UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON I
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Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON I De nouveaux resultats sur la geometrie des mosaıques de Poisson-Voronoi et des mosaıques poissoniennes d'hyperplans. Etude du modele de fissuration de Renyi-Widom. These soutenue le 5 decembre 2002 par Pierre CALKA en vue de l'obtention du Diplome de Doctorat (arrete du 30 mars 1992) Specialite : Mathematiques Composition du jury : Franc¸ois BACCELLI Professeur (ENS) Andre GOLDMAN Professeur (Universite Lyon 1), Directeur de these Christian MAZZA Professeur (Universite Lyon 1) Ilya MOLCHANOV Professeur (Universite de Berne, Suisse), Rapporteur Didier PIAU Professeur (Universite Lyon 1) Dietrich STOYAN Professeur (Universite de Freiberg, Allemagne), Rapporteur Pierre VALLOIS Professeur (Universite Nancy 1) 194-2002

  • universite de lyon

  • mosaıque de johnson-mehl

  • dimensional poisson-voronoi tessellation

  • cellule typique au sens de palm

  • resultats sur les lois des caracteristiques geometriques des mosaıques de poisson-voronoi

  • damentales des cellules typique et de crofton

  • lois des caracteristiques geometriques


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Publié par
Publié le 01 décembre 2002
Nombre de lectures 57
Langue Français
Poids de l'ouvrage 2 Mo

Extrait

´UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYONI
De nouveaux r´esultats sur la g´eom´etrie des
mosa¨ıques de Poisson-Voronoi et des
mosa¨ıques poissoniennes d’hyperplans.
Etude du mod`ele de fissuration de
R´enyi-Widom.
Th`ese soutenue le 5 d´ecembre 2002
par
Pierre CALKA
en vue de l’obtention du
Diplˆome de Doctorat
(arrˆet´e du 30 mars 1992)
Sp´ecialit´e : Math´ematiques
Composition du jury :
Fran¸cois BACCELLI Professeur (ENS)
Andr´e GOLDMAN Professeur (Universit´e Lyon 1), Directeur de th`ese
Christian MAZZA Professeur (Universit´e Lyon 1)
Ilya MOLCHANOV Professeur (Universit´e de Berne, Suisse), Rapporteur
Didier PIAU Professeur (Universit´e Lyon 1)
Dietrich STOYAN Professeur (Universit´e de Freiberg, Allemagne), Rapporteur
Pierre VALLOIS Professeur (Universit´e Nancy 1)
194-2002Remerciements
Je tiens tout d’abord `a remercier Andr´e Goldman qui m’a initi´e `a la g´eom´etrie al´eatoire
avec une passion communicative. Toujours attentif au cours de ces trois ann´ees, il m’a
fait profiter de ses connaissances ´etendues et de sa grande imagination math´ematique.
Son intuition et ses encouragements m’ont apport´e la d´etermination pour approfondir
certaines pistes de recherche. Ce travail lui doit beaucoup, qu’il trouve ici le t´emoignage
de ma profonde gratitude.
Ilya Molchanov et Dietrich Stoyan m’ont fait un grand honneur en acceptant d’ˆetre
les rapporteurs de cette th`ese. Je leur suis reconnaissant du soin qu’ils ont apport´e `a la
lecture du texte et de toutes les remarques int´eressantes dont ils m’ont fait part.
Je remercie Christian Mazza et Didier Piau pour leur disponibilit´e, l’int´erˆet qu’ils ont
port´e `a mon travail et les discussions enrichissantes que j’ai eues avec chacun d’eux. Leur
pr´esence dans ce jury m’honore et me touche particuli`erement.
Franc¸ois Baccelli a toute ma gratitude pour m’avoir fait l’honneur de faire partie de
mon jury.
Je remercie par ailleurs chaleureusement Pierre Vallois et Andr´e M´ezin pour m’avoir
accord´e leur confiance en me proposant de travailler avec eux sur le probl`eme de la fissu-
ration. Je suis tr`es reconnaissant `a Pierre Vallois de m’avoir permis `a plusieurs reprises
d’exposer nos travaux, ainsi que d’avoir accept´e d’ˆetre dans ce jury.
Je tiens ´egalement `a remercier tous les membres du laboratoire qui m’ont apport´e
leur aide pour des questions de math´ematiques propres `a la th`ese, les enseignements,
les probl`emes informatiques ou autres. Je pense en particulier `a Alexis, Anne, Eric,
Fr´ed´erique, Gabriela, Jean, Jean-Baptiste, Mariam, Nadine, Nicolas, Pierre, V´eronique
et Madame Lefranc.
Merci enfin `a mes proches dont le soutien a ´et´e essentiel tout au long de mes ´etudes.Table des mati`eres
Introduction. 7
1 La cellule typique comme moyen d’´etude statistique d’une mosa¨ıque
al´eatoire stationnaire. 12
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 La formule de Slivnyak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 La mosa¨ıque de Poisson-Voronoi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 La cellule typique au sens de Palm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Convergence des moyennes empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 La mosa¨ıque de Johnson-Mehl.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 La cellule typique au sens de Palm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Convergence des moyennes empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 La mosa¨ıque poissonienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Convergence des moyennes empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2 La cellule typique au sens de Palm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 R´esultats sur les lois des caract´eristiques g´eom´etriques des mosa¨ıques
de Poisson-Voronoi et poissoniennes de droites dans le plan. 28
2.1 Introduction et pr´esentation des principaux r´esultats. . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Notations et contexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 R´esultats connus sur les lois des caract´eristiques g´eom´etriques fon-
damentales de la cellule typique de Poisson-Voronoi. . . . . . . . . . 28
2.1.3 R´esultats connus sur les lois des caract´eristiques g´eom´etriques fon-
damentales des cellules typique et de Crofton d’une mosa¨ıque pois-
sonienne de droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Pr´esentation des nouveaux r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 The explicit expression of the distribution of the number of sides of the
typical Poisson-Voronoi cell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Precise formulas for the distributions of the principal geometric characte-
ristics of the typical cells of a two-dimensional Poisson-Voronoi tessellation
and a Poisson line process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 The distributions of the smallest disks containing the Poisson-Voronoi ty-
pical cell and the Crofton cell in the plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
53 La fonction spectrale des mosa¨ıques de Poisson-Voronoi et de Johnson-
Mehl. 71
3.1 Pr´esentation des r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 On the spectral function of the Poisson-Voronoi cells. . . . . . . . . . . . . 75
4 Quelques cons´equences de l’identit´e entre cellule typique et cellule em-
pirique pour la mosa¨ıque poissonienne d’hyperplans d-dimensionnelle. 101
4.1 Pr´esentation des r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Poissonian tessellations of the Euclidean space. An extension of a result of
R. E. Miles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Une preuve rigoureuse d’un r´esultat de R. E. Miles sur les mosa¨ıque
poissoniennes ´epaissies. 115
5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Arigorousproofofaresult ofR.E.Miles concerning thethickened Poisson
dhyperplane process inR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 Mod´elisation stochastique d’un ph´enom`ene unidirectionnel de fissura-
tion. 129
6.1 Introduction et pr´esentation des r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2 Stochastic modelling of a unidirectional multicracking phenomenon. . . . . 133
7 Annexes. 165
7.1 An elementary proof of the equality EN (C) = 6. . . . . . . . . . . . . . . 1650
7.2 On the spectral function of the Johnson-Mehl cells. . . . . . . . . . . . . . 167
7.3 A new calculation of the moments of the unoccupied part of a circle by a
random covering of i.i.d. intervals of fixed length. . . . . . . . . . . . . . . 185
Probl`emes ouverts. 189
Liste des publications. 193
Bibliographie 195
6Introduction.
La g´eom´etrie al´eatoire remonte, comme la tradition le veut `a l’exp´erience de l’aiguille
de Buffon en 1777, au paradoxe de Bertrand sur les probabilit´es g´eom´etriques, et `a la
r´eplique fournie par H. Poincar´e qui a conduit `a la naissance de la g´eom´etrie int´egrale
puis de la g´eometrie stochastique (terme introduit par D. G. Kendall, K. Krickeberg et
R. E. Miles en 1969). On pourra consulter par exemple les ouvrages classiques de H.
Solomon [84], L. A. Santal´o [77]. et G. Matheron [48]. De nos jours ce domaine a pris
une telle extension, du fait notamment de ses innombrables implications dans les sciences
exp´erimentales qu’il n’est pas possible d’en donner une vue exhaustive dans un volume
raisonnable de lignes. Nous renvoyons pour cela aux excellents ouvrages de P. Hall [32],
D. Stoyan et alt. [86], I. S. Molchanov [62], B. D. Ripley [76], etc.
Dans cette th`ese, nous avons abord´e quatre domaines de la g´eom´etrie stochastique.
A. Les mosa¨ıques de Poisson-Voronoi;
B. les mosa¨ıques de Johnson-Mehl;
C. les mosa¨ıques poissoniennes d’hyperplans;
D. le mod`ele de fissuration de R´enyi-Widom.
A. Le principe de la construction de la mosa¨ıque de Voronoi est le suivant. On se donne
un sous-ensemble localement fini P d’un espace m´etrique sous-jacent (E,d), puis `a tout
´el´ement x∈P (appel´e germe), on associe la cellule
′ ′C(x) ={y∈E;d(y,x)≤d(y,x)∀x ∈P},
constitu´ee des points de E les plus proches de x. Dans le cas euclidien, on obtient ainsi
une partition de l’espace en poly`edres convexes bord´es par des portions d’hyperplans
m´ediateurs des segments entre germes. Cette mosa¨ıque fut introduite dans un cadre
d´eterministe en dimension deux par G. L. Dirichlet [18] en 1850, puis en dimension
sup´erieure par G. Voronoi [91] en 1908. Leur motivation ´etait de r´esoudre des probl`emes
de minimisation de formes quadratiques prises sur des vecteurs `a coordonn´ees enti`eres.
En 1953, dans le but de mod´el

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