UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON Cours: O Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T Altınel T Eisenkolbl S Richard

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

fiche - matière potentielle : m

UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T. Altınel, T. Eisenkolbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) – Fiche 4 17 mars 2008 Differentiabilite en un point L'application f : Rn ?? Rm est dite differentiable en a ? Rn si elle satisfait la condition lim h?0 ||f (a+ h) ? f (a) ? df (a)(h)|| ||h|| = 0 ou df (a) est la matrice par rapport a la base canonique d'une application lineaire de Rn vers Rm qui est en fait la matrice jacobienne de f evaluee au point a. Plus precisement df (a) = ( ∂fi ∂xj ???? x=a ) 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n Notons que dans cette fiche m = 1 et qu'alors les matrices jacobiennes se reduisent a des vecteurs lignes. Proprietes importantes liees a la differentiabilite en un point 1. Si une application est differentiable en un point, alors elle y est continue. L'enonce reciproque n'est pas vrai en general. 2. Si une application est differentiable en un point, alors toutes ses derivees directionnelles en ce point existent. L'enonce reciproque n'est pas vrai en general. 3. Si une application est de classe C1 en un point, alors elle y est differentiable.

produit matriciel

meme chemin

notation de l'egalite generale

surface de la colline pour z ≥

resultats generaux sur la composition d'applications continues

relation dans z

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Travail Produit matriciel

´ UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko InstitutCamilleJordanTravauxdirig´es:T.Altınel,T.Eisenk¨olbl&S.Richard

Math IV, analyse (L2) – Fiche 4

17 mars 2008

Diﬀ´erentiabilite´enunpoint n m n L’applicationf:R−→Rest diteletiaberendiﬀ´ena∈Rsi elle satisfait la condition ||f(a+h)−f(a)−df(a)(h)|| lim = 0 h→0||h|| n m o`udf(a)amrtciperaarpproestlaaenu’deuitacilppasabalt`iqonanecn´eaonlieiredRversR qui est en fait la matrice jacobienne defaleveeu´´uaopnitantecis´emeP.ulps´r µ ¶ ∂fi df(a)= ¯ ∂xj 1≤i≤m x=a 1≤j≤n Notons que dans cette ﬁchemteecsvdesurlceessmjlaotrrsiiqeun’naa=c1oebt´rdeseestna`iues lignes. Proprie´te´simportantesli´ees`aladiﬀe´rentiabilit´eenunpoint 1.Siuneapplicationestdiﬀe´rentiableenunpoint,alorselleyestcontinue.L’e´nonce´r´eciproque n’estpasvraieng´en´eral. 2.Siuneapplicationestdiﬀ´erentiableenunpoint,alorstoutessesde´rive´esdirectionnellesence pointexistent.L’´enonc´ere´ciproquen’estpasvraieng´en´eral. 1 3. Si une application est de classeCnc´e´enoe.L’iablertnﬀie´sedtllyeseoralt,inpouneneuqce´rorpi n’estpasvraieng´ene´ral.

Exercice 1 (Gradient, lignes de niveau). SoitMun point sur une colline etmla projection deMonn´oord.Encntaleesohnaozirruslpel carte´siennes,siM=(x, y, z), alorsm=(x, y,0)oaclrtoeo,dnne´ezdu pointMalrestdonn´eepa 2 relationz=f(x, y),uo`f:R→Rcnitalofdie´nouql’alﬁnitdedetituopeuqahccaledtnineliolste en fonction dexetytcejdnoileuqorpaupnssepo.Oesroodnne´enlaseocelacolliusommetd 2 x2 (0,0,0), et quefrapee´nnodtsef(x, y)= 5− −y. 4 2 1.Dessiner dansRles lignes de niveauLkpourk∈ {0,1,4,5}.

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