e)eD plus (anlempxerepae,´eormtja)serap,b0(emeˆmeD.bn)semtniroe´peraa0. Cesdeux suites sont donc convergentes.Notonsaetbleur limite respective. Pour toutnuopte)e´tuotr(xkn, anakbkbn. Quandktend vers l’infini, on obtient : anabbn. Ceci´etantvraipourtoutn, on obtient queaetbla`tnenneitrappadestionrsecinteIn, qui est donc non vide. 2. Montrerde plus que cette intersection est un singleton si la longueur desIntend vers 0. Soitxdans l’intersection desInpour tout. Alorsn,anxbnque la longueur des. DireIn tend vers 0 signifie que la suite (bnanCela entraine que) tend vers 0.a=b. Passonsa`lalimite.Lesin´egalite´sanxbndonnent alorsb=axb=aentraine. Cela lere´sultatvoulu.
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