Univ Lyon Licence STS Printemps Une correction du controle continu final Math IV Algebre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Univ. Lyon 1 - Licence STS - Printemps 2009/2010 Une correction du controle continu final, Math IV Algebre Exercice 1. L'ensemble C∞(R,R) designe l'espace vectoriel des fonctions de R vers R indefiniment derivables. On considere l'equation differentielle (?) y?? + y = 0 d'inconnue y ? C∞(R,R). Notons E l'espace vectoriel (reel) des solutions de (?). On admet que E est de dimension 2. 1. Soit B la famille (cos, sin) de C∞(R,R). Montrer que B est une base de E. Ici l'enonce nous dit que E est de dimension 2. Ainsi pour montrer que la famille B est une base il suffit de montrer qu'elle est libre. Soient donc µ, ? ? R tels que µ cos+? sin = 0. Ainsi pour tout x ? R, µ cos(x) + ? sin(x) = 0. En prenant x = 0 on obtient µ = 0 et en prenant x = π/2 on obtient ? = 0. 2. La famille B est-elle une base de C∞(R,R) ? Si cette famille etait une base de C∞(R,R) alors toute fonction C∞ serait solution de l'equation (?).

?2 sin

noyau

correction du controle continu final

matrice de passage de la base canonique

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Univ. Lyon 1  Licence STS  Printemps 2009/2010 Unecorrectionducontroˆlecontinufinal,MathIVAlg`ebre

Exercice 1. ∞ L’ensembleC(R,Rceotirlee’pscaveionsdedesfonctd)lengise´RversRnifenemi´dniesbl.´etdvari Onconsid`erel’e´quationdiﬀe´rentielle ′′ (⋆)y+y= 0 ∞ d’inconnuey∈ C(R,R). NotonsEotceleire´r(d)lelsp’eevacessolutionsde(⋆). On admet queEest de dimension 2. ∞ 1. SoitBla famille (cos,sin) deC(R,R). Montrer queBest une base deE. Icil’e´nonc´enousditqueEest de dimension 2. Ainsi pour montrer que la familleBest une base il suﬃt de montrer qu’elle est libre. Soient doncµ, ν∈Rtels queµcos +νsin = 0. Ainsi pour toutx∈R,µcos(x) +νsin(x) = 0. En prenantx= 0 on obtientµ= 0 et en prenantx=π/2 on obtientν= 0. ∞ 2. LafamilleBestelle une base deC(R,R) ? ∞ ∞ Sicettefamillee´taitunebasedeC(R,R) alors toute fonctionCserait solution de l’e´quation(⋆). Or, par exemple la fonction polynomialeP:R→R´nnodrapeeP(x) =x nesatisfaitpasl’e´quation(⋆.)e´ncitag.evr´Laonepesseontd ∗ ∗∗ NotonsB= (cos,sin ) la base duale deB. Soientw1:E→R,w2:E→Retw3:E→Rnifi´edsn:iseia π ′ w1(f) =f(0), w2(f) =f( ), w3(f) =f(0). 2 ∗ 3. Montrerquew1etw2forment une base deE. 2∗ Tout d’abord on voit facilement que chaquewiltnie´iasepaapiertetrencdoa`tn(R) . 2 2∗ D’autre partRdimestdeetsodelen2ni,snoie(edemmˆdencRe)rdnope´rruopcnoD. a`laquestionilsuﬃtdemontrerquew1etw2S.ionastuorneptosiltnae´nemirtien´endndpe celaµ1, µ2∈Rtels queµ1w1+µ2w2= 0. Ainsi pour toutf∈E,µ1w1(f) +µ2w2(f) = 0. Si on prendf= cos on obtientµ1= 0 et en prenantf= sin on obtientµ2eulo`d’=0 re´sultatvoulu. 4. Montrerquew2=w3. Icicesontdeuxapplicationsline´aires.Pourmontrerqu’ellesonte´galesilsuﬃtdemon trerqu’ellescoı¨ncidentsurles´ele´mentsd’unebasedeE, par exemple cos et sin. On a ′ w2(cos) = cos(π/2) = 0 =−sin(0) = cos(0) =w3(cos) etw2(sin) = sin(π/2) = 1 = ′ cos(0) = sin (0) =w3(sin) ce qui permet de conclure. ∗ ∗ 5. Ecrirew1,w2et sin .en fonction de cos ∗ ∗∗ ∗ Ecrivonsw1=ν1cos +ν2sin avecνi∈R(c’est possible puisqueBest une base deE). ∗ On a alors d’une partw1(cos) =ν1cos (cos)+ν2sin∗(cos) =ν1×1 +ν2×0 =ν1et

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