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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

fiche - matière potentielle : td

UCBL 2010/2011 - Semestre d'automne L3 Mathematiques, Topologie Fiche de TD 1 : Revisions sur R Exercice 3. Soit f : [a, b]? R une fonction continue. 2?. Montrer que f est uniformement continue. Soit ? > 0 fixe. La continuite de f entraine ceci : Pour tout x ? [a, b], il existe ?x (il depend de x d'ou la notation) tel que si y ? [a, b] satisfait y ?]x??x, x+?x[ alors f(y) ?]f(x)??/2, f(x)+?/2[ (on applique la continuite de f en x avec ?/2). On a [a, b] ? ? x?[a,b] ]x? ?x/2, x+ ?x/2[. La compacite de [a, b] entraine qu'il existe x1, . . . , xn ? [a, b] tels que [a, b] ? ? 1≤i≤n ]xi ? ?xi/2, xi + ?xi/2[. Soient maintenant x, y ? [a, b] tels que |x?y| < ? le but etant de montrer que |f(x)?f(y)| < ?.

inegalite triangulaire

semestre d'automne l3

?tn? ≤

lim n?

limite voulue

um ?

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Inégalité triangulaire

UCBL 2010/2011 -L3Math´ematiques,

Semestre d’automne Topologie

FichedeTD1:R´evisionssurR

Exercice 3.Soitf: [a, b]→Rune fonction continue. ∗ 2 . Montrerquefseuteuni.mentcontniform´e

Soitε >0e´xﬁitnude´eac.LtionfPour toutentraine ceci :x∈[a, b], il existeδxepe´dli(dendx d’o`ulanotation)telquesiy∈[a, b] satisfaity∈]x−δx, x+δx[ alorsf(y)∈]f(x)−ε/2, f(x)+ε/2[ (onappliquelacontinuite´defenxavecε/2). [ On a [a, b]⊂]x−δx/2, x+δx/edt´e[omaccipaL.[2a, b] entraine qu’il existex1, . . . , xn∈ x∈[a,b] [ [a, b] tels que [a, b]⊂]xi−δxi/2, xi+δxi/2[. 1≤i≤n Soient maintenantx, y∈[a, b] tels que|x−y|< δquertroneub´teldtmetena|f(x)−f(y)|< ε. Soiti∈ {1, . . . , n}tel quex∈]xi−δxi/2, xi+δxi/2[ (un teliexiste par le recouvrement ﬁni obtenupre´c´edemment).Onaalors|f(x)−f(xi)|< ε/2. D’autre part,|y−xi| ≤ |y−x|+|x−xi| ≤δ+δxi/2≤δxi,tne.Parsnocuqe´|f(y)−f(xi)|< ε/2. Finalement, on obtient : ε |f(x)−f(y)| ≤ |f(x)−f(xi)|+|f(xi)−f(y)| ≤2∙=ε. 2

Exercice 6. 1. Soit(Inro´nseetllqeeuopervallesferm´esbu)usendetitni’tuotrun,In+1⊆Inque. Montrer l’intersection desInn’est pas vide.

Notons, pour chaquen,In= [an, bnecavenbiˆsru](an≤bnrelation). LaIn+1⊂Inentraine an≤an+1≤bn+1≤bn. Ainsi,la suite (an) est croissante et la suite (bnnte.issaecrostd´e)eD plus (anlempxerepae,´eormtja)serap,b0(emeˆmeD.bn)semtniroe´peraa0. Cesdeux suites sont donc convergentes.Notonsaetbleur limite respective. Pour toutnuopte)e´tuotr(ﬁxk≥n, an≤ak≤bk≤bn. Quandktend vers l’inﬁni, on obtient : an≤a≤b≤bn. Ceci´etantvraipourtoutn, on obtient queaetb’la`tnenneitrappadestionrsecinteIn, qui est donc non vide. 2. Montrerde plus que cette intersection est un singleton si la longueur desIntend vers 0. Soitxdans l’intersection desInpour tout. Alorsn,an≤x≤bnque la longueur des. DireIn tend vers 0 signiﬁe que la suite (bn−anCela entraine que) tend vers 0.a=b. Passonsa`lalimite.Lesin´egalite´san≤x≤bndonnent alorsb=a≤x≤b=aentraine. Cela lere´sultatvoulu.

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