UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON Cours: O Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T Altınel T Eisenkolbl S Richard

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux diriges: T. Altınel, T. Eisenkolbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) – Fiche 7 21 avril 2008 Exercice 1. On considere l'application f : R2 ?? R (x, y) 7?? x3 ? 2xy + 2y2 ? 1 1. Montrer que le theoreme des fonctions implicites s'applique au point (1, 1). Reponse : Pour repondre a cette question, la premiere chose a faire est de verifier si le point donne, en l'occurrence (1, 1) est sur la courbe d'equation f (x, y) = 0. Ensuite, il faut determiner les valeurs des derivees partielles de f par rapport a ses deux variables au point (1, 1). Notons que sur tout voisinage de (1, 1) ces derivees partielles existent puisque f ? C∞(R2). Les regles de derivation montrent que ∂f ∂x (x, y) = 3x 2 ? 2y ∂f ∂y (x, y) = ?2x+ 4y En (1, 1), ces derivees admettent les valeurs 1 et 2 respectivement. Comme les deux valeurs sont non nulles, le theoreme des fonctions implicites s'applique au point (1, 1). La conclusion est la suivante : il existe un voisinage V de 1 (si vous voulez, dans ce cas particulier vous pouvez remplacer cette derniere utilisation du mot “voisinage” par “intervalle ouvert”), un

• premiere methode


• equations sur les premieres derivees au meme point


• deuxieme methode


• derivees partielles


• coordonnees du point correspondant


• r2 ??